利用Ito公式求布朗运动和几何布朗运动的矩

第26卷第1期2010年2月

大　学　数　学

COLLEGEMATHEMATICS

Vol.26,№.1

Feb.2010

利用Ito公式求布朗运动和几何布朗运动的矩

杜晓磊,　万建平

(华中科技大学数学系,湖北武汉430074)

　　[摘　要]利用Ito公式及Ito积分的性质求出了布朗运动和几何布朗运动的矩的一般形式,同时指出可以利用这种方法求其他扩散过程的矩.

[关键词]布朗运动;几何布朗运动;矩;Ito公式

[中图分类号]O211.6　　[文献标识码]C　　[文章编号]167221454(2010)0121　引　　言

,被有效地应用于如拟合优度的统计检验,,在期权定价等领,但直接利用定义计算矩特别是高阶矩比较困难,.本文则是利用Ito公式及Ito积分的性质来计算布朗运动和几何布朗运动的矩,并给出了它们的一般形式.

引理1(Ito公式)[1]　如果f(x)是二次连续可微,那么对于任意t,

f(B(t))=f(0)+

∫

t

(B(s))dB(s)+f′

2

(B(s))ds,f″∫

t

其中B(t)为布朗运动.

引理2[1]　设X(t)是一可料过程,使得

∫

t

E[X2(s)]ds

那么

Y(t)=

X(s)dB(s),　0≤t≤T

∫

0t

是一零均值平方可积鞅.

2　布朗运动的矩

令B(t)为布朗运动,根据布朗运动的性质,可以直接得到E[B(t)]=0,E[B2(t)]=t,且E[Yn(t)]

首先计算E[B3(t)].由引理1,因为函数X3二次连续可微,且B(0)=0,所以

B(t)=

3

∫

t

3B(s)dB(s)+

2

3B(s)ds.

∫

t

两边取期望,由引理2得

　[收稿日期]2007206229

　[基金项目]国家自然科学基金(30973586)

176

3

大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第26卷

E[B(t)]=0+

3E[B(s)]ds=0.

∫

0t

再计算E[B4(t)],同理可得

B(t)=

4

∫

t

4B(s)dB(s)+

3

∫

t

6B2(s)ds.

两边取期望,由引理2得

E[B(t)]=0+

4

∫

t

6E[B(s)]ds=

2

∫

0t

t

6sds=3t2.

推广至Bn(t),其中n∈,由引理1得

B(t)=

n

∫

0n

t

nB

n-1

(s)dB(s)+2

t

∫

B

n-2

(s)ds,

(1)

E[B(t)]=

2

∫

E[Bn-2(s)]ds

对(1)式观察可以发现,由于E[B(t)]=0,E[B3(t)]=0,我们可以猜想:对任意奇数n,E[Bn(t)]=0;又由E[B2(t)]=t,E[B4(t)]=3t2,我们可以猜想:对任意偶数n,

E[B(t)]=(n-1)!!t.

n

2下面用数学归纳法证明.

首先证当n为奇数时E[Bn(t)]=0.

当n=1时,显然E[Bn(t)]=0,故当=1,设当n=2k-1时,E[B2k-1.n,由(1)式得

[B

2+1

(t)]=

(2k+1)2k2

0ds=0.∫

t

所以结论成立.

下证n为偶数时,E[B(t)]=(n-1)!!t.

当n=2时,显然E[Bn(t)]=t,故当n=2时,结论成立;

设当n=2k时,E[B2k(t)]=(2k-1)!!tk.当n=2k+2时,由(1)式得

E[B2k+2(t)]=

(2k+2)(2k+1)2

n

2∫

t

(2k-1)!!skds

=(2k+1)!!tk+1.

所以结论成立.即

E[B(t)]=

n

0,

(n-1)!!t2,

当n为奇数时,当n为偶数时.

3　几何布朗运动的矩

()

令Y(t)为几何布朗运动,根据几何布朗运动的性质,可以得到Y(t)=eBt,Y(0)=1,且E[Yn(t)]

∞.对任意n∈,由引理1可得

Y(t)=Y(0)+

2

n

2∫dB(s)=1+Y(s)ds+nY(s)dB(s).

2∫∫

n

t

2

e

nB(S)

t

ds+

t

ne

nB(S)

t

nn

00

两边取期望,由引理2得

E[Y(t)]-1=

n

2

2

∫

t

E[Yn(s)]ds.(2)

令hn(t)=

∫

t

E[Yn(s)]ds,则(2)式化为常微分方程

第1期　　　　　　　杜晓磊,等:利用Ito公式求布朗运动和可布朗运动的矩

(t)-1=hn′hn(0)=0

.

2

177

2

hn(t),

解得hn(t)=

n

n

2e

2

t/2

-

n

2

nn

,所以E[Y(t)]=e

2

t/2

.

4　结束语

本文利用Ito公式及Ito积分的性质求出了布朗运动和几何布朗运动的矩.求矩时首先利用Ito公式将它展开,然后对等式两边求期望,根据Ito积分的性质化简式子,从而使求矩的运算得到了简化.

对于一般的扩散过程Z(t)=f(B(t),t),其中f(B(t),t)对B(t)二阶连续可微,对t一阶连续可微,也可以利用这种方法.

首先利用含双变量的Ito公式得到

(B(s),s)+　　　dZ(s)=fs′

(B(s),s)dB(s),f″ds+fB′BB(B(s),s)

2

2

(B(s),s)ds,　　　d[z,z](s)=fB′

n-2

　　　dZn(s)=nZn-1dz(s)+Z(s)d[z,z](s)

2

=

2

Z

n-2

2

(s)fss),s)nn-t((s),s)+

2

Z

n-1

(s)f″dsBB(B(s),s)

()s.　+nZn-1(s)fB′

n

t

nZ

n-1

(s)fB′(B(s),s)]2ds

E[Z(s)]=Z(0)+

n

∫

t

2

Z

n-2

2

(s)fs′(B(s),s)　　　　

(B(s),s)+　+nZn-1(s)ft′

2

Z

n-1

(s)f″ds.BB(B(s),s)

[参　考　文　献]

[1]　FimaCKlebaner.Introductiontostochasticcalculuswithapplications[M].London:ImperialCollegePress,1988.[2]　SheldomMross.随机过程[M].北京:中国统计出版社,1997.

ComputetheMomentofBrownianMotionandGeometric

BrownianMotionintheItoFormula

DUXiao2lei,　WANJian2ping

(DepartmentofMathematics,HuazhongScienceUniversity,Wuhan430074,China)

Abstract:IntheItoformulaandthepropertyItointegral,theMoment’sthegeneralformofBrownianmotionandgeometricBrownianmotioncanberepresented;Inaddition,themethodcanbeappliedtocomputeotherdiffusionprocesses’moment.

Keywords:Brownianmotion;geometricBrownianmotion;moment;Itoformula