§3.2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

【教学目的】掌握函数极限的基本性质――唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、

迫敛性以及四则运算性等，并能应用相关性质解决函数的极限问题。

【教学重点】函数极限的性质及其计算。

【教学难点】函数极限性质证明及其应用。

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1) lim f ( x ) 2) lim f ( x ) 3) lim f ( x ) x →+∞x →-∞x →∞

f (x ) 6) lim f (x ) 4) lim f (x ) 5) lim +-x →x 0x →x 0x →x 0

它们具有与数列极限相类似的一些性质, 下面以第4) 种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质. 至于其他类型极限的性质及其证明, 只要相应地作些修改即可.

定理3.2(唯一性) 若极限lim f (x ) 存在, 则此极限是唯一的.

x →x 0

证 设 A 、B 都是f 当x →x 0时的极限, 则对任给的ε>0分别存在正数δ1与δ2使得当0

f (x ) -A

当 0

f (x ) -B

取δ=min(δ1; δ2) ,则当 0

A -B = (f (x ) -A ) -f (x ) -B ≤(f (x ) -A ) +f (x ) -B

由ε的任意性得A=B. 这就证明了极限是唯一的.

定理3.3 (局部有界性) 若lim f (x ) 存在, 则f 在x 0的某空心邻域 ∪0(x 0) 内有界 x →x 0

0证 设 lim f (x ) = A取ε=1, 则存在δ> 0 使得对一切x ∈∪(x0; δ) 有 x →x 0

f (x ) -

0这就证明了f 在∪(x0; δ) 内有界.

定理3.4(局部保号性) 若 lim f (x ) = A > 0 (或

在∪0(x 0) 使得对一切x ∈∪(x 0) 有

f(x) > r > 0 (或f(x)

0证 设 A >0,对任何r ∈(0,A)取 ε=A - r, 则存在δ> 0使得对一切x ∈∪(x0; δ) 有

f (x) > A －ε = r

这就证明得结论. 对于A

注 在以后应用局部保号性时常取r=A

2

x →x 00定理3.5 (保不等式性) 设 lim f (x ) 与lim g (x ) 都存在, 且在某邻域∪(x0; δ') 内x →x 0

有f(x) ≤ g(x), 则

x →x 0lim f (x ) ≤lim g (x ) (3) x →x 0

1证 设 lim f (x ) = A, lim g (x ) =B则对任给的ε>0分别存在正数δx →x 0x →x 0与δ2使得当 0

A －ε

当 0

g(x)

令 δ= min｛δ/, δ1, δ2｝, 则当 0

A －ε

从而 A

0定理3.6(迫敛性) 设lim f (x ) =lim g (x ) = A 且在某 ∪(x0; δ') 内有 x →x 0x →x 0

f(x)≤h(x) ≤g(x) (6)

则 lim h (x ) =A x →x 0

证 按假设, 对任给的ε>0分别存在正数δ1与δ2使得当0

A －ε

当0

g(x)

令δ= min｛δ/, δ1, δ2｝ 则当0

A －ε

由此得 |h (x ) -A |

定理3.7(四则运算法则) 若极限lim f (x ) 与lim g (x ) 都存在, 则函数f ±g , f ·g 当 x →x 0x →x 0

x →x 0时极限也存在, 且

1) lim [f (x ) ±g (x ) ] =lim f (x ) ± lim g (x ) ; x →x 0x →x 0x →x 0

2) lim [f (x ) g (x ) ] = lim f (x ) ·lim g (x ) ; x →x 0x →x 0x →x 0

又若lim g (x ) ≠0, 则f / g当x →x 0 时极限存在, 且有 x →x 0

lim f (x ) f (x ) x =→x 0 3) lim g (x ) x →x 0g (x ) x →x 0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 留给读者作为练习.

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则, 我们可人一些简单的函数极限出发, 计算较复杂的函数极限.

例1 求lim x ⎢⎥ x →0x

解 1由 第一章§3习题12, 当x>0时有

1－x

而lim (1－x) = 1,故由迫敛性得 +x →0⎡1⎤⎣⎦⎡1⎤⎣⎦

⎡1⎤lim x ⎢x ⎥ = 1 x →0+⎣⎦

另一方面, 当x

⎡1⎤lim x ⎢x ⎥=1 x →0-⎣⎦

综上, 我们求得 lim x ⎢⎥=1 x →0⎣x ⎦

例 2 求 lim (x tan x－1)

x →⎡1⎤π

4

解 由 x tan x=xsin x 及§1例4所得的 cos x

π lim sinx = sin x →4π2==lim cos x 42x →π

4

并按四则运算法则有

lim sin x

lim (x tanx －1)= lim x ·

x →x →π4π

4x →π

4lim cos x x → － lim 1= x →ππ4π－1 4

4

例 3 求 lim (x →-113-3) x +1x +1

解 当 x+1≠0时有

13(x +1)(x -2)

x +1x 3+1=x -2

x +1-3=x 2-x +1

故所求极限等于

2-1-2

x lim x -→-1x 2-x +1=-12--1+1=－1

例4 证明 lim x

x →a 0= 1 (a>1)

证 任给 ε>0 (不妨设ε

a x -1

即 1－ε1时) 的严格增性, 只要

Log a (1 －ε)

于是, 令

δ= min｛log a (1+ε),log a (1-ε) ｝,

则当0