三重积分的计算方法
学号：[1**********]16 姓名：王丰 班级：数统1008班
三重积分的计算方法
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：
如果先做定积分⎰f (x , y , z ) dz ，再做二重积分⎰⎰F (x , y ) d σ，就是“投
z 1z 2
D
影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv =⎰⎰[⎰f (x , y , z ) dz ]d σ
Ω
D
z 1z 2
如果先做二重积分⎰⎰f (x , y , z ) d σ再做定积分⎰F (z ) dz ，就是“截面
D z
c 2
c 1
法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面z =c 1与z =c 2之间，即z ∈[c 1, c 2]，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面D z 。区域D z 的边界曲面都是z 的函数。计算区域D z 上的二重积分⎰⎰f (x , y , z ) d σ，完成
D z
了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰F (z ) dz ，完成“后
c 1
c 2
一”这一步。⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv =⎰[⎰⎰f (x , y , z ) d σ]dz
Ω
c 1D z
c 2
当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且D z 的面积σ(z ) 容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)
（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）
（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如f (x 2+y 2), f () 时，
可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）
（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如f (x 2+y 2+z 2) 时，
可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。
y
x
例题：
1：计算三重积分I =⎰⎰⎰zdxdydz ，其中Ω为平面x +y +z =1与三个坐标面
Ω
x =0, y =0, z =0围成的闭区域。
解1“投影法” 1. 画出Ω及在xoy 面投影域D. 2. “穿线”0≤z ≤1-x -y
X 型 D ：
0≤x ≤10≤y ≤1-x
0≤x ≤1
∴Ω：0≤y ≤1-x
0≤z ≤1-x -y
计算
1
1-x
1-x -y
1
1-x
I =⎰⎰⎰zdxdydz =⎰dx ⎰dy
Ω
1
⎰
zdz =⎰dx ⎰
111-x (1-x -y ) 2dy =⎰[(1-x ) 2y -(1-x ) y 2+y 3]10dx 2203
1
11311
=⎰(1-x ) 3dx =[x -x 2+x 3-x 4]1 =0
6062424
解2“截面法”1. 画出Ω。2. z ∈[0, 1] 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得D z 。
D z 是两直角边为x,y 的直角三角形，x =1-z , y =1-z 计算
1
1
1
I =⎰⎰⎰zdxdydz =⎰[⎰⎰zdxdy ]dz =⎰z [⎰⎰dxdy ]dz =⎰zS D z dz
Ω
D z
D z
1111=⎰z (xy ) dz =⎰z (1-z )(1-z ) dz =⎰(z -2z 2+z 3) dz =
22202400
2：计算⎰⎰⎰x 2+y 2dv ，其中Ω是x 2+y 2=z 2和z=1围成的闭区域。 解1“投影法”
⎧z =x 2+2y 2
⎨
1. 画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎩z =1消去z ，
111
得x 2+y 2=1即D ：x 2+y 2≤1
2. “穿线”x 2+y 2≤z ≤1，
⎧⎪-1≤x ≤1
X 型 D ：⎨ 22
⎪⎩--x ≤y ≤-x ⎧-1≤x ≤1⎪⎪
∴ Ω:⎨--x 2≤y ≤-x 2
⎪22
x +y ≤z ≤1⎪⎩
计算
1
1-x
1
1
-x 2
⎰⎰⎰
Ω
x 2+y 2dv =⎰dx
-1
dy
2
-1-x x +y
2
2
x 2+y 2dz =⎰dx
-1
--x 2
x 2+y 2(1-x 2+y 2) dy =
π
6
解2“截面法”
1. 画出Ω。 2. z ∈[0, 1] 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得D z ：x 2+
y 2≤z 2
⎧0≤θ≤2π
D z ： ⎨
0≤r ≤z ⎩
⎧0≤θ≤2π
用柱坐标计算 Ω:⎪⎨0≤r ≤z
⎪0≤z ≤1⎩
计算
1
⎰⎰⎰
Ω
x +y dv =⎰[⎰⎰
0D z
22
12πz
x +y dxdy ]dz =⎰[⎰d θ⎰r dr ]dz =⎰2π[r 3]0dz =π⎰z 3dz =
33060000
2
2
2
12πz 11
对微元法的认识
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或者是物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。例如，分析匀速圆周运动的向心加速度，根据加速度的定义，对圆周运动的速度变化进行微元分析，可以推导出向心加速度的表达式。
选取微元时所遵从的基本原则是 （1）可加性原则：由于所取的“微元” 最终必须参加叠加演算，所以，对“微元” 及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征； （2）有序性原则：为了保证所取的“微元” 在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元” ； （3）平权性原则：叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数” 来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式
微元法在计算中的应用 1，微元法的解题步骤
A. 根据问题确定积分变量X ，并确定其变化区间[a,b] B. 求微元（分割取近似） C. 求积分（求和取极限） 2，计算例题
例1，求lim ⎰
n +p
n →∞n
sin x
, p , n 为自然数． x
分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．
解法1 利用积分中值定理
设 f (x ) =
sin x
, 显然f (x ) 在[n , n +p ]上连续, 由积分中值定理得 x
n +p sin x sin ξ
=⋅p , ξ∈[n , n +p ], ⎰n x ξ
当n →∞时, ξ→∞, 而sin ξ≤1, 故
lim ⎰
n +p
n →∞n
sin x sin ξ
dx =lim ⋅p =0． ξ→∞ξx
解法2 利用积分不等式 因为
⎰
而limln
n →∞
n +p
n
n +p sin x n +p 1sin x n +p
≤⎰≤⎰=ln , n n x x x n
n +p
=0, 所以 n
lim ⎰
n +p
n →∞n
sin x
dx =0． x
x n
例2， 求lim ⎰dx ．
n →∞01+x
1
解法1 由积分中值定理
1
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx 可知
a
b
1x n
⎰dx =01+x 1+ξ
⎰
1
x n dx ，0≤ξ≤1．
又
lim ⎰x n dx =lim
n →∞0
1
111
≤1， =0且≤
n →∞n +121+ξ
1
故
x n lim ⎰dx =0． n →∞01+x
解法2 因为0≤x ≤1，故有
x n
0≤≤x n ． 1+x
于是可得
1x n
0≤⎰dx ≤⎰x n dx ． 01+x 0
1
又由于
⎰
因此
1
x n dx =
1
→0(n →∞) ． n +1
1
x n
lim ⎰dx =0． n →∞01+x