电磁学(赵凯华,陈熙谋第三版)第二章习题及解答

##!!

弯折成

长线都通过圆心。已知导线中的电流为&，求%点的磁

感应强度。

解：两条直的载流导线通过%点，在%点产生的

磁感应强度应为%，中间

为!%!

度应%&!%!

距为!#，分别载有方向相同的电流$#和$!

%到$#的垂直距离为&#、到$!的垂直距离为&!，求%点

的磁感应强度!

解：根据无限长直载流导线产生磁场的结果：

!$$#!$$!，

设%点的磁感应强度为’，有’#(

另有!!（!#）(&!

#)&!!!&#&!!

!!!!!!!$$#$!&#)&!!&#!$$#!$$!%’())!&#&!&!&#&!!!&#!!&!!!$!!!(!!![（$)$）（$&)$&）!&#$#$!]，#!#!!#&!&#&!#*!!$!!!%’(

##!!

距为!#，载有大小相等而方向相反的电流$

点%到两导线的垂直距离分别为&$和&!，求%点的磁感

应强度!

解：’$(!%$!$，#’!(%

习题!!

$)’!!!’$’!!

!!#####（!#）(&!

$)&!!!&$&!!

!%$&’(!!&$

!%#$&’(

##!!

相交，其间最近距离为#$!

和%!$&’$#

应强度!

)!%&

!的方向如下：设电流%%的方向为(*轴方向，电流%!的方向

为(+轴方向，则!%沿!+方向，!!沿(,方向，!在+,平

面内，它与,轴的夹角为’(!)’*$

&

!!!!

（#）求轴线上距中心为%$处的磁感应强度。

（

时轴线上磁感应强度具有如下形式：

!(&’$

%，

式中(’$)为三角形线圈的磁矩。

解：（#）三角形一边在*点产生的磁感应强度

为!!!!&#’!$$!

##

$+#

由于对称性，总的磁感应强度&沿对称轴方向，且有

’!$$#

&’%&#!

$另外#,!!!!!

##!!

薄板。电流大小为$，通过板的中线并与板面垂直的平面

上有一点%，%到板的垂直距离为&（见本题图），设板厚

可略去不计，（$）求%点的磁感应强度!

（!）当#

面电流密度）为一常量时%点的磁感应强度。

解：（$）将载流薄板分割为一系列窄条，利用无

限长直导线的磁感应强度公式和叠加原理可得

)’!)

#&$&’!!###

&#&$!*#’%&

%点磁感应强度!的方向在平行于导体薄板的平面内且与电流方向垂直。

（!）在维持!’$(!#为常量的条件下令#

)’#&!(!

##!!

布的面电流，面电流密度（见上题）分别为!$和!!，两电

流平行。求：

（$）两面之间的磁感应强度；

（!）两面之外空间的磁感应强度；

（%）!$#!!#!时结果如何？

（&）在情形（%）中电流反平行，情形如何？

（’）在情形（%）中电流方向垂直，情形如何？

解：（$）利用习题!!(的结果，

#（%）两面之间$#)，两面外侧$#

#（&）两面之间$#

#（’）磁感应强度的大小都是

##!!

有一层均匀分布的面电流，电流都环绕

着轴线流动并与轴线方向成一角度!，即

电流在筒面上沿螺旋线向前流动（见本

题图）。设面电流密度为

磁感应强度。习题!!

解：可将螺线管上的面电流密度

!!!!

解：轴线上中心的磁感应强度

#$!%%&$（&!’’%!(’

轴线上端点的磁感应强度

#$’

$!%%&$&&$%

!!!!

解：#$!#%&$（’!’

!!!!

解：线圈电阻线圈电流由此

#$

&$

’(

$’$’

($!

*$&(#$（’

!!!!

（

（$）’)#（该直径与球面的交点）；（%）’*#（球内该直径上任一点）；（&）’+#（球外该直径上任一点）。

解：（

$!#,%

()!!!%.$，$（,$-’$）

球形线圈在球心处产生的磁感应强度为（参见图!）$#

!#,$%

!())（#!’）

!#$%#（,$-’$）$#%!#

（$）先导出一个一般公式，如图#：

#

!#$%（#$!’$）

!()$$%.$

!#$［,-（’#!’）］

#!#$%##$

)，%.$!$$%.$

!#!#$（#$-’$!$’’）（#-’!$’’）####

$$

设#-’#)/，$’#)0，则上述积分化为

#!#$%$#

!!()#%.$!%.$

!#!#$（/!0’）（/!0’）

其中!!!!%.$)

’$

!!!!/!0’）-%.$)

$$

!#$%$#$’’’

)()!!/!0’）!

!#$%$)!（#!’#-#-’#）-#!’#%!#-’#%）

##

#

[#

#

]

[#

#

]

##

[]

#!#

[]

!点在球面上，

!!()!!()

&#’#’#%

$$$%

（$）!点在球内，

!!()

$

!!()

$$

（#）!点在球外，

!!()

$

$!!()

$$

[]()

{}

()

{

(

}

)

!!!!

解：此带电球面绕它的直径旋转，面电荷的运动就形成电流。结果与上题情形类似，只要求出轴线上单位长度电流值，利用上题的结果即可求出球内、球外轴线上任一点的磁感应强度。!

#$%$

’!!#

球内!!*’%$!!

#

球外!!*’%$!!

#$

{

$$!!

解：利用书上（!

’(

习题!!

#

#

&

!

!!)

(’*!’*!，!!&（)!+%!）（)!+%!）

#

%

设)(%#$%$，则

’(

#&!!

!

#

%

&

#&!!

!&’($&’(!$

()

%&

#&!!

!!%

()

!!!!

!

解：!!!!!($，!而)$’$，

’*’!’!*

!

*($&$%$&$%

+!*（

!!!!

解：本题所给的情形有很好的对称性，可以用安培环路定理计算磁感应强度。根据对称性，可在空心圆筒内部作一同轴环路，穿过环路的电流

可得圆筒内部的磁感应强度(内)

!!

路，由安培环路定理得(外)

#!%

$$!!

解：运用安培环路定理容易得出$（

!&%&!!#!$（!）)*，$#’&’$

!!&$!!#!!&%

$（%）)*，$&($

!!&

习题!!

间某一点到管轴的垂直距离为&，求：（

!!!!

（$）管外靠近外壁；（%）管内靠近内壁；（&）内外壁之间的中点。

!#%’’$#!(’

解：（$）#$$#$’

%%

!#%(!&$’!’$#!(’

!（&）#$#%$!&%%!)

%!(&%!&’%%

!’

!!!!$%

!!!!

解：

分区运用安培环路定理可求得：!%#$，!!!!$’$

#!$

%&!%#

，!#!$

!!$#

#

%#$!$#!$$##，

$!$#%，!!!!$

#$#’$’$$$($$

习题#!

!!!

##!!!

直的空心导体圆筒，内、外筒半

径分别为#$和#（!筒壁厚度

可以忽略）。电流$沿内筒流

去，沿外筒流回（见本题图），

（$）计算两筒间的磁感应强度%；

（!）通过长度为&的一段截面（图中阴影区）的磁通量!%；

#!#!

#（%）考虑一矩形回路，其一边在内筒处，另一边在)处，其它两边与轴解：（$）运用安培环路定理可得%(（%）计算磁矢势’在两筒间的分布。习题!!!

（#）*!’（)）*，$!・!

#$$

（#$）(

##!!!

（

（!）证明通过螺绕环截面（图中阴影区）的磁通量

为!#$

其中%为螺绕环总匝数，&为其中电流的大小。

解：（

定理有!!(・#$

$%&，###$

#（!）通过螺绕环截面的磁通量为!!(，

)

!#$#)

)!#

$

!!!*!习题!!!

!!!!!!

解：无限大平面电流产生的磁感应强度方向与无限大平面平行。根据对称性分析，可作矩形回路，运用安培环路定理有

##!!!

量为$，用细绳子平挂在外磁场!中，导线中通有电

流%，%的方向与!垂直。

（$）求绳子张力为%时的电流%

&$%#，’&$

（!）在什么条件下导线会向上运动？习题!!!

$(&%#’，##’%&

#（!）当%*$($%)$%!

##!!!

本题图中所示形状，其中%&和’%(段固定在水

平方向不动，&)*’段是边长为+的正方形的三

边，可以绕%%(转动；整个导线放在均匀磁场!习题!!!

解：载流导线&)段、)*段和*’段受的重力矩和)*段的磁力矩平衡，######-.+’()

!0%

##!!!

上面水平一段的长度为形状，它的质量为#，

$，处在均匀磁场中，磁感应强度为!，!与导线

垂直；导线下面两端分别插在两个浅水银槽

当!里，两槽水银与一带开关!的外电源联接。

一接通，导线便从水银槽里跳起来。

习题!!!

电量&；

$’!%#$，%’&

解：（$）根据动量定理，由!接通瞬间载流导线所受的安培力可计算出它向上运动的速度。再根据机械能守恒定律可找到它与跳起来高度之间

$(&的联系，)&*’+&*・$・(’$(&’#,!%，#’,’#$!又!#,’#-%，因此#,#&’’；$($(#$%.$%!&#（!）代入数值&’’.’’&

它的一臂下##!!!

面挂有一个矩形线圈，线圈共有#匝，线圈的

下部悬挂在均匀磁场!内，下边一段长为$，它

与!垂直。当线圈的导线中通有电流%时，调

节砝码使两臂达到平衡；然后使电流反向，这

时需要在一臂上加质量为&的砝码，才能使两

臂再达到平衡。

（$）求磁感应强度!的大小’；

（!）当#(%，$($&

(’

解：（$）根据线圈所受的安培力与重力

平衡，##!#%$’(!&)，##)’(!&)#（!）’(!&)’

!#%$(!*%*&

##!!!

线绕成，矩形边长为%$

流为$

题图）。当加上%&$

面成’$%角时，求这线圈受到的力矩。

解：力矩’&()*%%・*!!&’’$+&!$,$

%$!!,$

习题!!!

!!!!!

!沿水平方向，线圈可以绕通过中心的竖直轴%%&转动

（见本题图），转动惯量为’

微小摆动的周期(

解：’!

!)

!

(*

!!!!!

（$）螺线管的磁矩；

!

&!（&）*$%#$（$

!!!!

解：根据（

!#%$%

’$#$($#$#

()

电流方向相同时为吸引力，电流方向相反时为排斥力。

!!!!

解：!#$

!’((!$%%%&

’$&(%$(%

()

##!!

（$）线圈在!角度位置时所受的合力!和合力矩

（!）线圈平衡时!的值；

（

解：（$）坐标选取如图所示，图中的上下两条边所受的力大小相等方向相反，相互抵消，只有线圈的左右两条边受到的安培力!$和!!

对合力和合力矩有贡献。容易得出!$和!!的大小为

)$’

余弦定理有

，##)!’；!*$!*!

!!*!$’$+%!!$%!

!

!

习题!!

{*’$+%+!$%!

!$和!!在,和-方向的分量分别为

{

)$,’!)$!

##

)$-’)$#$%#；

{

)!,’)!!

由图中的几何关系可求出

{

#

’#

合力矩为

’

%!$!

，*$

##

$#$%!#$%#’；

*$!

{

%+$!

，*!

$#$%!#$%$’

*!!

由此可得出线圈所受的合力在,和-方向的分量分别为

),’)!,+)$,’)!!

!$!+%!+!$%!

((

))

)-’)!-+)$-’’)!#$%$+)$#$%#

；+!!!!

!$+%+!$%!

.’)$$#$%（!!#）+)!$#$%（!

(!

!$#!$

!!

[!

!$#

!!

[!

!$

!!

!$

#

()!

（

$!$$稳定平衡，

$!$不稳定平衡。

{

（&）功$$$)!

#

!!

$!

*&

$$$$$$

!!

!%

$!!

!!

!!###

’%

[#

#

]

[]

##!!

线圈载有线圈，线圈半径为$，中心到直导线的距离为%，电流#!，线圈和直导线在同一平面内（见本题图）。求#$作用在圆形线圈上的力。

解：载流#$的长直导线在圆形线圈上一电流元#!!&处产生的!垂直图面向里，其值可表为

’(

!%#$

!!（%)$

习题!!

在*点处建立直角坐标系*+,，设+轴指向右，,轴指向上，由于圆形载流线圈的对称性，它所受的安培力指向!+方向，沿,方向的安培力为%，因此圆线圈受到的总安培力为

-(

!%#$#!!&

!（%)$

$

式中!&为圆弧元，!&($!

-(

#

!!

#%

!%#$#!$

(

!!（%)$

#

!!

#%

%)$

’%(%)$!

!%#$#!$

!%&

$$%!$!!

%

(!%#$#!$!!%!$

[

()

()]

!!

%#

$$!!

!#

!$

，!%

式中!$和%是电子的电荷与质量，负号表示磁矩与角动量的方向相反，如图。（它们各沿什么方向？）

【提示：计算磁矩时，可把在圆周上运动的电子看成是习题!!

解：电子绕原子核沿圆形轨道运动的磁矩为

)$)*

&#’(#!$!*!#!，

!!*!

角动量为+#%)*，因此经典回旋磁比率为

$&

+!%

电子绕核运动角动量!的方向垂直纸面向外，磁矩的方向垂直纸面向里。

!!!!

（$）作用在线圈上的磁偏转力矩)磁；

（

解：（$）)磁$&(#%’$

)磁$

!（

&#

!!!!

)$

解：!!!!’$()#$*，!(*)$(#%；

%$

+&$*)$$*(#%$(#%)$

$$$**

!

（

$&

()

!!!!

解：（$）&$’(#$（$

*(*

$)$$$&

!（’）!!&$’(#$（$

*(*

)$’#$$

$$&

!!!!

(*$（’

)(

$!

电子在磁场中所受的洛伦兹力为其重力的*

!!!!

（

【提示：相对论中粒子的动量!和能量)的公式如下：

!!!$#

)$#+&$+#和#%的关系见（&

解：（

（

此时质子的速度已经很接近光速+，可估计如下：#%*($，

因此需要考虑相对论效应()$’&&(%

!!!)$+(,（#%+）

&&$(

$’

!#%*

!!!!

（

（#）电子的加速度有多大？

（)）电子在显像管内走#$()时，偏转有多大？

（%）地磁对看电视有没有影响？

解：（

##

又&)%$(*，故

$(*

!（%）地磁场仅使电子向东偏了)))，影响可忽略。()()

$$!!

质量为#的粒子带有电量$，

以速度%射入磁感应强度为&

的均匀磁场，!与

从磁场出来后继续前进。已知

磁场区域在!方向（即’方向）

上的宽度为(，当粒子从磁场出习题!!

来后在’方向前进的距离为)!(*!时，求它的偏转+

解：由磁场的方向和粒子轨道的偏离方向可判定该粒子带负电。设该粒子受洛伦兹力偏转向上的加速度为,，则

而$%&##$%&(#%-$%&，$,-；$%+#-,.!-#!!#%()

)!$&(!-，!#%

%#-,.-%#$%&($&(+!)!(*!(-$&((，-，-，%+!-)!)!#%#%#%%#%!!(()

%+-+#/+!-$&()

!!!!

（

（’）需要多高的电压才能把氘核从静止加速到这个速度？

’()#&

!’(!’&

’’(’&

$$!!

所示，离子源!产生质量为#、电荷为$的离

子，离子产生出来时速度很小，可以看作是静

止的；离子产生出来后经过电压%加速，进入

磁感应强度为&的均匀磁场，沿着半圆周运动

而达到记录它的照相底片

的位置到入口处的距离为’

量为

解：$&!!#(’

!!!!

解：’&#&*

!!!!

（$）求所需的磁感应强度&；

（&）设两!形电极间的距离为$

$’(&$)，!)($；&’

’(’($又!!!!!!#$，!!!)&$*&*#*#

!&%

$$!!

#$的螺旋线运动。螺距&$&

的荷质比’()$’

解：!!)+’&#,$$$$&$，$$)+’$,#!!)!!!

$（’

)+$+(

’-+($(

$$!!

示意图。一群电子在垂直于磁场#的平面内作圆周

运动。在运行过程中它们时而接近电极%，时而接近

电极!，从而使两电极间的电势差作周期性变化。试

证明电压变化的频率为$#%!!&，电压的幅度为

’&()$%%，!

式中$是电子电荷的绝对值，&是电子的质量，,是

圆形轨道的直径，*%是电子群最靠近某一电极时的距离，)是这群电子的数目。

解：电子群在磁场中的回旋运动造成两电极间的电压作周期性变化，电压变化的周期与电子群回旋运动的周期相同，因此电压变化的频率为

$#%

)$%%’&(，!

它也就是电压变化的幅度。()

$$!!

解：如图，设电子质量为&，电荷为!’，电场和磁场分别为

!(｛%，%，)｝，$

初始条件为+(%时电子在坐标原点处，有

$$$$$#%(%%($%(%，

#(!

!+)

电子的运动方程为

写出分量式(%，$$%!习题!!

!

#!!#&!(%，!+!!%!$&!(!’*，!+!+!!$!%&!(’*!’)，!+!+

由!式和初始条件得#(%，表面电子始终在%$平面内运动。

将

!%&(&,%!’*$，$!+将$式代入#式，得

!!$’!*!&)&,%，&!(!$.!!&!+’*’*

&,%&)&,%为常量，可另设变量($.!，则这一!满足的微由于&)!!’*!’*’*!’*

分方程为一简谐振动方程，其解的形式为!(/

!%’*&)&(&,%!)

积分之，并利用初始条件，得

&)$%&’*+.)+，%(&,%!’*&**

（旋轮线）。%式和&式表明，电子运动轨迹在%$平面内是一条摆线()()()()()()()