四边形专题复习-特殊四边形[教学设计]

教学设计

一、教学目标：

1. 理解中点四边形等特殊四边形的概念，掌握相关四边形的性质、判定和应用； 2. 激发学习兴趣，培养勇于探索、勇于创新的精神；

3. 培养独立分析问题、解决问题的能力以及研究能力和创新意识。 二、教学重点：相关特殊四边形的概念，性质，判定及应用 三、教学难点：相关特殊四边形的应用 四、教学方法：启发讲授与合作探究 五、教学手段：多媒体课件辅助教学 六、教学过程：

环节一：复习回顾，引入课题

活动要求：复习回顾，回答问题，总结规律。 教师指导：引导学生完成中点四边形的性质的总结。 设计意图：复习回顾，为下一环节做好铺垫，引入课题。 1. 三角形中位线的概念和性质；

三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段。 性质：三角形的中位线平行且等于第三条边的一半。

判定：过三角形一边的中点，且平行于第三边的直线必平分第二边。 2. 中点四边形的概念及性质。

中点四边形的概念：顺次连接四边形各边中点的四边形。

性质：四边形的中点四边形为平行四边形，矩形，菱形和正方形的中点四边形分别为菱形，矩形和正方形。

问题1：什么样的四边形的中点四边形是矩形，菱形和中点四边形？ 问题2：具备什么特征的四边形的中点四边形是特殊的四边形？

总结：一个四边形的中点四边形的形状由原四边形的对角线的特征决定。

环节二：深入探究，获取思路 活动要求：学生分析。 教师指导：教师精讲。

设计意图：培养学生对新知识灵活的应用的能力，获取解决此类问题的一般思路。

除了平行四边形，矩形，菱形和正方形这些特殊的四边形之外，还有一些四边形具备一定的特殊性，主要涉及到某些边（角或对角线）相等（或位置上的平行），但条件比前述特殊四边形的弱，象这样的四边形我们称之为弱特殊四边形，例如：前面学习的梯形，又比如，刚刚学习的两条对角线相等的四边形。 对于等对角线四边形

1、等对角线四边形的概念：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。 2、等对角线四边形的性质：其中点四边形为菱形。 3、经典例题：（2006年北京中考第25题）

我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。 请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。 解析：（1）矩形、正方形。

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。

已知：如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD,且∠AOD=600， 求证：BC+AD≥AC.

证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC。 连接CE、BE，故∠EDO=600，四边形ACED是平行四边形。 所以⊿BDE是等边三角形，CE=AD，所以DE=BE=AC. ① 当BC与CE不在同一条直线上时（如图1）, 在⊿BCE中，有BC+CE>BE,所以BC+AD>AC ② 当BC与CE在同一条直线上时（如图2）, 则BC+CE=BE, 因此BC+AD=AC.

综合①、②得：BC+AD≥AC.

图2 图1

即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。

评析：本题是一道新定义的开放性题目，它削弱矩形定义中“平行四边形”这个条件的等对角线四边形。

渗透了分类讨论思想，通过作辅助线将问题转化为平行四边形，等边三角形的相关问题解决，渗透了转化思想。考查了学生思维的严密性以及灵活运用所学知识分析、处理问题的能力。 环节三：发散思维，提升能力 活动要求：学生分析，体会，探索。 教师指导：教师精讲，点拨，总结。

设计意图：通过几个问题的解决，掌握相关四边形的判定、应用，激发学习兴趣，培养勇于探索、勇于创新的精神；并培养独立分析问题、解决问题的能力以及研究能力和创新意识。

为考查学生的阅读理解能力，分析和解决问题的能力，许多中考试题，都是我们课本上的改编题。往往在原题的基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些我们不熟悉的命题。有效地考查了同学们的数学思维能力，体现了新课程理念。

在这几年的中考或一模考试中，陆续出现了等对边四边形，等邻边四边形，等邻角四边形等特殊四边形的问题。

1.等对边四边形（2007年北京中考第25题）

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图3，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若A60°，

DCBEBC

1

A．请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； 2

（3）如图3，在△ABC中，如果A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且

1

DCBEBCA．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

2

解：（1）平行四边形、等腰梯形等。

（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形； （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。

证明：如图4，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。

因为∠DCB=∠EBC=

1

∠A，BC为公共边， 2

图3

所以△BCF≌△CBG， 所以BF=CG，

因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，

∠BEC=∠ABE+∠A， 所以∠BDF=∠BEC，

图4

可证△BDF≌△CEG， 所以BD=CE. 所以四边形DBCE是等对边四边形。

评析：本题是一道新定义的开放性题目，它类比等腰三角形的等对边四边形，要求同学们从有一个角是60°特殊的等对边四边形中总结方法，然后解一般性的等对边四边形，体现了从特殊到一般的数学思想，另外也渗透了转化的思想。 2.等邻边四边形--筝边四边形（课堂练习）

我们给出如下定义：若一个四边形的两组相邻两边分别相等，则称这个四边形为筝边四边形，把这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边．

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是筝边四边形的图形的名称 。

（2）如图5，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)， A(0,3)，B(3,0)，请你在图中画出所有以格点为顶点，OA,OB为边的筝边四边形OAMB；

（3）如图6，在筝边四边形ABCD,AD=CD,AB=BC, 若∠ADC=600，∠ABC=300．求证：2AB2=BD2.

解：（1）菱形，正方形等。

（2）如图7，筝边四边形为四边形BOAM1,

四边形BOAM2, 四边形BOAM3, 四边形BOAM4

（3）证明：如图8，延长DC，过B点作BE⊥DC于点E。 ∵AD=CD, AB=BC, BD=BD ∴⊿ADB≌⊿CDB

∴ ∠BDC=∠ADB =300, ∠DBC=∠ADB=150 ∴ ∠BCE=∠BDC+∠DBC =450 设BE=k,则在Rt⊿BCE中，BC=2k

在Rt⊿BDE中，BD=2k ∴ 2AB2=2BC2=4k2= BD2

评析：本题的筝边四边形，是把平行四边形的判断中“两组对边分别相等”这个条件改为“两组相邻两边分别相等”这个条件。体现了数学的对称美。此题也渗透了转化思想。 3.等邻角四边形（课下练习）

图8 图7

图5

图6

我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；

（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，

连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；

（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H．图中是否存在

等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．

AF

B

D

E图1

B

G

FD

E图2

A

（1）解：等腰梯形（或矩形，或正方形）． （2）证法一：取AC的中点H，连接HE、HF．

∵点E为BC的中点， ∴EH为△ABC的中位线．

1

∴EH∥AB，且EHAB．

2

1

同理 FH∥DC，且FHDC．

2

AF

12

H

C

B

DE

∵AB=AC，DC=AC，

∴AB=DC．∴EH=FH．∴12． ∵EH∥AB，FH∥DC，

∴24，13．∴43． ∵AGE4180，GEC3180， ∴AGEGEC．

∴四边形AGEC是等邻角四边形． 证法二：连接AE．

设B的度数为x， ∵AB=AC，CD=CA，

180xx

90． 22

1

∵F是AD的中点，∴EFDFAD．

2

x

∴2190．

2

B

AC

D

E

∴CBx，1

∴AGEB2x90

xxxx90．GEC180(90)90． 2222

∴AGEGEC． ∴四边形AGEC是等邻角四边形．

（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC． （证明方法同（2）中方法一）

环节四：反思总结，延续学习 活动要求：学生总结发言。

教师指导：引导学生总结知识技能，思想方法和数学本质。

设计意图：对本节课有全面地感知，巩固对本节课的认识，延续学习。

总结：1、将问题转化为借助于平行四边形，三角形全等，三角形中位线等知识解决； 2.渗透了转化思想，分类讨论思想，由特殊到一般的思想方法；

3.对于新定义开放性的阅读理解题目，抓住特殊图形的定义，转化为所学常见图形是解决问题的关键。 课后思考：对等对角四边形给出定义，并说出它的一条性质，自编一道阅读理解题。 七、板书设计

四边形专题复习之特殊四边形

1、 中点四边形 2、等对角线四边形

四边形 中点四边形 3、等对边四边形 新定义开放性 对角线相等 菱形 4、等邻角四边形 阅读理解问题 对角线垂直 矩形 5、等对角四边形

对角线相等且垂直 正方形 总结：抓住定义，转化思想。 八、课后反思