T次幂平均值的极限与不等式
11
4’
幂 平 均 值次的极 限 与 不等式
胡7国全
T
次幂 平 均 的 极 值 限与 等不式胡
摘
全
国
本 文通 要 过 纳 归此
,
、概括
,
入引了 较 一 般 ;的 具 一有定代 表性 的
,。
讨
论并 解决了 有关 极的限 和 不 式等 的一 般 问
题
推 了广某 些 重 结 果
要
—(T 次幂 )
均 值平函 数 ,
,
由
兼 谈 了关 有的 教学 联
系 本问题和 讨 的实 论际意义
实际 在工作 例中
1求:
,
有 关
数的 平均 或函数 的 平 均题
问。
,
应 用 多 ;较而 从 数 学 本 身来 看
,
也
常涉及 平 与均值 有 的关 题 问
设 ,i叭
a*
如 ,,
> 0 :+f
,
秃= 1 2…n
a
(
a+ …
雪+
a
言
了
、 、护 .
p 1
7 4(见 9 〕
〔
p, 213〔8 〕
,
P
1 5 9) 6〔〕
2
例:
若 )
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P
0
。>
,
n
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,
2
,
‘
”
,
)
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2
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+尸
,
o) c=,
,
3
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。
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a
(
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o
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一)
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:
a
Z2
+
… P+
a
。
.
尸 +尸 +…+
尸
。
=
ilm
-外
a
。
=
a
伪)
P
5 2( 见〔6
〕
,1 6P 7 〕
〔,
〔4 ] 1 P 6 6)
例
iml
韶3
a
.
,
设
a,
。
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,
a
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>
a
,,
;
(二
1
n
2,
,
…)
,
且
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一
)
证
求级
二i 耘
数量
(一1 )一
少
鱼
士 二丝”
,收敛
.
见 ([试证
1
:6
Jp
3 2
,
下册 )
例4
:
不等
式
、(:
」。。,
:, 尸+ 尸 …+ 尸 。+ 1尸尸 尸 十 一 一…十 +”-
。…
。 )
匕男
一
不示、 扩 今 必 欲撰
,攀
口
,a
其
中
a。
>o
,
P
> o
林=。
12
、
…
,,
(见 〔9 jp 2, 3
0文本于 1 8 69年
9
P2 3 68 〕〔
P
10 9 7 〕
,
P〔 19 56〔
〕
,P2
59 )[〕2
4
日 收到 1月
。
庆交重通 院 学学报 ( 1 8 9 7 第 年 1期 第总加 期 )
从上 四 例 来以
看,
反
于 平映 值均上 的问 题 但 其实 际 结
,
构
,
致 有两 种
,大
各
自 的 达 表 式形不 同
,
具有
共 同性
即
为—
极 限
与 等式不
。
显然
,
它
们丝
兴鱼舀生 卫 七 遨竺土旦 、 乏
仇+谁 +魏… + 如
( 1)
。
中 g其>
o,
,
t铸。
。这
样我 们可 以 把问 上题 一般 化
,
,
统 一 考
关察 结于构 ( 1 ) 的 极 与限 等不式 问题
。
为
方 便规及
范
首 给先 出,
定
卜义设 外>O
铸 O
t,
则 称函数 列声
、. 了口 、
E
外
城
、才、 色 万 .
声‘ J
I口
于」
二
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q
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,
(
”
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1 2 ……)是 关 于
,,
n 。
个数
。二
二的 T 幂次平 均
值.
如
:
几
一(1
,
1,
,
二
)是
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数
戈的调和平均 值
,
,,
几1(了 (
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。
,q,
二
,
)
是
是)
个数
的 算术 平
均 值
O
1
’
二n
个数
二
的
m 次 均 根
方等等
,
指出
。:
:
当 才 O
时
A
()式0
无义飞 意: 我 约们定
1
.当
t
,
时
,
f
t
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,
q
幻=
,。
。
于 li关mf (t
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q
o,
x
n) 固 定
,
二
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,
几
2
,… n
、)
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可
,
,知
0= 除t
o
t
夕 卜 f ( ,
,
q
二)关
于t
o (在 一c
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上 ) 连
续,
此
因,
所论问
题仅 有 三种 势
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即或 ”t一 ‘
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。
,
。
或”t+ oc:
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,
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,
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、
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.
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,
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6r 次
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}
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.
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妙
.
‘
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q
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二
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,
q
,
,
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在( 一
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・
、,
c+o
)上 () 除t 0=
连都 续
,
(A且奋
,
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(
q
二)=
。
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I・
,
)n( 固 定)
。
定义
2:
称
。
, ”1 ) (是A 的 T): 人 (,q 1 次幕 几 何 均 平 如值n x e 1 1 I ( f =) 刀碗 ”为 是n个 二数 的几 平 何 均值。
。
.
,
・
丽
.
因此
,
t
关于 极 l限imf ( 。
,
q
,
t
t
斗
.o
劝
基就 本解决
,但
应 注其意表现 形 式 不的同
,
这可 某
从些 教材 或
考参 中 查 书
色到1
如0
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争卜
..
(兰 鱼辛丝 交 …
仁丝咬立上丝 匹
、n
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,a:
…a
。
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, (a>
0
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0
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.
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0
(见 )例1
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,
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、
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戈
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义:
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,
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一
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其
当
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…
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]
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)
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7
]p 32
)且而
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下面 关 也系是 有 趣 的,
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题
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如
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,
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则
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证)l ・
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二
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月-
明以
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。
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题
,
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(
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1
,
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2
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就 为, 调和 平均 值 的 限极
等等,
因 .
此
,
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):
与
(月 ‘具) 有重 要 的意 义
上 由 结论
面我 又们 可得某 些关 于T次 幂 均 平 的值 数 级 的收 敛 问题 。
此间 题
在不
等一 产 夕 八 .书 叨 劫 翻 马 ,
式 面后
数
级
,
还
重有要 结论
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命题
命在
题3
的
件条
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x
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,
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介
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1 … )2则
, 对 ,,
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二
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〕
重交通 决学 学院 报( 招笼 洲 革第 期飞 第总脚期
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收
敛
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’
:
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6
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文学 通院 学报(1 98 7 年 第1 总第2 0 期)
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‘
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1
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收数
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・
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‘
,
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,
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,
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,
(
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。 问乙
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…
。
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二
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比
较
1 P 5 8 )〕1〔
证明
:
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,:
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得乙。
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e
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(‘叮 ,“ )
(・,
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。
二
二
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,
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q
。。
的收敛性 。
,
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Z
A
。
;2
)
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,
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)即 (有
后
,最
简
述 下 不一 式等( A) 某与 些 书中 似 类 不的等 之 间 式的关系
,
重
交庆 学通学 报院 1( 9 7 年8第1 期 总第2 0
期)1
12 7
’f
( 一i
。
,
,,, 二。 )《 f・ (e q 1In, ) 《 ” (f 1
。
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即(例
4特 地 即
别
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p: 1 501 〕〔
、
,
’
〔 p 2幻5 9
,
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,
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几何
、和
算术
均 呼值及
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1
,
二
n ‘
。) 《人‘( ‘ )《‘f (1
二
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,
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文,
献高等 育 教出版 社 修( 版 订)
,
、
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王兴
华浩汪, ,
,
数 学
分 的析方法及 例 题 选 讲舍
, ,
费19 8 6
.。
、
数学 分析 中 的 典 例 题 型和 解题方
.
法
湖 科南技出社版,
,
9
18 1
波亚
利
,
G数 学分 析的问 和题定 理 贵 州人民 出社
、版
,
第一
卷上 海科 技 版出社
,
,
9172
,李
长
B
明.
数列 与极限
,1891
。
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吉
米多奇维,
,
数 学
析 习题 分集人 民育 出版 教 社 一 第
版,
,
19
8
7,
。
东华师 范 大学 学数 系
数学分
析 (
上
,、
下册)
,
,
人
民教 育 出版社
, ,
,
,
一版
,第
19
80
林吉 大学 数学系
数学
析 (中分册
),
人 教育民 出 社版,
第一
版
,
189。
。
。
3华大清 学 欧李 高等 等数 学(上 )册 高等 教 出 育版社 第二 1 版98 学数 同 教 学研 室高等数 学(册上) 人民 教 出版 第二 社 {
,
版’
淞
青
:
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幻
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