2015福州一类校自主招生试卷-数学

福州市区一类校自主招生考试模拟试题（数学）

命题：福州中考吧答疑解惑监督委员会 审核：福州中考吧高管部 校对：福州中考吧吧务组

福州中考吧提示：如果能够全部解决这些题目！你的自主招生是没有问题的！加油！（注意排版后使用）

一、综合题

相交于点A 、B ，且抛物线

. 过点B 用直线BC ∥x 轴，

4倍，记抛物线顶点为E. D 的坐标；若不存在，

2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、

C （8，0）、D （8，8）. 抛物线y=ax2+bx过A 、C 两点.

(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点

C 出发，沿线段CD

向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒. 过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G. 当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.

3、如图，已知抛物线C 1：的顶点为P ，与x A （点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求P 点坐标及a 的值；

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3（3）如图（2），点Q 是x C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．

4

、已知二次函数（

）的图象经过点

，

，，直线

（）与

轴交于点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线

（）上有一点点坐标（用含

（点

在第四象限），使得

为顶点的三角形与以为

顶点的三角形相似，求的代数式表示）；

（3）在（2

）成立的条件下，抛物线上是否存在一点

值及四边形

的面积；若不存在，请说明理由．

，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的

5

、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，

OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，交OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF

与（1）中的抛物线交于另一点

说明理由；

，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

（3）对于（2）中的点G Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．

7、在△ABC 中，∠A ＝90°，＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以

MN 为直径作⊙O ，并在⊙O AMPN ．令AM

＝x ．

（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，

y 的值最大，最大值是多少？

8、如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′、B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、

Q ．

（1）四边形OABC 的形状是 当α=90°时，BP ／BQ 的值是

（2

）①如图2, B ′落在y 轴正半轴上时,

求BP ／BQ 的值;

②如图3, B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时, 求ΔOPB ′

的面积．

（3）在四边形OABC 时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=？

若存在，请直接写出点

9、已知:如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D ．

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为）

10、 如图(1)，在直角梯形OABC 中，BC ∥OA OA ＝6，AB ＝5，cos ∠OAB ＝． (1)写出顶点A 、B 、C 的坐标；

(2)如图(2)，点P 为AB P A 、B 不重合），PM ⊥OA ，PN ⊥OC ，垂足分别为M ，N ．设PM ＝x ，四边形OMPN ①求出y 与x x 的取值范围；

②是否存在一点P OMPN 的面积恰好等于梯形OABC 的面积的一半？如果存在，求出点P

11、已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P. 设⊙O 的半径为R.

（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ²OP ＝R2. （提示：作直径FQ 交⊙O 于Q ，并连结DQ ）

（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2

点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

二、计算题

（每空？ 分，共？ 分）

1294万元的A ，B 两种帐篷共600顶．已知A 种帐篷每顶1700元，B 种帐篷每顶1300元，问A

13、已知关于、的二元一次方程组

，求的值。

14

在路灯灯泡的正下方

点，并测得

的小明．

的影子

长是

，而小颖

刚好

（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置；

（2）求路灯灯泡的垂直高度；

（3）如果小明沿线段向小颖（点）走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；

当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，…

按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长

为 m（直接用的代数式表示）．

三、选择题

15、已知方程组的解为，则

A ． 4 B． 6 D．－4

福州市区一类校自主招生考试模拟试题（数学）

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参考答案

一、综合题

1、（1）∵点A （－2,2）在双曲线∴

上

∴双曲线的解析式为 …………2分

∵直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴距离的4倍 ∴可设B 点的坐标为（m ，－4m ）（m ＞0），代入双曲线解析式即可得到m=1. ∴抛物线

过点A （－2,2）、B （1，－4）、O （0,0）

∴∴

. …………4.

∴抛物线的解析式为（2）∵物线的解析式为

∴顶点∵B （1，－4） ∴

，对称轴为

，解之得：∴C （－4，－4）

∴

由A 、B 两点坐标为（－2，4）可求得直线AB 的解析式为

设抛物线对称轴与AB 交于点F ，则F 点的坐标为

∴

∴. …………8分

（3）∵∴

∴当点D 与点C 重合时，显然满足条件

当当点D 与点C 不重合时，过点C 作AB 的平行线，其对应的一次函数解析式为令解之得：当

时，

∴存在另一点D （3，－18）满足条件. …………12分

2、 (1)点A 的坐标为（4，8）

将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b

得 0=64a+8b

解 得a=-

（2Rt △ABC 中，tan ∠PAE==, 即=

∴PE=AP=t ．PB=8-t．

∴点Ｅ的坐标为（4+t ，∴点G 的纵坐标为：-（4+t ）2+4(4+t ）=-t2+8.

∴EG=-t2+8-(8-t)

=-t2+t.

∵-＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2.

②共有三个时刻.

t1=

， t2=，

t3= ．

3、解：（1）由抛物线C1：

顶点P 的为（-2，-5）

∵点B （1，0）在抛物线C1上 ∴ 得

解得，a ＝

（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G

∵点P 、M 关于点B 成中心对称

∴PM 过点B ，且PB ＝MB

∴△PBH ≌△MBG

∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3

∴顶点M 的坐标为（4，5）

抛物线C2由C1关于x 轴对称得到，抛物线C3由C2

（3）∵抛物线C4由C1绕点180°得到

∴顶点N 、P 关于点Q 由（2）得点N 设点N 坐标为（m ，5） 作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G

作PK ⊥NG 于K

∵旋转中心Q 在x 轴上

∴EF ＝AB ＝2BH ＝6

∴FG ＝3，点F 坐标为（m+3，0）

H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），

根据勾股定理得

PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104

PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50

NF2＝52+32＝34

①当∠PNF ＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m ＝，∴Q 点坐标为（，0） ②当∠PFN ＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m ＝

③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º ，∴Q 点坐标为（，0）

综上所得，当Q 点坐标为（

的三角形是直角三角形． ，0）或（，0）时，以点P 、N 4、解：（1）根据题意，得

解得

．

（2）当．

得∵或， ， 当时，得， ∴， ∵点在第四象限，∴ 当时，得，∴，

∵点（3） 在第四象限，∴．

假设抛物线上存在一点，点，使得四边形， 为平行四边形，则

的横坐标为

当点∵点的坐标为在抛物线的图象上， 时，点的坐标为， ∴

∴

∴， ， ， ∴（舍去）， ∴， ∴

当点∵点

∴

∴

∴∴

∴， 的坐标为

．

， 在抛物线的图象上， ， ， ，∴（舍去），， ．

，

， ，

5、解：（1）由已知，得

．

．设过点将点将的坐标代入，得和点的抛物线的解析式为． ． 的坐标分别代入，得

） 解这个方程组，得 故抛物线的解析式为

（2）成立．

点在该抛物线上，且它的横坐标为，

点设将点的解析式为的坐标分别代入，得

， 的纵坐标为． 解得

的解析式为

，． ．

过点则作．

于点， ，

． 又

．

．

．

．

（3）点在上，，①若解得

．． ②若解得

，，则，此时轴．

的横坐标为1，

，则，此时点与点，，则设．

p(t,2) ，

，

与该抛物线在第一象限内的交点

点的纵坐标为．

． ③若解得，，则，此时， ，是等腰直角三角形．

过点则，设

．

，

作轴于点， ． 解得（舍去）．

． 综上所述，存在三个满足条件的点， 即或或．

6、解：（1）1，；

（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图，

AQ = CP= t，∴

由△AQF ∽△ABC ，

得∴．∴， ． ． ，

即．

（3）能．

①当DE ∥QB 时，如图．

∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．

此时∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC ，得

即． 解得． ， ②如图

当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．

此时∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC ，得

即． 解得， ．

（4）或．

【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点

，

由方法二、由，得，得． ，解得． ，进而可得 ，得，∴．∴．

②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图

，

7、解：

（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN=∠B ，∠ANM ＝∠C ．

∴ △AMN ∽ △ABC ．

∴

，即．

∴ AN ＝x ．

∴

=．（0＜＜（2）

如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =

在Rt △ABC 中，BC ＝

由（1）知 △AMN ∽ △ABC ． =5． MN ．

∴ ，即．

∴

，

∴

．

过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则

在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，

∴ △BMQ ∽△BCA ．

∴

． ．

∴

，．

∴ x ＝．

∴ 当x ＝时，⊙O 与直线BC 相切．

（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为 ∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN=∠B ，∠AOM ＝∠APC ．

∴ △AMO ∽ △ABP ．

∴

． AM ＝MB ＝2．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，．

∴

当＝2时，

② 当2＜＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．

∵ 四边形AMPN 是矩形，

∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．

又∵ MN ∥BC ，

∴ 四边形MBFN 是平行四边形．

∴ FN ＝BM ＝4－x ．

∴

又△PEF ∽ △ACB ． ．

∴

．

∴

．

＝．

当2＜＜4

时，． ∴ 当时，满足2＜＜4，． 综上所述，当时，值最大，最大值是2．

8、解：（1）矩形（长方形）；

．

（2

）①

． ，

，即，

，

同理，

． ，即

，，

．

．

②在和中，

．

．

设

，

在中，

，解得．

．

（3）存在这样的点和点

，使．

点的坐标是，对于第（3 过点

画

于

，连结

，

，

．

设

，

，

，

，

① 如图1，当点P 在点B 左侧时，

，

在

中，

，

解得

，（不符实际，舍去）．

，

．

②如图2，当点P 在点B 右侧时，

，

．

在

中

，

，解得．

综上可知，存在点，，使．

9、解：（1）由已知得：∴抛物线的线的解析式为

解得c=3,b=2

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F 所以四边形ABDE 的面积=

=

=

=9

（3）相似 如图，BD=BE=DE=所以

,

, 所以

是直角三角形

所以所以

∽

,

,

10、 (1)因为AB ＝OC ＝ 4，A 、B 关于y 轴对称，所以点A 的横坐标为2．将x ＝2代入y ＝以点M 的坐标为（0，2）．

，得y ＝2．所

(2) ① 如图2，过点Q 作QH ^ x轴，设垂足为H ，则HQ ＝y ，HP ＝x – t ．

因为CM//PQ，所以∠QPH ＝∠MCO ．因此tan ∠QPH ＝tan ∠MCO

，即．

所以

．整理，得．

如图3，当P 与C 重合时，，解方程，得．

如图4，当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝± 2． 因此自变量x 的取值范围是

，且x ¹± 2的所有实数．

图2 图3 图4

②因为sin ∠QPH ＝sin ∠MCO ，所以，即．

当时，．解方程

）．此时．

当如图6，当

时，时，

．解方程

；如图6

． ．

图5 图

11、

二、计算题

12、解：设A 种帐篷x 顶，B 种帐篷y

解，得

∴ A 种帐篷400顶，B 13

化简得

①＋②－③得：

④

②³2－①³3得：由④⑤得：∴

，，

⑤

14、解：（1）

（2）由题意得：

，

，，（m ）．

（3），，

设长为，则，解得：（m ），即同理三、选择题

15、B

，解得（m ），．