集合的基本概念和性质知识点及练习
集合的基本概念和性质
【基本知识点】
一 集合与元素
1.集合是由元素组成的
集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
2.集合中元素的属性
（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系
（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A；”
（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A。”
4.集合相等
如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
二 集合的分类
1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；
2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；
3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.
三 集合的表示方法
1.常用数集
（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；
（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；
（3）整数集：全体整数的集合，记做Z
（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q
（5）实数集：全体实数的集合，记做R
3.集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如小于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.
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注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被
说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写
在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。
（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。
韦恩图法：一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，直观表示集合间的关系。
4.列举法和描述法之间的相互转换
（1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。
（2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。
四 子集
1.子集定义的三种语言
①文字语言：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B 的子集，记作A⊆B（或A⊇B），读作集合B含于集合A（或集合B包含集合A）。
②符号语言：对于任意a∈A，都有a∈B，则称集合A是集合B 的子集。
③图形语言：Venn图
若集合A是集合B 的子集，
可用右图来表示两个
集合之间的关系。
★任何一个集合是它本身的子集。
2.集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合A等于集合B，记作A=B。（A⊆B且B⊇A⟹A=B）
3.真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A为集合B的真子集，记作AB或BA（若A⊂B，且A≠B，则集合A是集合B 的真子集）
4.子集的性质
①A⊆A，即任何一个集合都是它本身的子集
②如果A⊆B，B⊆A，那么A=B
③如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C
④如果AB，BC，那么AC
五 空集
1.不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3.{0}、0、∅与{∅}之间的关系
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0≠{0}≠∅≠{∅} 0∈{0} ∅⊆ {0} ∅∈{∅} ∅⊆{∅}
六 有限集合的子集的个数
1.n个元素的集合有2n个子集
2.n个元素的集合有2n−1个真子集
3.n个元素的集合有2n−1个非空子集
4.n个元素的集合有2n−2个非空真子集
【课后练习】
一 选择题
1.下列每组对象可构成一个集合的是 （ ）
（A）中国漂亮的工艺品 （B）与1非常接近的数
（C）高一数学第一张的所有难题 （D）不等式2x+3＞1的解
2.下列说法正确的是 （ ）
（A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合 （B）0与｛0｝表示同一个集合
（C）{x∈Q|x∈