因式分解法解一元二次方程

21.2．3一元二次方程的解法——因式分解法

【学习目标】

1、学生会用因式分解法解一元二次方程；

2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法； 【学习重点】用因式分解法解一元二次方程； 【学习难点】用因式分解法解一元二次方程。 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本内容，并完成下列问题

1、（1）因式分解的常用方法： 、 ； （2）平方差公式ab ( )( );

完全平方公式a2abb ( )2

2

2

2

2

5x4x ；(x2)x(x2) ；2、分解因式： （1） （2）

（3）x4； （4）(x1)225

3、我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 、 、 。 4、解下列方程：

（1）x40 （2）x3x10 （3）(x1)2250 （4）20x23x70

二、合作、交流、展示：

1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？

2

解：设这个数为x，由题意，可得方程x3x 解法1：（配方法） 解法2：（公式法）

你还有其他的方法吗?

解法3:当x3x时，则x(x3)0

=0或 =0

∴x1，x2

【归纳】运用因式分解的方法求一元二次方程的方法叫 。

把一个一元二次方程转化为两个 方程来解，体现了一种“ ”的思想 2、例1用因式分解法解下列方程：

2

（1）5x4x （2）x2x(x2) （3）(x1)(x3)12

2

2

2

2

2

2

【归纳】一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为 。 （2）将方程的左边进行因式分解。 （3）令每个因式为0，得两个一元二次方程。（4）解一元一次方程，得方程式的解。 3、练一练，用因式分解法解方程：

2

（1）x40 （2）(x2)2250

（3）4x(2x1)23(2x1) （4）4(x2)29(x2)20

三、巩固与应用： 1、解下列方程：

（1）7x21x （2）(2x1)

（4）(3x1)

2

2

（5x2y20 (6) (x3)2(x3)150 4(2x3)2 2

2

360 （3）7x25x2x2x

1

419

2、当K取什么实数时，方程(k21)x26(3k1)x720有两个不相等的正数根.

3、一个直角三角形两条直角边相差7cm,面积是30cm，求斜边长.

四、小结： 1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？

2.解一元二次方程的方法有哪几种？

2

21.2．4一元二次方程的根与系数的关系

【学习目标】

1．掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；

2.能运用韦达定理求出方程的一根与方程中的未知系数，能求出与两根有关的一些代数式的值。

【学习重点】韦达定理及其运用。

【学习难点】运用韦达定理解决有关问题。 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本内容，并完成下列问题

1．( 1 ) 一元二次方程的一般形式： （2）一元二次方程的求根公式：

2．【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 【探究一】

2

【猜想1】若方程x+px+q=0的两根为x1,x2，则x1＋x2= ， x1•x2。 3．【探究二】

【猜想2】若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1＋x2= ， x1•x2 二、合作、交流、展示：

1．利用求根公式推到一元二次方程根与系数的关系

ax2+bx+c=0的两根x1, x2

x1x2= x1.x2=

= =

= = 2．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1＋x2= ， x1•x2。

2

特别的，若方程x+px+q=0的两根为x1,x2，则x1＋x2= ， x1•x2

请用语言叙述上述结论。 3．【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.

（1）x-6x-15=0 （2）5x-1= 4x （3）x=4 （4）2x=3x

2

2

2

2

【点拨】先将方程化为一般形式

4．【例2】已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值； （与小伙伴交流你的做法）

2

5．【例3】x1、x2是方程2x3x50的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）x1

2

2

x2 （2）

11

（3）x1x2 

x1x2

三、巩固与应用：

1．方程2x3x10 则x1x2= ，x1.x2= __

2．关于x的方程2xkx410的一个根是－2，则方程的另一根是k＝

3．（选做）若关于x的一元二次方程x+ax+a+1=0的两根满足：x1+x2=6，求a的值.

2

2

2

22

4．已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

21.2一元二次方程的解法

【学习目标】

1．能熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 2.能根据方程特点选择简便的方法求解一元二次方程. 【学习重点】熟练运用四种方法解一元二次方程. 【学习难点】灵活选择方法解一元二次方程. 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题

1． 解一元二次方程的基本思路是：将. 2.解一元二次方程的四种解法是. 3．选择合适的方法解下列方程：

（1）4(x+5)2=16 （2）x2＋2x－8＝0 （3）x2－2x＝99；

（4）2x2-4x-1=0 （5） 3x(x+2)=5(x+2) （6）4(x+2)2=9(2x-1)2.

4．你认为下列方程你用什么方法来解更简便.

（1）12y－25＝0； （你用_____________法） （2）x－2x＝0； （你用_____________法） （3）x－3x＝15； （你用_____________法） （4）x－6x＋1＝0； （你用_____________法） （5）3x＝4x－1； （你用_____________法） （6） 3x＝4x. （你用_____________法） 二、合作、交流、展示：

1．【例1】选择合适的方法解下列方程： (1) x2-2x+1=4；

2

2

2

2

2

2

(2)x2+12x+27=0； (3)x(x-2)+x-2=0；

(4) 3x2+6x-5=0； (5) (x-4)2-(5-2x)2=0 ； (6) x2-6x=91.

2．【例2】若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）

A．k1 B．k1且k0 C． k1且k0 D． k1且k0

【根的判别式定理】

一般地，式子b4ac叫做方程ax2bxc0(a0) ，通常用希腊字母表示它，即b4ac

（1）△＞0⇔方程有两个 的实数根； （2）△=0⇔方程有两个 的实数根 （3）△＜0⇔方程 实数根．

三、巩固与应用：

1．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）

A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0

C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0

2

2．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范

3．已知(x+y)(x+y-1)-6=0，则 x+y 的值是 ；

4．关于错误！未找到引用源。的一元二次方程为错误！未找到引用源。． （1）求出方程的根；

（2）错误！未找到引用源。为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

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