大物计算题
1有一宇宙飞船,欲考察某一质量为M 、半径为R 的星球,当飞船距这一星球中心5R 处时与星球相对静止.飞船发射出一质量为m (m
5m v 0R sin θ=m v R
1122
m v 0-G M m /(5R ) =m v -G M m /R 22
2一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为
m 和2m 的重物,如图所示.绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑.两个定滑轮的转动惯量均为
12
mr .将由两个定滑轮以及质量为m 和2m 的重物组成的系统从静止释放,求两滑轮2
之间绳内的张力(画出受力分析图, 列出必要方程即可,不要求结果!!!)
解:受力分析如图所示.
2mg -T 1=2ma
T 2-mg =ma
T 1 r -T r =
12
mr β 212
T r -T 2 r =mr β
2
a =r β
解上述5个联立方程得: T =11mg / 8
3. 如图所示,一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可
以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为
1
MR 2,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落2
速度与时间的关系.
解:根据牛顿运动定律和转动定律列方程
对物体: mg -T =ma ① 对滑轮: TR = J β ② 运动学关系: a =R β ③
将①、②、③式联立得
a =mg / (m +
∵ v 0=0,
∴ v =at =mgt / (m +
1 M )
2
1
M ) 2
4. 一半径为25 cm的圆柱体,可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动.圆柱体上绕上绳子.圆柱体初角速度为零,现拉绳的端点,使其以1 m/s2的加速度运动.绳与圆柱表面无相对滑动.试计算在t = 5 s时
(1) 圆柱体的角加速度, (2) 圆柱体的角速度,
解:(1) 圆柱体的角加速度 β
β=a / r =4 rad / s2 (2) 根据ωt =ω0+β t ,此题中ω 0 = 0 ,则 有
ωt = βt
那么圆柱体的角速度
ωt =5=β t t =5=20 rad/s
5. 质量m =1.1 kg的匀质圆盘,可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对轴的转动惯量J =
12
mr (r 为盘的半径) .圆盘边缘绕有绳子,绳子下端挂一质量m 1=1.0 kg 2
的物体,如图所示.起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0=0.6 m/s匀速上升,如撤去所加力矩,问经历多少时间圆盘开始作反方向转动.
解:撤去外加力矩后受力分析如图所示. m 1g -T = m 1a Tr =J β a =r β
a = m 1gr / ( m 1r + J / r ) a 12
代入J =mr , a =
2
m 1g -2
= 6.32 ms 1m 1+m
2
∵ v 0-at =0
∴ t =v 0 / a =0.095 s
6. 一长为1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动.抬起另一端使棒向上与水平面成60°,然后无初转速地将棒释放.已知棒对轴的转动惯量为ml ,其
13
2
中m 和l 分别为棒的质量和长度.求: (1) 放手时棒的角加速度;
(2) 棒转到水平位置时的角加速度.
解:设棒的质量为m ,当棒与水平面成60°角并开始下落时,根据转动定律
M =J β
其中 M =
于是 β=
1
mgl sin 30 =mgl /4 2
M 3g ==7. 35 rad/s2 J 4l
1
当棒转动到水平位置时, M =mgl
2
M 3g ==14. 7 rad/s2 那么 β=J 2l
7. 一质量为M =15 kg、半径为R =0.30 m的圆柱体,可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J =
1
MR 2) .现以一不能伸长的轻绳绕于柱面,而在绳的下端悬一质量m =8.0 2
kg 的物体.不计圆柱体与轴之间的摩擦,求:
(1) 物体自静止下落, 5 s 内下降的距离; (2) 绳中的张力.
解: J =
1
MR 2=0.675 kg·m 2 2
∵ mg -T =ma 2分 TR =J β 2分 a =R β 1分 ∴ a =mgR 2 / (mR 2 + J ) =5.06 m / s2 1分
因此(1)下落距离 h =
12
at =63.3 m 2
(2) 张力 T =m (g -a ) =37.9 N 8. 有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上,它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动.另有一水平运动的质量为m 2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞,设碰撞时间极短.已知小滑块在碰撞前后的速度分
别为v 1和v 2,如图所示.求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间. (已知棒绕O 点的转动惯量J =
1
m 1l 2) 3
解:对棒和滑块系统,在碰撞过程中,由于碰撞时间极短,所以棒所受的摩擦力 矩
m 2v 1l =-m 2v 2l +m 1l ω ①
碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为
13
2
m 11x ⋅d x =-μm 1gl ② ⎰0
l 2t
由角动量定理 ⎰M f dt =0-m 1l 2ω ③
03
v +v 2
由①、②和③解得 t =2m 21
μm 1g
M f =
l
-μg
9. 一质量均匀分布的圆盘,质量为M ,半径为R ,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ) ,圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动.开始时,圆盘静止,一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求 (1) 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度. (2) 经过多少时间后,圆盘停止转动. (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为
1
MR 2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 2
解:(1) 以子弹和圆盘为系统,在子弹击中圆盘过程中,对轴O 的角动量守恒.
m v 0R =(
1
MR 2+mR 2) ω
2
ω=
m v 0⎛1⎫ M +m ⎪R ⎝2⎭
(2) 设σ表示圆盘单位面积的质量,可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 M f =
⎰
R
r μg σ⋅2πr d r =(2 / 3)πμσgR 3=(2 / 3)μMgR
-M f ∆t =0-J ω=-(
设经过∆t 时间圆盘停止转动,则按角动量定理有
1
MR 2+mR 2) ω=- m v 0R 2
∴
∆t =
m v 0R m v 0R 3m v 0
==
2/3μMgR 2μMg M f
10. 光滑圆盘面上有一质量为m 的物体A ,拴在一根穿过圆盘中心O 处光滑小孔的细绳上,
如图所示.开始时,该物体距圆盘中心O 的距离为r 0,并以角速度ω 0绕盘心O 作圆周运动.现向下拉绳,当质点A 的径向距离由r 0减少到
1
r 0时,向下拉的速度为v ,求下拉过程中拉力2
所作的功.
解:角动量守恒 m v 0r 0=m v 'r ①
1
r 0时小球的横向速度. 2
1122
拉力作功 W =m v B -m v 0 ②
22
2
v B 为小球对地的总速度, 而 v B =v '2+v 2
v '为r =
22m v 2 当r =r 0时 W =(3mr 0ω0/2) +
22