功与能的两个难点问题的方法研究

功与能的两个难点问题的方法研究

常州市第一中学（213003） 刘霁华

功与能的知识一直是高中物理最重要的内容，

其中变力做功问题和连接体的机械能守恒问题则

是我们学习中的难点和高考命题的重点，本文系统

讨论这两类问题的分析方法，以飨读者。

一、变力做功的几种求法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，功的计算公式只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：

1、等值法

等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用计算，从而使问题变得简单。

例1．如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：

，

2、微元法

当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体

运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，

可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做

功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例2．如图2所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边

缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方

向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：

A、 0J B、20πJ C 、10J D、20J.

分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与

力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J，故B正确。

3、平均力法

如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

5 例3．一辆汽车质量为10kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力

的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？

分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进

100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f0＝0.05×105×10N

＝5×104N,所以前进100m过程中的平均牵引力:

∴W＝S＝1×105×100J＝1×107J。

4、用动能定理求变力做功

例4．如图3所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

分析与解：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功WG=mgR，水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以mgR－μmgL－WAB=0 即WAB=mgR－μmgL=6(J)

5、用机械能守恒定律求变力做功

如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

例5．如图4所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜

面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧

接触并将弹簧压缩到B点时

的速度为零，已知从A到B

的竖直高度h=5m，求弹簧的

弹力对物体所做的功。

分析与解：由于斜面光滑

故机械能守恒，但弹簧的弹

力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A：EA= mgh+mV02/2

对状态B：EB=－W弹簧+0

由机械能守恒定律得： W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。

6、用功能原理求变力做功

例6、两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图5所示，已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，

最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等

于 .

分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打

开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高

以上部分的水等效地移至右管，如图6中的斜线所

示。最后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少

量，选用AB

所在的平面为零重力势能平面，则画斜线部分

从左管移之右管所减少的重力势能为：

，

所以重力做的功WG=.

二、连接体的机械能守恒问题

连接体的机械能守恒问题一直是高考的重点，

也是我们学习中的难点，下面我们通过实例分析用

机械能守恒定律解连接体问题时要注意的几个问

题。

1、正确选取系统

应用机械能守恒定律必须准确的选择系统，系

统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械

能不守恒。对机械能不守恒的系统应用机械能守恒

定律必然得出错误的结果。

例7．如图7所示，长为2L的轻杆OB，O端装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B，OB中点A固定一个质量为m的小球A，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求（1）A、B球摆到最低点的速度大小各是多少？

（2）轻杆对A、B球各做功多少？（3）轻杆对A、B球所做的总功为多少？

错解分析：有学生分别选A、B球及地球为一系统，有机械能守恒定律得到：

由上两式得：

上述解法中对系统的选择是错误。事实上，小球A（B）与地球单独组成的系统机械能并不守恒，这是因为轻杆往下摆的过程中，轻杆分别对A、B球做了功（注意轻杆可以产生切向力，不象轻绳，只能产生法向力）。对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解，当然出错。应选A、B球及地球所组成的系统，机械能是守恒的。

正确解答：

（1） 选A、B及地球为一系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统

机械能守恒，有：

②

，由①②式可得：

（2）由上不难得到：轻杆对B球做正功，对A球做负功。 ，即A、B间的 ①

轻杆对A球做功为：

同理可得，轻杆对B球做功为：

（3）轻杆对A、B所做总功为0。

2、注意分析过程

机械能守恒不仅要关注初、末状态，同样也要关注物理过程。选取物理过程必须遵循两个基本原则，一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化，有时可选全过程，而有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解。

例8．如图8所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长均为L的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上。，A球刚跨过桌面。若A球、B球下落着地后均不再反弹，则C球离开桌边缘时的速度大小是多少？

分析与解：本题描述的物理过程是：A球下落带动B、C球运动。A球着地前瞬间，A、B、C三球速率相等，且B、C球均在桌面上。因A球着地后不反弹，故A、B两球间线松弛，B球继续运动并下落，带动小球C，在B球着地前瞬间，

B、C两球速率相等。故本题的物理过程应划分为两个阶段：从A球开始下落到A球着地瞬间；第二个阶段，从A求着地后到B球着地瞬间。

在第一个阶段，选三个球及地球为系统，机械能守恒，则有：

①

第二个阶段，选B、C两球及地球为系统，机械能守恒，则有：

②，由①②解得：

3、合理选用方程

在运用机械能守恒定律的状态式

题中必须选取同一零

题，运用

变化式

个最大优点是不必选时，必须选取零势能参考面，而且在同一问势能参考面。但对于连接体的机械能守恒问求解不太方便，而运用

则较为简单。运用变化式的一取零势能参考面。

例9．如图9所示，一固定的斜面，倾角为30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一软细线跨过定滑轮,两边分别与A、B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物块A与斜面间无摩擦,设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了，求物块B上升的最大距离H。

分析与解：

①

对B：

4、研究状态关系

要注意，几个连接体的速率和在某过程中所发生的位移常常是不同的，所以要认真研究各个物体的初、末状态物理量的关系，才能正确解题。

例10．如图10，半径为R的1/4圆弧支架竖直放置，支架底AB离地的距离为2R，圆弧边缘C处有一小定滑轮，一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体，挂在定滑轮两边，且m1＞m2，开始时m1、m2均静止，m1、m2可视为质点，不计一

切摩擦。求：

⑴m1释放后经过圆弧最低点A时的速度v1

⑶如m1恰能到达A点，m1与m2之比为多少?

分析与解：此题物理过程一目了然， m1 与m2 组成

的系统机械能守恒，但学生出错原因是m1 与m2 由一条

绳子相连就误认为m1 到点A的速度等于m2 的速度造成

第1 问的错误， 接着第2 问要用上一问的结果， 这样

导致第2问也是错误的。 在第3 问中很显然m1 恰能到

达A点的临界状态是m1 经过圆弧最低点A时的速度为

0 ，但是有些学生正因为m1 与m2 由一条绳子相连就误认为m1

下降的高度等于 ②,③ ，由①②③得

m2 升高的高度而出错。所以对于连接体问题，要注意分析两个物体状态细节，

搞清位移、速度等物理量的关系。 ⑴设m1运动到最低点时速度为v1，此时m2的速度为v2，速度分解如图11，得： v2= v1sin45° ，m1下降了高度R,m2上升了高度为，

由系统的机械能守恒得：

，由上述两式求得：

（2）m1能到达A点满足条件v1≥0 由

解得：