分式的性质及意义

分式的性质及意义

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

● 理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。 ● 掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。

重点难点：

● 重点：分式的意义及其基本性质。 ● 难点：分式的变号法则。

学习策略：

● 通过复习分数的概念，基本性质，通分和约分，总结出分式的相关知识。并在理解的相关知识的基础上，灵活应用

分式的基本性质将分式变形或求值。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个

的数，分数的值不变。 （二）最简分数：分子、分母互为 的分数叫做最简分数。

（三）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做 。 （四）把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做 。 （五）单项式与多项式统称为 。

（六）把一个多项式分解因式的主要方法： , 等。

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#231762

知识点一：分式的概念

A

一般地，如果A 、B 表示两个

，并且 中含有字母，那么式子B

叫做分式。其中A 叫做 ，B 叫做 。 要点诠释：

（1）分式表示两个整式相除，其中分子为 ，分母为 ，分

数线起 和括号的作用。如a -b

a +b 可以表示(a－b)÷

(a+b)；

（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的 一定含有字母。

（3）分式的分母表示 ，由于 不能为0，所以分式的 不能为0，即当 时，分式A

B 才有意义；

（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等) 后再看，而只能根

x 2据它的 面目进行判断。例如：对于

x 22x 来说，2x =x

x 2，我们不能因为2

x 2是 ，就判断

x 2

2x 也是整式，事实上2x 是__________。

知识点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件

（一）分式有意义的条件是分式的 ； （二）分式无意义的条件是分式的 ；

（三）分式的值为零的条件是分式的 。 要点诠释：

（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为

（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有 的。

（3）分式的值为0，是在分式有 的条件下，再满足 的值为零。

（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式

x

3ab 2中隐含

着 ，即a ≠0, b ≠0这一条件，也就是说分式

x

3ab 2中分母的值不为零。

知识点三：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以) 一个不等于0的 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

A A ⨯M A A ÷M B =B ⨯M , B =

B ÷M

(其中M ≠0) 。

要点诠释：

（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“M ≠0”这一条件；如

12x +2x -1=1

4x 2

-1，变形时，必须满足 。

（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母) 的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须 。

（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母

的取值范围有可能发生 。如：x 2-1x -1

x 2

+x

=x ，在变形后，字母x 的取值范围变大了。

知识点四：分式的变号法则

一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变。 要点诠释：

（1）改变符号时应该是分子、分母 的符号，而不是分子、分母中某一项的符号；

（2）一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个或 个，得到的分式成为原分式的相反数。

知识点五：分式的约分

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的 ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

要点诠释：

（1）约分的依据是 ；

（2）约分的方法是：先把分子、分母 （分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式；

（3）找公因式的方法：先 ，系数取最大 ，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的 次幂；

（4）约分要彻底，使分子、分母没有 ，分子、分母没有公因式的分式叫做 。

知识点六：分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的 ，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分式变形叫做分式的通分。 要点诠释：

（1）通分的依据是 ；

（2）通分的关键是寻求几个分式的 ：

①最简公分母：几个分式进行通分时，通常取各分母所有因式的 次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母；

②寻求最简公分母应注意以下几点：

a ．“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数 的；

b ．如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的为最简公分母的系数；

c ．如果分母是多项式，一般应先。

（3）通分的方法是：先求各分式的 ，然后以每个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘分式的分子、分母。

知识点七：整式和分式

（一）有理式的概念： 和 统称为有理式。 （二）有理式的分类：

（三）整式和分式的区别：

分式的本质特征是 中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有 ，只能是不为零的具体数。

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID ：#jdlt0#231762

类型一：分式的定义

2

例1．代数式x +

y ，x +1

，4，x -1，x -y 中，属于分式的是 。

x +12x 23π

思路点拨：要判断一个代数式是否是分式，关键点：（1）代数式中必须有 ；（2）分母中必须含有 。注意分式的概念是针对原式，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍然是 。解答本题的易错点有两个：一个是

π，分母

4

x 2-1

里的 是一个确定的值，不要把它当做字母处理了；另一个是x +1，虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式，但它是一个 ，因为它的 中含有字母。 解析：

总结升华： 举一反三

【变式】下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

A ．

1x

； B ．

x 2

； C ．

2xy x +y

； D ．

3x -y 3

.

答案：

类型二：分式有意义

例2．x 取何值时，下列分式无意义？

A ．x 2+12x

B ．

x +5

x +2

C ．

x +5

x (x -1)x 2

+2

D ．

x

思路点拨：分式无意义的条件是： 为0，与分式分子的值无关。 解析：

总结升华：看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须有这个前提： 。

例3．若分式

1

x 2

-2x +m

不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）。 A ．m ≥1 B ．m >1 C ．m ≤1 D ．m

思路点拨：解决此类问题要遵从一个原则，即不论分母是一个字母、一个单项式还是一个多项式，都要考虑 不为0这个条件，也就是说，使分式有意义的条件是分式的 不为0。 解析：

总结升华： 举一反三

【变式1】当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）x

x -2

； （2）

x -1

4x +1

。

答案：

☆【变式2】当x 取何值时，分式x 2-6x -7

x 2+7x +6

有意义？

答案：

【变式3】x 取何值时，分式x 2+5x -1

3x +1

有意义？

答案：

类型三：分式的值为零

例4．当x 是什么数时，分式

x +2

2x -5

的值是零？

思路点拨：讨论何时分式的值为零时须同时考虑以下两点：（1）字母取值使得 值为零；（2）字母取值使得 值不为零。 解析：

总结升华： 举一反三

【变式】下列各分式，当x 取何值时，分式有意义？当x 取何值时，分式的值为零？

解：

类型四：分式基本性质的应用

例5．下列各式是怎样从左边变形到右边的？

(1)b

by

2x

=

2xy

(y ≠0).

(2)ax

bx

=

a b

思路点拨：这里的变形都是恒等变形，必须符合分式的基本性质。首先比较等式两边分式的分子或分母发生了怎样的变化，然后根据 ，分式的分母或分子也应发生相同的变化。 解析：

总结升华： 举一反三：

【变式1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

1x +2（1）2

3y

； （2）0. 3a +0. 5b 10. 2a -b 。 2x -2

3

y 答案：

【变式2】下列各式与

x -y

x +y

相等的是（ ） (x -y ) +52x -y (x -y (x +y ) +5 B ．2x +y C ．) 2x 2-y 2(x ≠y ) D ．x 2-y 2A ．x 2

+y 2

解析：

【变式3】填空：

2（1）

a +b ab =()a 2b

；

（2）x +xy x 2

=

x +y

. 解析：

2

【变式4】把分式2xy +3y 2

中的x ，

y 同时扩大2倍，则分式的值（ ）﹒

y

A ．扩大2倍 B ．改变 C ．缩小2倍 D ．不改变 解析：

类型五：分式的变号法则的应用

例6．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。

（1）

x 2-x

1-x 2

（2）

-a -1

a 2-2

（3）

-x 2+3

思路点拨：

（1）根据分式的意义，分数线代表________，又起_______的作用。

（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号_________；当括号前添“—”号，括号内各项都________。 解析：

总结升华： 举一反三：

【变式】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：

（1）-5b -6a （2）-x （3）2m 3y

-n . 答案：

类型六：与约分有关计算

例7．约分

232（1）6ab 3 （2）x -2x y 8b x 2y -2xy 2

（1）分式

6ab 2

思路点拨：8b 3中的分子和分母都是 ，直接可以看出，分子、

分母的系数有最大公约数 ，分子、分母中都含有因式 ，因此公因式是 ，分子、分母都除以 .

）分式x 3-2x 2（2y

x 2y -2xy 2

的分子、分母是 ，需先分别分解因式再确定分

子和分母的 ，因为x 3－2x 2y ＝，x 2y －2xy 2＝ ，所以分子和分母的公因式是 ，利用分式的基本性质，把分子，分母同时除以 ，即达到了约分的目的。 解析：

总结升华： 举一反三： 【变式1】约分

（1）-16x 2

y 3

（2）

x 2-420xy 4

x 2-4x +4

思路点拨：分式的约分，即要求把分子与分母的_________约去，为此，首先要找出分子与分母的__________。 答案：

【变式2】化简（1） 6x 2

y ; （2） -x -y x -

19xy 2

2y 2; （3）

x -

x +2+

1x

答案：

类型七：与通分的有关计算

例8．通分：

（1）

1， 1a 2b ab 2； （2）1， 1；

x -y x +y

思路点拨：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式 的 解析：

总结升华： 举一反三 【变式1】分式b x 12a , 3b 2, 4ab

的最简公分母是： 答案：

☆☆【变式2】对下列各式通分：

（1）3

8x 2y , 4

-12x 3y 2z 2, -3 （2）a +2b 20xy 3z a 2-b 2, a +b 2a +b (a -b ) 2, b -a

解：

类型八：综合提高

例9．若实数a 、b 满足：a b a 2+ab +b 2

b +a =2，则的值为 ． a 2+4ab +b 2

思路点拨：本题可有 种解法．解法1：根据分式的基本性质，把待求值式的分子

和分母分别除以 ，再进行适当的变形，使之出现 ，把条件式整体

代入即可得解；解法2：对条件式进行变形，可得 ， 代

入待求值式即可．

解法1：

解法2：

总结升华：________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

举一反三

2【变式1】已知x y z

2=，求x -4yz +zx

3=4的值．

2x 2-3xy +z 2

解：

【变式2】已知ab

a +b =1bc

3，b +c =1

4，ac

a +c =1

5，求abc

ab +ac +bc 的值．

思路点拨：由已知条件式取倒数可得 ，把待

求值式取倒数化成 的代数式，进而求值．

解：

【变式3】（1）已知x 2-3x +1=0，求x 2+1的值． x 2

21x （2）若x +=3，求的值． x x 4+x 2+1

思路点拨：（1）x 2+1中的两项恰有对称性，且互为倒数，由此联想到完全平方公x 2

2

21=⎛1⎫式即 ，∴x +（2）求x +⎪-___．从而求得；x 2 x ⎭⎝

1的值，x 4+x 2+1只要求出x 2+然后求 即可． =________________，2x 2x

解：

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们

巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法---强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

相关内容请参看网校资源ID ：#tbjx19#231762

（一）关于分式强调两点：在A 中，第一，B 中含有

；第二，B 不能为 。 B

（二）分母的值是零，分式没有意义。

（三）分子为零且分母不等于零时，分式的值等于 。

（四）约分根据的是 ，对一个分式进行约分是对分式进行恒等变形的一个手段，约分前后的分式值是 的，约分的关键是确立分式的分子与分母的 。

（五）约分要彻底， 使分子、分母没有 。

（六）分式的通分也是对一个分式进行恒等变形的手段，通分前后的分式值是 的，通分的关键是确立几个分式的 ，一般地，取各分母系数的 与各字母因式的 的积作为公分母，这样的公分母叫做 。

现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的 测试。

知识点： 分式的意义和性质

测评系统分数：

模拟考试系统分数：

如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID

：#cgcp0#231762，做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

成果测评 自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

网○校○重○要○资○源 ○

知识导学：分式的意义及性质(#231762)

视听课堂：分式的概念与基本性质(#155940)

若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！ 更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。

对本知识的学案导学的使用率：

□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）

□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生： 家长： 指导教师：

请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。