数学模型--人在雨中奔跑速度与淋雨量的关系

人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

摘要：

本文通过对人在雨中奔跑速度与淋雨量的分析，运用统计分析和分类讨论的方法，得出人在雨中奔跑时最佳的奔跑速度与淋雨量的关系。因此从以下方面分析：

一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W 与跑步速度v 之间的函数关系。分析表明当跑步速度为

v max

时，淋雨量最少。并计算出当雨与人体的夹角θ=0、θ=30°时淋雨量

三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m s 时淋雨量最少

四，列出淋雨量W 和跑步速度v 之间的函数关系式，利用MATLAB 画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。

五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。

1、问题的重述

要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

将人简化为一个长方体，高a =1.5m /s （颈部以下），宽b =0.5m ，厚c =0.2m ，设

v =5m /s 跑步距离d =1000m ，跑步最大速度m ，雨速u =4m /s ，降雨量w =2cm /h ，记

跑步速度为v 。

问题一，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如

图1, 建立总淋雨量与速度v 及参数a , b , c , d , u , w , θ之间的关系，问速度多大，总淋雨量最

o

θ=0, θ=30少，计算时的总淋雨量。

问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2. 建立总淋雨量与速度v 及参数a , b , c , d , u , w , θ之间的关系，问速度多大，总淋雨量

o

最少，计算θ=30时的总淋雨量。

问题四，以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

问题五，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。

2、问题的分析

问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w 均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总 面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W 。

问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据分析可以得到人在头部及身体前面淋雨，计算模型中长方体的面积，再根据人的速度和跑步路程得出时间t, 进而求出在人体总的淋雨量. 据此可得W 与v 之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量。

图1

问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2

所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量w 1与雨速垂直方向上的分量成正比，W 1为头顶面积bc 与时间的d/v以及w 1之积。当v

由此可计算出总的淋雨量。W =W 1+W 2，据此可得W 与v 之间关系，并能求出α=30°时的总淋雨量。

问题四以总淋雨量W 为纵轴、速度ν为横，针对问题三的求解，利用MATLAB 作出当α分别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的曲线图并加以分析。

问题五，如图三，为人体模型的俯视图。需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直

d

方向分速度为u cos β，相对速度为v -u sin θcos β，乘上垂直受雨的面积ab 以及时间

v 即为前后侧受雨量W 2。因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为

u sin θsin β乘上面积ac 以及时间

d

极为左右受雨量W 3. 而头顶受雨与雨速和人速夹角v

大小无关，因此W 1仍按（2）、（3）问的算法做。由W =W 1+W 2+W 3可得雨量求法公式。

图3

3、模型的假设与符号说明

3.1、模型的假设

1、把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2、问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3、问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。

4、假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变 5、假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

3.2、符号说明

h :人的身高

w :宽度 d ：厚度

v :速度

θ：降雨下落方向与人的夹角

W ：淋雨总量

I :降雨大小(降雨强度) D ：路程

4、模型的建立与求解

问题一：

不考虑雨的方向，因为降雨量w 均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W 的求解公式如下： W =(2ab +bc +2ac )w MATLAB 编程求解，可得： W ≈0.0024m 3 问题二：

s s

将降落在人体上的雨滴分成两部分，1 （顶部）2（前面），人体接收的雨量和头

d v max

，利用

顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量

u 1

、行走时间有关。

列式求解如下： 头顶：

u 1=u cos θ

s 1=bc

假设降雨量w 与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：

w 1∝u 1w 1=w cos θ

W 1=w 1s 1t =w cos θbc

d bcdw =cos θv v

正面：

v 2=v sin θ+u

而

w 2∝v 2w 2=

v sin θ+u u

=w 2w

v sin θ+u

w u

⎛v ⎫abd

W 2=w 2s 2t = sin θ+1⎪w

v ⎝u ⎭

bd ⎛av ⎫

W =W 1+W 2=w c +sin θ+a ⎪

v ⎝u ⎭

利用MATLAB 编程求解，可得：

当v =5m/s时，淋雨量W 最小；当θ=0°时，W =0.0012 m ，当θ=30°时，W =0.0016m

33

图4

问题三：

图5

s s s s =bc

将降落在人体上的雨滴分成两部分，1 （顶部）2（前后两面），1面积为1 假

设：

w 1

与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。

头顶：

w 1∝v 1

v 1=u cos α∴w 1=w cos α

d

W 1=s 1w 1t =bcw cos α

v

正面：当u sin α

w 2∝v 2

v 2=v -u sin α

∴w 2=

v -u sin α

w u

v -u sin αd

wab u v

当u sin θ≥v 时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面

W 2=

w 2∝v 2

v 2=u sin α-v

∴w 2=

u sin α-v

w u

W 2=

u sin α-v d

wab ，因为W =W 1+W 2 u v

d ⎧bcw ⨯cos α⨯d u sin α-v +wab ⎪⎪v u v

所以W =⎨

⎪bcw ⨯cos α⨯d +v -u sin αwab d ⎪v u v ⎩

[u ⨯sin α>v ]

[u ⨯sin α≤v ]

编程求解可得：当v =2m/s时，总淋雨量最少；雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为0.2405556E-03m 3。

问题四： 合速度

u sin α-v

d ⎧bcw ⨯cos α⨯d u sin α-v

+wab ⎪⎪v u v

总淋雨量 W =⎨

⎪bcw ⨯cos α⨯d +v -u sin αwab d ⎪v u v ⎩

[u ⨯sin α>v ]

[u ⨯sin α≤v ]

若ccos α-asin αc/a,则v=usinα时，W 最小。否则，V=v m 时，W 最小。（如下图）

α

当a=30°，tan α>0.2/1.5,v=2m/s,W ≈0.24升最小，可与v=Vm,W≈0.93升相比。

分析结果的实际意义可知，当雨从背面吹来，只要α不太小，满足tan α>c/a,即：α>7.6时，v=usinα,W 最小。此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

问题五：

该问题中，只举例研究雨从正侧面吹来。设雨线与跑步速度方向夹角为δ。作图如下：

W1=bcdwsinδcos β/v

雨速水平分量 ucosδ(方向与v 相反)

合 速 度 ucosδ+v 单位面积时 间的淋雨量 ω（ucos δ+v）/u W2=abdω(ucosδ+v)/uv

W3=acdwsinδsin β/v W=W1+W2+W3=bcdwsinδcos β/v+abdw(ucosδ+v)/uv+acdwsinδsin β/v

由以上式子可知，当v 最大时，W 最小。其他情况与问题二处理类似，利用速度分解和合成，可以解决。本质并无区别。

5、模型的评价

5.1、模型优点

通过模型的建立，对雨的各个方向进行了讨论，比较客观得出了人的速度与淋雨量的关系。同时应用了matlab 等软件的得到了比较准确的结果，并与实际情况相比较，忽略次要干扰，得到了比较满意的结果。 5.2、模型改进

此模型将人近似类比为长方体，与人体的实际形状有较大的差异，经分析后发现可以将人类比于一个长方体加一个球；并且文章没有考虑到人在奔跑时雨淋到身上并不是

准确的直线，而是会发生偏折。

参考文献：

l 、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998) 2、数学建模案例分析，白其岭主编，海洋出版社，(2000年，北京)

小组成员：熊俞超 辛晓云