角平分线辅助线专题练习

角平分线专题

1、 轴对称性：

内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，

2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。

4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC

针对性例题：

例题1：如图，AB=2AC, ∠BAD=∠DAC,DA=DB

求证：DC ⊥AC

B

例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH

例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC．：

思路一：利用“角平分线的对称性”来构造

因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．

C B E 证法1：如图1，在BC 上取BE=AB，连结DE ，∵BD 平分

图1

∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC，

则AD=DC． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ，

连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE，

BD 平分∠ABC ，BD=BD，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），

C B E ∴AD=ED，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， 图2

∠BED+∠CED=180，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC，∴AD=DC． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的．

证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD，∴△CBD ≌△EBD （SAS

00

∴∠C=∠E ，CD=DE，又∠BAD+∠C=180，∠DAB+∠DAE=180， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA，则AD=DC． C B 图3

说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的．

B

思路二：利用“角平分线的性质”来构造

由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以 过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形．

证法4：如图4，从D 分别作BC 、BA 的垂线，垂足为E 、F ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴DE=DF，又∠BAD+∠C=1800，∠BAD+∠FAD=1800， ∴∠FAD=∠C ，∴△FAD ≌△ECD （AAS ），则AD=DC．

C

B 图4 E

例题4 已知：如图5，在△ABC 中，∠C =90°, AC =BC , AD 平分∠CAB .

求证：AC +CD =AB

证明：在AB 上截取AE=AC，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD = ∠DAB ，AD =AD ， ∴△CAD ≌△EAD ，∴∠DEA =90°，∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠B =45°， ∴∠B =∠BDE =45°

∴DE =BE ，∴AC +CD =AE +DE =AE +BE =AB ，即AC +CD =AB .

例题5．已知：如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，沿过B 点的一条 直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合，

当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点.

解：当∠A =30°时，点D 恰为AB 的中点. ∵∠A =30°，∠C =90°(已知) ，∴∠CBA =60°(直角三角形两锐角互余). 又△BEC ≌△BED (已知) ，∴∠CBE =∠DBE =30°，且∠EDB =∠C =90°(全等三角形对应角相等) ，∴∠DBE =∠A (等量代换). ∵BE =AE (等角对等边) ，又∠EDB =90°， 即ED ⊥AB ，∴D 是AB 的中点(三线合一).

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：BE =

1

(AC -AB ) 2

2

证明：延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ，

所以点B 和点F 关于AD 对称，

F B

D

C

1

所以BE=FE=BF ，AB=AF，∠ABF=∠AFB 。

2

因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，

∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC，

111

FC=（AC －AF ）=（AC －AB ）， 2221

所以BE =(AC -AB ) 。

2

所以BE=

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD。

在Rt △PBE 和Rt △PBC 中

⎧BP =BP

⎨

PE =PD ⎩

所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD。

因为AB ＋BC=2BD，BC=CD＋BD ，AB=BE－AE ， 所以AE=CD。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中

E B

D

C

⎧PE =PD ⎪

⎨∠PEB =∠PDC ⎪AE =DC ⎩

所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。

因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ． A

因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ， 2

所以PE=PF。

同理可证PF=PG。

F 所以PG=PE， C 又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ， E 所以PA 是∠BAC 的平分线， G

P

所以∠1=∠2。

与三角形的角平分线有关的结论的探究

三角形的内角和等于180，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。从结论的探究过程中，希望同学们能从中得到有益的启示：在平时的数学学习中，要学会运用所学知识去探索新的结论，学会探究，从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水平。

探究一：在∆ABC 中，∠A ，∠B 的平分线交于点P ，试探究 A ∠BPC 与∠A 的关系？

探究：因为∠BPC 在ΔBPC 中，由三角形的内角和定理，有：

∠BPC =1800-(∠PBC +∠PCB )

而由BP ，CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线 知：∠PBC=

B

C

11

∠ABC ，∠PCB=∠ACB

22

所以∠BPC =180- ∠ABC +

⎛1

⎝211⎫

∠ACB ⎪=1800-(∠ABC +∠ACB ) 22⎭

而在在∆ABC 中，∠ABC +∠ACB =180-∠A 所以∠BPC =180-

11

1800-∠A =900+∠A 22

()

故有结论一：在∆ABC 中，∠A ，∠B 的平分线交于点P ，则有∠BPC =90+

1

∠A 。 2

探究二：在∆ABC 中，BP 是∠ABC 的平分线，CP 是ΔABC 的外角∠ACE 的平分线，

试探究：∠BPC 与∠A 的关系？

探究：由CP 是ΔABC 的外角∠ACE 的平分线， 所以有：∠BPC=∠PCE －∠BPC

又BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACE 的平线 所以：∠PBC=

A

11

∠ABC ，∠PCE=∠ACE 2211

所以∠BPC=∠ACE －∠ABC

22B

11C =(∠ACE -∠ABC )=∠A 22

故有结论二：在∆ABC 中，BP 是∠ABC 的平分线，CP 是ΔABC 的外角∠ACE 的平分线，

1

则有：∠BPC =∠A 。

A 2

探究三：在∆ABC 中，BP ， CP分别是ΔABC 的两个外角的平分线，

试探究：∠BPC 与∠A 的关系？ 探究：因为∠BPC 在ΔBPC 中，由三角形的内角和定理，有：

E

E F

∠BPC =1800-(∠PBC +∠PCB )

P

由BP ， CP分别是ΔABC 的两个外角的平分线，有： ∠PBC=

11

∠EBC ，∠PCB=∠BCF 22

而∠ABC+∠CBE=180，∠ACB+∠BCF=180，

所以∠ABC+∠CBE+∠ACB+∠BCF=360

所以∠EBC+∠FCB=360－（∠ACB+∠ABC ）=360-180-∠A =180+∠A

(

)

1

(∠EBC +∠FCB )=1800-11800+∠A =900-1∠A 222

故有结论三：在∆ABC 中，BP ， CP分别是ΔABC 的两个外角的平分线，

10

则有∠BPC =90-∠A 。

2

所以∠BPC =180-

()

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 角平分线的性质定

理及其逆定理 水平测试

一、选择题

1. 下列说法，错误的是（ ）

A. 三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等 B. 三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上 C. 三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等 D. 三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部

2. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定

3. 如图所示，在R t △ABC 中，∠ACB =90，BC 的中垂线交斜边AB 于D ，AB =7.8，

AC =3.9，则图中有多少个角等于60 （

）

A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

4. 等腰△ABC 两腰AB ，AC 的垂直平分线交于点O ，下列各式不正确的是（ ） A ．OA ⊥BC B ．OA 平分∠BAC C ．OB =OC D ．OA =BC 5. 已知△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，则△ABC 的腰长和底边BC 的长分别是（ ）

A ．24cm 和12cm B ．16cm 和22cm C．20cm 和16cm D ．22cm 和16cm 6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B．75° C ．90° D．95°

7. 若△ABC 三条角平分线的交点到三顶点的距离相等，则该三角形一定为（ ）

A ．等腰三角形，但不一定是等边三角形． B ．直角三角形． C ．等腰直角三角形． D ．等边三角形．

8. 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中

A 正确结论的个数是（ ）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 F

D C

9. 已知P 点在∠AOB 的平分线上，∠AOB =60，OP =10cm ，那么P 点到边OA ，OB 的距离分别是（ ）

A ．5cm

，cm B ．4cm ，5cm C．5cm ，5cm D ．5cm ，10cm

10. 如图，△ABC 中，∠C =90º，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，DE=

1

BD ，且2

DE=1.5cm，则AC 等于（ ）

A ．3cm B ．7.5cm C ．6cm D ．4.5cm

E

C A D 二、填空题

1. 已知线段AB 和它外一点P ，若PA=PB，则点P 在AB 的____________________；若点P 在AB

的

____________________，则PA=PB．

2. 如图，△ABC 中，EF 是AB 的垂直平分线交于D ，BF =12，CF =3，则AC = ．

Ｅ 3. 如图，∠ABC =50，AD 垂直平分线段BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点

E ，连结EC ，则∠AEC 的度数是

4. 如图所示，在△ABC 中，∠C =90，DE 是AB 的垂直平分线，AB =2AC ，

BC =18cm ，则BE 的长度为

Ｂ

5. 在锐角三角形ABC 中，∠A =60，AB ，AC 两边的垂直平分线相交于点

，则的度数是

．

6.

△ABC 中，∠C =90，AD 平分∠BAC ，交BC 于D

，若DC =7，则D 到AB 的距

离是 ．

7. △ABC 的三边长分别为3cm 、4cm 、5cm ，若O 为△ABC 三内角平分线交点，则点O 到斜边AB 的距离等于 ．

8. 如图，已知BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，MN ∥BC ，且过点O ，若AB =12，AC =14，则△AMN 的周长是

2

9. 如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，S △ABC =36m ，AB =18cm ，

BC =12cm ，则DE 的长是

10. 如图，△ABC 中，∠C =90，AC =BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB

于E ，且AB =10cm ，则△DEB 的周长是 ．

三、解答题

1. 如图所示，直线OA ，OB 表示两条相互交叉的公路．点M ，N 表示两个蔬菜基地．现要建立一个蔬菜批发市场，要求它到两个基地的距离相等，并且到公路OA ，OB 的距离相等，请你作图说明此批发市场应建在什么地方？

2. 如图△ABC 中，BA =BC ，∠B =120，AB 的垂直平分线交AC 于D ，求证：

AD =

1

DC ． 2

3. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB

M 、N

作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP 理．

4. 如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．

求证：AD 垂直平分EF ．

四、探索题

1. 如图，在△ABC 中，∠A =90，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，请你猜想图中

哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的条件）．

Ｄ

2. 如图所示，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120．

（1）请你作出两腰的垂直平分线． （2）若AB 边的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点D ，E ，AC 边上的垂直平分线与AC ，BC 分别相交于点G ，F ，则△AEF 是什么形状？你能证明吗？ （3）连结DG ，DG 与BC 有什么关系？

（4）若DG =5cm ，试求△AEF 的周长．

答案：

一、1D ；2C ；3D ；4D ；5D ；6C ；7D ；8B ；9C ；10D ．

二、1. 垂直平分线上；垂直平分线上；2.15；3. 115°；4. 12cm ；5. 120；6.7；7.1cm ；

12

cm ；10. 10cm . 5

三、1. 解：分别作∠AOB 的平分线OC 和线段MN 的垂直平分线DE ，则射线OC 与直线DE 的交点P 即为批发市场应建的地方．

8.26；9.

2. 证明：连接BD ．AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴DA =DB 又BA =BC ，∠B =120，∴∠A =∠C =30

∴∠A =∠ABD =30 ，∴∠DBC =90

Rt △DBC 中，有BD =

11

DC ，∴AD =DC ． 22

3. 解：∵OM=ON，OP=OP，∴Rt △OMP ≌Rt △ONP(HL)，∴∠MOP=∠NOP ，∴射线OP 是∠AOB 的

平分线．

4. 证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

∴DE =DF （角平分线上的点到角的两边距离相等）． ∴∠DEF =∠DFE （等角对等边）．

∵∠AED =∠AFD =90 （垂直定义），

∴∠AEF =∠AFE （等角的余角相等）． ∴AE =AF （等角对等边）

∴A ，D 在EF 的中垂线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分

线上）．

即AD 是EF 的中垂线．

四、1. 解：猜想结论：AB +AD =BC ，过D 作DE ⊥BC 于E ．

∵BD 平分∠ABC ，∠A =90 ，∴AD =DE ．

∴△ABD ≌△EBD ，∴AB =BE ． ∵AB =AC ，∴∠C =45 ，∴DE =EC ． ∴AD =EC ，AB +AD =BC ．

2. 解：（1）如图所示．

（2）△AEF 是等边三角形．

证明：∵AB =AC ，∠BAC =120，∴∠B =∠C =30．

Ｄ

∵DE 垂直平分线AB ，∴EB =EA ，

∴∠BAE =∠B =30，∴∠AEF =60．

同理可证∠AFE =60．∴△AEF 是等边三角形．

（3）因为点D 、G 分别是AB 、AC 的中点，所以DG 是中位线，则DG =（4）∵AE =BE ，AF =FC ，

∴△AEF 的周长为：AE +EF +AF =BE +EF +FC =BC ． 又∵BC =2DG =10cm ．∴△AEF 的周长为10cm ．

1

BC ． 2

选做题

1. △ABC 中，∠B =22.5，∠C =60，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于F

，

BD =AE ⊥BC 于E ，求EC 的长．

解：连结AD ．

∵DF 是AB 的垂直平分线，

∴AD =BD =

∴∠1=∠B =22.5（等边对等角） ∴∠2=∠1+∠B =45 ．

又∵AE ⊥BC ，

∴∠3=90 -∠2=90 -45 =45 ，

∴ ∴AE =DE （等角对等边）

∵DE 2+AE 2=AD 2（勾股定理）

∴2AE 2=2，∴AE =6．

在R t △ACE 中，∠C =60，∴∠4=30

∴AC =2CE （30 所对的直角边等于斜边的一半）

∵AC 2-EC 2=AE 2（勾股定理）

∴(2CE ) 2-CE 2=AE 2，∴3CE 2=AE 2，

∴CE 2=12，∴CE =

2. 如图，∠A =90︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB．

证明：过点P 作PE⊥DC，垂足于E ， ∴∠3=∠4=∠A =90︒， ∵PD平分∠ADC，∴∠1=∠2， ∴PA =PE ，

A

P B

4 E

C

∵P为AB 的中点，

∴PA =PB ，PE =PB ， ∵AD ∥BC ，∠A =90︒，

∴P点在∠DCB的平分线上． ∴CP平分∠DCB．

3. CE ，BF 分别是锐角三角形ABC 的∠ACB ，∠ABC 的平分线，AF ⊥BF 于F ，

AE ⊥CE 于E ，试说明：（1）EF ∥BC ；（2）EF =

1

(AB +AC -BC ) ．

2

提示：由于BF 是角平分线，且AF ⊥BF ，所以延长AF 交BC 于N ，则有△ABN 是等腰三角形，从而F 是AN 的中点，且AB =BN ，同理E 是AM 的中点，且AC =CM ，所以EF ∥BC ，且EF =

11

(BN +CM -CB ) =(AB +AC -BC ) ． 22

备用题

1．如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（ ）C

A. 是三条边中垂线的交点

B. 是三角形三条边的中线的交点 C. 是三角形三个内角平分线的交点 D. 是三角形三条边上的高的交点 2. 如图，△ABC 中，∠CAB =120º，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则∠EAF 等于（ ）C

A ．40º B ．50º C ．60º D ．80º

B

3. 如果△ABC 的边BC 的垂直平分线经过顶点A ，与BC 相交于点D ，且AB =2AD ，则△ABC 中必有一个内角的度数为（ ）D A ．45

B ．60

C ．90

D ．120

4. 如图，Rt △ACB ，∠C =90，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论中不正确的是（ ）B A ．BD +ED =BC B ．DE 平分∠

ADB

C ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC >AD

5. 等腰三角形内有一点P 到底边的两端点距离相等，则连结顶点和P 的直线一定把底边 ．垂直平分

5. 如图，在R t △ABC 中，∠B =90，ED 垂直平分AC 交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知∠EAB :∠BAC =2:5，求∠C 的度数．

解：设∠EAB =2x ，则∠BAC =5x ，∴∠C =∠EAC =3x ．

而∠C +∠BAC =90，∴5x +3x =90，x =11.25，∴∠C =33.75．

6. 如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD =CD ． 求证：BE =CF ．

证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE =DF ．（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）

（HL ）又∵BD =CD ，∴Rt △DBE ≌Rt △DCF ∴BE =CF ．

7. 如图，已知在△ABC 中，∠C =90，点D 是斜边AB 的中点，AB =2BC ，DE ⊥AB

交AC 于E ．

求证：BE 平分∠ABC ．

Ｂ

Ａ

Ｃ

证明：∵D 是AB 的中点，∴BD =

1

AB ， 2

∵AB =2BC ，∴BC =

1

AB ，∴BD =BC ． 2

又∵DE ⊥AB ，∠C =90，∴∠C =∠BDE =90，

又BE =BE ，∴Rt △BDE ≌Rt △BCE （HL ）， ∴∠DBE =∠EBC ，∴BE 平分∠ABC ．

角平分线性质定理之应用

三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明． 一、由角平分线的性质联想两线段相等

例1 如图1，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF

证明 连结DB ，DC ．

∵D 在∠A 的平分线上，∴DE=DF．

∵D 在BC 的垂直平分线上，∴ 又∠BED=∠CFD=90°， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF．

例2 如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ 求证：∠A+∠C=180°．

证明 延长BA 至F ，使BF=BC．由BD 在△FBD 与△CBD 中，BF=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△FBD ≌△CBD ，

∴∠C=∠F ，DF=CD=AD，∠F=DAF， ∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．

三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形

例3 已知：如图3，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，求证：BD+CE=DE．

证明：∵BF 是∠ABC 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又∵DE ∴∠DFB=∠CBF

∴∠DBF=∠DFB ∴BD=FD，同理CE=FE．

∴BD+CE=DF+FE=DE． 四、实际生活中的应用

例4 如图4，有三条公路l 1、l 2、l 3两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？

图4 解析：分别作△ABC

两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．

．

角平分线携“截长补短”显精彩

角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用. 而“截长补

短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗. 请看几例. 例1 如图1-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .

求证：CD =AD +BC .

分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，

A 只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.

证明：在CD 上截取CF =BC ，如图1-2 在△FCE 与△BCE 中，

D

⎧CF =CB ⎪

⎨∠FCE =∠BCE ⎪CE =CE ⎩

∴△FCE ≌△BCE （SAS ）, ∴∠2=∠1.

又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，

D

A

E

C

B

图1-1

⎧∠FDE =∠ADE ⎪

⎨DE =DE

⎪∠3=∠4⎩

∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC . 例2 已知，如图2-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .

3

E F

C

B 图1-2

求证：∠BAP +∠BCP =180°.

分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. A

证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图2-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，

N

P

⎧PE =PD

⎨

BP =BP ⎩

∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ), ∴BE =BD .

∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,

B

D

C

图2-1

E A

P

⎧PE =PD ⎪

⎨∠PEA =∠PDC ⎪AE =DC ⎩

∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°, ∴∠BAP +∠BCP =180° 例3 已知：如图3-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD .

分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .

证明：方法一（补短法）

延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图3-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，

∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,

B

D

C

2-2 图3-2

A 2

B D

C

图3-1

A 2

⎧∠1=∠2

⎪

⎨∠B =∠E ⎪AD =AD ⎩

∴△ABD ≌△AED （AAS ）, ∴AB =AE . 又AE =AC+CE=AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）

在AB 上截取AF =AC ，如图3-3 在△AFD 与△ACD 中,

B D

图3-2

E

A 2

F

⎧AF =AC ⎪

⎨∠1=∠2 ⎪AD =AD ⎩

∴△AFD ≌△ACD （SAS ）, ∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .

上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体

B

D

C

图3-3

题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。

角平分线问题中的一题多解

如图1所示，在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2。 求证：AB=AC＋CD 。 证法一：截取法。就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一段等于加法运算的另一条线段。

如图2所示，在AB 上截取AE=AC，连结DE 。 在△AED 和△ACD 中

⎧AE =AC ⎪

⎨∠1=∠2 ⎪AD =AD ⎩

2

E 所以△AED ≌△ACD ， 4B C

D 所以ED=CD，∠3=∠C 。

图2 因为∠3=∠B ＋∠4，∠C=2∠B ，

所以∠B=∠4， 所以BE=DE。

所以AB=AE＋BE=AC＋DE=AC＋CD 。

证法二、补短法。就是在较短的一条线段的基础上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起。本种方法是延长AC ，再在延长线上截取CF=CD。

如图3所示，延长AC 到点F ，使CF=CD，连结DF 。 因为CF=CD，

所以∠3=∠F 。

2因为∠ACB=∠3＋∠F ，

所以∠ACB=2∠F 。 又因为∠ACB=2∠B ，

B 所以∠B=∠F 。 D 在△ABD 和△AFD 中 图3

⎧∠1=∠2⎪

⎨∠B =∠F ⎪AD =AD ⎩

F

所以△ABD ≌△AFD ， 所以AB=AF。

因为AF=AC＋CF=AC＋CD ， 所以AB= AC＋CD 。

第三种方法：也是属于补短法，本种方法是延长DC ，再在延长线上截取CM=AC。 证明：延长DC ，在DC 的延长线上截取CM=AC，连结AM 。 因为因为CM=CA， 所以∠3=∠M 。

因为∠ACB=∠3＋∠M ，

所以∠ACB=2∠M=2∠3。 又因为∠ACB=2∠B ， 所以∠B=∠M=∠3， 所以AB=AM。

因为∠4=∠B ＋∠1，∠DAM=∠2＋∠3，∠1=∠2

所以∠4=∠DAM ，

B 所以AM=DM=DC＋CM=DC＋AC ， 所以AB=DC＋AC 。

练习：如图5所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC。

求证：BE －AC=AE。 提示：可以将减法运算转化为加法运算，然后利用“截长”或者“补短”法解决问题。

13

4D

图4

C

M

A

B

图F

C

5

图3