线性代数习题2解答

习 题 二 （A ）

1．利用对角线法则计算下列行列式：

（1）

cos θ-sin θ．

sin θ

cos θ

解 原式=1．

（2）x y x 2

y 2

． 解 原式=xy (y -x ) ．123

（3）3

12．

231

解 原式=18．

a b

c

（4）0

a b ． 00a

解 原式=a 3．

00a

（5）0

a b ． a b c

解 原式=-a 3

． 2．按定义计算下列行列式：00a 0（1）

b 000f 00c ．0d 0e b

解 原式=a (-1)

1+3

f 0

000c =ab (-1) 1+10d

e

d

c e

=-abcd ．

00（2）0n 10L 0002L 00L L L L L 00

． L n -10

解 原式=n (-1) n +1

100200

00n -1

=(-1) n +1n ! ．

3．利用行列式的性质，计算下列行列式：

ab

（1）bd

ac -cd cf

-ae de ． ef

1

1-11

-1

1

1

1

-bf

解 原式=abcdef 1

-1

1=abcdef 0-22=-4abcdef ． 1002

111

-222（2）

-3-33-4-4-412． 34

10

解 原式=

[1**********]4

=192． 68

a +x a a a a a +x a a

（3）．

a a a +x a a a a a +x

11111

a a +x a a a

解 原式=(4a +x ) =(4a +x )

a a a +x a a a a a a +x a 0

x 0000x 000

=(4a +x ) x 3． 0x

2

（4）

32

100

01

．

1

[1**********]

[**************]00-110-2-110-2

解 原式=- =-=-

[***********]1540015-1015-1

=-

123512

⋅=-215．

0-15-10

L L

10

0，其中a i ≠0, i =1,2, L , n ． M a n

1a 1

（5）0

a 2L 0

L

n

M M L 0

解 原式=

1r 1-r i

a i 2≤i ≤n

-∑

i =1

1a i

000

1n

=(1-∑) ∏a i ． 0

i =1a i i =1

n

a 1000

a 20

a n

4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：

1

（1）

20

1

141331

．

0-12110

020-1

解 原式=

100102131

2010011-32=-121=-321==-7． 3-13

131-1311

-3936-5827（2）．

4-5-3-2

7

-8-4-5

0-3

解 原式=

13

a 100

（3）M

03224-34-400

L L

-[1**********]=3144=3144=-3=18． 466

3430663000M a n -10

00a 3

a 200

0a 20

100

．（按照最后一列展开） 0a n

000

100+a n

a 10000a n -1

+a 1a 2

a n

a 3L

01

M M 00L 0

L

0a 2

解 原式=(-

1)

n +1

00

0a 20

00a n -1

a n -100a 30

=(-1)

n +1

(-1)

1+(n -1)

=-a 2a 3a n -1+a 1a 2

000000

a n =a 2a 3a n -1(a 1a n -1) ．

210L 121L

（4）D n =

012L M M M 000L 000L

M 2112

．（递推法）

解 将行列式按第一行展开，得D n =2D n -1-D n -2，则

D n -D n -1=D n -1-D n -2=

所以D n =D n -1+1=D n -2+2=

21

=D 2-D 1=-2=1，

12

=D 1+(n -1) =n +1．

5．利用行列式展开定理证明：当α≠β时，有

D n =

α+βαβ0L α+βαβL 01α+βL

00

M 00

M 00

O L L

000M

000M

αn +1-βn +1

=．

α-β

α+βαβ1α+β

证 将行列式按第一行展开，得D n =(α+β) D n -1-αβD n -2，则（递推法）

D n -βD n -1=α(D n -1-βD n -2) =α2(D n -2-βD n -3)

=

=αn -2(D 2-βD 1) =αn -2[(α+β) 2-αβ-β(α+β)]=αn ，

所以D n -βD n -1=αn ． （1）

由D n 关于α与β对称，得D n -αD n -1=βn ． （2）

αn +1-βn +1

由（1）与（2）解得D n =．

α-β

a

b

c

b 2c 2．

b +c a +c a +b

1a 2

1b b 2

1c c 2

2

6．利用范德蒙德行列式计算行列式a

解 （第一行加到第三行上去，再提取）原式

a

=(a +b +c ) a 2

1

b b 21

c 1

c 2=(a +b +c ) a

=(a +b +c )(b -a )(c -a )(c -b ) ．

21

7．设D =

-[1**********]5

，试求A 14+A24+A34+A44和M 11+M12+M 13+M 14．（已讲） 31

解 A 14+A24+A34+A44=0；

1-111

M 11+M 12+M 13+M 14=A 11-A 12+A 13-A 14=

-31511-125

3311

0-121

=

-216103420

2346-5046-5=-242=-242=-2=-84． 262

6206200

8．利用克拉默法则解下列线性方程组：

⎧x 1+x 2+x 3+x 4=5, ⎪x +2x -x +4x =-2, ⎪1234

（1）⎨

⎪2x 1-3x 2-x 3-5x 4=-2, ⎪⎩3x 1+x 2+2x 3+11x 4=0.

解 经计算，得D =-142, D 1=-142, D 2=-284, D 3=-426, D 4=142，所以方程组的解为x 1=1, x 2=2, x 3=3, x 4=-1．

⎧x 1-2x 2+3x 3-4x 4=11, ⎪x 2-x 3+x 4=-3, ⎪（2）⎨

x +3x +x =0, 24⎪1⎪⎩-7x 2+3x 3+x 4=5.

解 经计算，得D =16, D 1=16, D 2=0, D 3=32, D 4=-16，所以方程组的解为

x 1=1, x 2=0, x 3=2, x 4=-1．

⎧2x 1-x 2+3x 3=0,

⎪

9．试问λ取何值时，齐次线性方程组⎨3x 1-4x 2+7x 3=0, 有非零解．

⎪-x +2x +λx =0

23⎩1

解 方程组有非零解，则D =0．又

2-13

D =3-47=-5(3+λ) ，

-12λ

所以λ=-3．

⎧λx 1+x 2+x 3=0, ⎪

10．试问λ、μ取何值时，齐次线性方程组⎨x 1+μx 2+x 3=0, 有非零解．

⎪x +2μx +x =0

23⎩1

解 方程组有非零解，则D =0．又

λ

D =1

1

所以λ=1或μ=0．

11

μ1=μ(1-λ) ， 2μ1

（B ）

1．选择题：

2a 11

a 11

（1）设a 21

a 12a 22a 32

a 13

a 23=a ≠0，则2a 21a 33

2a 31

a 31

1

a 13-5a 1231

a 23-5a 2231

a 33-5a 323

-3a 12

-3a 22=( )． -3a 32

（A ）2a （B ）-2a （C ）-3a （D ）3a

a 11

解 原式=2⨯(-3) a 21

c 1÷2c 3÷(-3)

a 31

选（A ）．

1

a 13-5a 1231

a 23-5a 2231

a 33-5a 323

a 11

1

a 22=-6⨯⨯(-a 21

c 2+5c 33c 2⨯3

a 31c 2c 3

a 32

a 12

a 12a 22a 32a 13

a 23) =2a ． a 33

a 10

（2）四阶行列式

0b 4

0a 2b 300b 2a 30

b 10

的值等于（ ）．（同本套题题2） 0a 4

（A ）a 1a 2a 3a 4-b 1b 2b 3b 4 （B ）a 1a 2a 3a 4+b 1b 2b 3b 4

（C ）(a 1a 2-bb 12)(a 3a 4-b 3b 4) （D ）(a 2a 3-b 2b 3)(a 1a 4-bb 14)

解 将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得

a 100b 4

选（D ）．

0a 2

b 30

0b 2a 30

b 1a 1b 1a 400

00a 2b 3

00b 2a 3

=(a 2a 3-b 2b 3)(a 1a 4-b 1b 4)．

b 40=00

0a 4

（3）设线性方程组⎨（ ）． （A ）x 1=

a 11a 12⎧a 11x 1-a 12x 2+b 1=0,

若=1，则方程组的解为

⎩a 21x 1-a 22x 2+b 2=0. a 21a 22

b 1b 2

a 12a 22

, x 2=

a 11b 1

a 21b 2

（B ）x 1=-

b 1b 2

a 12a 22

, x 2=-

a 11b 1

a 21b 2

（C ）x 1=-

b 1b 2

a 12a 22

, x 2=

a 11b 1

a 21b 2

（D ）x 1=

b 1b 2

a 12a 22

, x 2=-

a 11b 1

a 21b 2

解 将方程组写成标准形式：⎨

⎧a 11x 1-a 12x 2=-b 1,

有

⎩a 21x 1-a 22x 2=-b 2.

-a 12b

=1

-a 22b 2

a 12a , D 2=11a 22a 21

-b 1a b

=-111， -b 2a 21b 2

D =

a 11

a 21-a 12-b

=-1, D 1=1

-a 22-b 2

所以方程组的解为

b 1D 1

x 1==-

b 2D

选（C ）．

a 12D 2a 11b 1

, x ==． a 222D a 21b 2

1x

（4）方程f (x ) =2

x x 31a a 2a 31b b 2b 31c

． =0的根的个数为（ ）2

c c 3

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

解 方法一：将f (x ) 按第1列展开，知f (x ) 为3次多项式，因此有3个根．选（C ）．

方法二：（计算出来：每一行分别减去上一行的a 倍，之后按照第二列展开，再提取即可）

f (x ) =(a -x )(b -x )(c -x )(b -a )(c -a )(c -b ) 有3个根

x 1=a , x 2=b , x 3=c ．

选（C ）．

2．计算四阶行列式D 4=

a 1

0c 10

0b 10d 1

a 20c 20

0b 20d 2

．（同本套题题1（2））

a 1

解 D 4=-

00

b 1d 1

a 2c 200

a 1a 2

c 200

00b 1

00 b 2

c 100

0c =1b 20d 2

d 1d 2

a 1a 2b 1b 2

=⋅=(a 1c 2-a 2c 1)(b 1d 2-b 2d 1) ． c 1c 2d 1d 2

1-11x -11-1x +1-1

3．计算四阶行列式D 4=．

1x -11-1x +1-11-1

x

x

解 D 4=

x x

=x x 0D 4=

0x

-11x -1-1x +1-1

=x

x -11-1-11-100x 00x 00

1-11x -11-1x +1-1

1x -11-11-11-1

x

4⨯3

=x ⋅(-1) 2x ⋅x ⋅x =x 4． 00

-11x -1-1x +1-1

，再按照第一列展开，即可）

x -11-100-x

321

L L L

n n -1n -2． L 1

34L

n n +100M 2

00 M 0

（或者按照：第一列加上第四列，

-11x -1x -1x +1-10

=

x -11-10-11-10

21

2

2

4．计算n 阶行列式D n =3

n

r n -r n -1r n -1-r n -2L L L r 2-r 1

L L L n -1n -2L 3

L

n -1-1-1M 1

n

2

解 D n

-1-1L =1-1L

M M M 11L

-1100L -1=120L -1

c j +c 12≤j ≤n

M M M 122L

002

01+n

=(n +1)(

-1) 22

22

002n -1

=(-1) 1+n (n +1)2n -2．

2a a 212a

5．计算五阶行列式D 5=01

00

0a 22a 10

00a 22a 1

00

0． a 22a

解 方法一：一般地，对于此类n 阶行列式，将其按第一行展开，得

D n =2αD n -1-α2D n -2，

则D n -βD n -1=α(D n -1-αD n -2) =α2(D n -2-αD n -3)

=

有

=αn -2(D 2-αD 1) =αn -2[(2α) 2-α2-α⋅2α]=αn ，

D n =αD n -1+αn =α(αD n -2+αn -1) +αn =α2D n -2+2αn

=

=αn -1D 1+(n -1) αn =αn -1⋅2α+(n -1) αn =(n +1) αn ，

5

所以D 5=6a ．

方法二：由习题二（A ）的第5题，得当α=β时，有

αn +1-βn +1

D n =lim =(n +1) lim βn =(n +1) αn ，

β→αβ→αα-β

所以D 5=6a ．

5

x 0-1x

6．计算n 阶行列式D n =

0L 0L M 0L 0L

000M x

a 0a 1a 2M a n -2

．

0M 00

-1x L M 00

-1x +a n -1

解 将行列式按第一行展开，得D n =xD n -1+a 0，则

D n =x (xD n -2+a 1) +a 0=x 2D n -2+a 1x +a 0

= =x

=x n -1D 1+a n -2x n -2+

n -1

+a 1x +a 0

+a 1x +a 0 =x n +a n -1x n -1+

+a 1x +a 0．

(x +a n -1) +a n -2x n -2+

1326

7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明

[1**********]4

能被13整除．

12证

531a

8．证明:2

a a 4

37081b b 2b 4

240763

=c +10005c 4+100c c 142c 4+10c 341c c 2c 4

[***********]43

． 50053874

由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．

1d

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ) ． 2d d 4

1a D 5=a 2

a 3a 4

1b b 2b 3b 4

1c c 2c 3c 4

1d d 2d 3d 4

1x x 2， x 3x 4

证 构造5阶行列式（形成范德蒙行列式）

则（原式应该是-x 3的系数）

D 5=(b -a )(c -a )(d -a )(c -b )(d -b )(d -c )(x -a )(x -b )(x -c )(x -d ) ． （1）

将D 5按第5列展开，得

1a D 5=2

a a 31b b 2b 31c c 2c 311d 4a x +(-d 2a 2d 3a 4

3

1

b b 2b 41c c 2c 41d 3

) x +d 2d 4

． （2）

比较（1）与（2）右边x 的系数，知结论成立．

ax 4=0, ⎧x 1+x 2+x 3+

⎪x +2x +x +x 4=0, ⎪1232

9．证明：当(a -1) =4b 时，齐次线性方程组⎨有非零解．

x +x -3x +x =0, 234⎪1⎪⎩x 1+x 2+a x 3+(a +b ) x 4=0

证 方程组的系数行列式

- 11 -

D =

11a 211

=(a -1) 2-4b ，

1-311a a +b

当D =0，即(a -1) 2=4b 时，方程组有非零解． 10．应用题：

（1）1；（2）x -y +1=0．

- 12 -