谈谈正多边形的镶嵌
谈谈正多边形的镶嵌问题
在实际生活中，经常遇到用正多边形铺满地面问题.这种用正多边形铺满地面问题，在数学上称为正多边形的镶嵌.所谓正多边形的镶嵌指的是用给定的一种或多种正多边形，把它们不相互重叠地拼成一个不留空隙的平面图形.解答这种问题，关键在于判断围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起是否恰好组成一个周角？若恰好组成一个周角，就能镶嵌平面；否则，就不能镶嵌平面.现举例介绍两种常见的正多边形镶嵌问题.
一、单一正多边形的镶嵌问题
解答单一正多边形的镶嵌问题，只要判断360是否是给定的正多边形每个内角的正整数倍.
例１ 下列正多边形中，不能够铺满地面的是（ ）
（A）正三角形 （B）正四边形 （C）正五边形 （D）正六边形. o
108、析解：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的每一个内角分别是60、90、
120o.显然，360o是60o、90o、120o的整数倍，不是108o的整数倍.所以正三角形、正四边形、正六边形能够铺满地面，而正五边形不能够铺满地面，应选C.
例２ 学校新落成的阅览室需铺设同一种地面砖，则下列正多边形中不能选用的是（ ）
（A）正三角形 （B）正六边形 （C）正九边形 （D）正十二边形.
析解：正三角形、正六边形、正九边形、正十二边形的每一个内角分别是60、120、ooooo140o、150o.显然，360o是60o、120o的整数倍，不是140o、150o的整数倍.所以正三角形、正六边形能够选用，而正九边形、正十二边形不能够选用，应选C、D.
二、两种正多边形的镶嵌问题
解答两种正多边形的镶嵌问题，只要判断是否存在正整数x和y，使其中一种正多边的每个内角α的x倍与另一种正多边形每个内角β的y倍的和等于360即可. 例３ 用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（ ）
（A） 正四边形 （B）正六边形 （C）正十二边形 （D）正十八边形.
析解：正三角形、正四边形、正六边形、正十二边形、正十八边形的每个内角分别是60、oo90o、120o、150o、160o.不难发现，360o＝60o×３＋90o×２＝60o×４＋120o×１＝60＋150×２，所以正四边形、正六边形、正十二边形都可以与正三角形匹配进行镶嵌，仅正十八边形不能，应选D.
例４ 小明家准备选用两种形状的地板砖铺地，现在家中已有正六边形地板砖，下列形状的地板砖能与正六边形的地板砖共同使用的是（ ）
（A）正三角形 （B）正四边形 （C）正五边形 （D）正八边形.
析解：：正六边形、正三角形、正四边形、正五边形、正八边形的每个内角分别是120、ooo
60o、90o、108o、135o.不难发现，360o＝120o×２＋60o×２；不存在正整数x、y，使360o＝120ox＋90oy,或360o＝120o x＋108 y，或360o＝120o x＋135y成立，所以仅正三角形可与正六边形共同使用，应选A.
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