运筹学大作业

关于《红牌罐头食品制造商》作业之讨论

讨论小组：蔡继春 学号：5504108001

方李平 学号：5504108008

李 妍 学号：5504108030

指导老师： 刘静华老师

摘要：本文针对红牌罐头食品制造商的具体情况进行分析。在分析的过程中，我们认为企业当以有限资源之最小获取利益之最大，也即将“利润最大化”作为企业的管理目标。并由此发现现行的生产方案尚存在不足，有待改进。在具体的求解过程中，借助运筹学相关知识将此问题转化为多目标优化模型的求解问题，并建立线性规划模型、运用lingo等相关软件得出最优化解即新的生产方案。同时在一些现实性的假设中讨论检验方案的可行性，增加了此方案的现实意义。最后通过与已有方案作对比，对此方案进行综合评价，从成本、利润、误差等方面因素评价所得方案的合理性。最后为红牌罐头食品制造商制定出一套最优化的解决方案，以便更好的发展企业。

关键词：利润最大化 番茄 组合 成本 总利润

正文：现在我们正式开始展示我们的讨论结果。

首先是管理部门的目标，在我们看来企业当以有限资源之最小获取利益之最大，也即将“利润最大化”作为企业的管理目标。生存与发展是企业的基本问题。在市场经济中，只有赢利的企业才能生存下去并发展壮大，亏损的企业只能被市场无情地淘汰出局。故此，企业的一切长短期目标，无论是资产价值最大化，股票价格上升，还是扩大企业、进行多元化经营，或者提高市场占有份额，不是以利润最大化为基础，就是实现利润最大化的手段。企业的一切所作所为，扩张或占领市场，都以利润最大化为目的。失去利润目标，这些行为对企业就毫无意义，甚至会把企业送上绝路。当企业以利润最大化为目标时，价格这只看不见的手就指挥着企业的行为。各个企业在价格的指引之下决定生产什么和如何生产，整个社会就实现了资源配置的最优化。同时，各个企业为实现自己利润最大化而进行的竞争提高了生产率，推动了创新，这就使社会不断进步。利润最大化正是社会进步的动力。再说谋利是人的本性，也是企业家的本性。市场经济承认人的这种本性是合理的，并用价格机制使为己谋利与社会利益相一致，市场经济是符合人性的经济制度。现代经济学是市场经济的经济学，它在研究企业行为时假设利润最大化是企业生产与经营的惟一目标。

而在我们讨论管理部门需要知道什么的时候，我们将这个问题归结为企业管理人员其职责。那其职责是什么呢？我们总结的适合于红牌食品制造商讨论题目的内容是：负责拟定公司年（月）度工作思路及计划安排、公司与所属企业的日常工作沟通与衔接、公司工作督办和检查及监督，确保各项工作落到实处。牵头处理需多个部门或单位共同承办的工作，合理安排各部门分工协作，保证工作的顺利开展和完成。而在这里，则是讨论制定好这个季度有关番茄产品等其它食品的种类组合及生产数量的计划，给全公司一个目标及动力。

既是具体到番茄产品的生产种类组合及数量，那我们具体来看看这个问题的约束条件有什么。

在这个题目中我们所了解的约束条件主要有三个：一是番茄的数量的限制，总数是300万磅，而其中A级番茄，即平均质量达到9点指标的番茄是60万磅，B级番茄，即平均质量达到6点指标的番茄是240万磅，我们在计算产品组合及数量的时候绝对不能超过这个量；二是需求的限制，没有需求生产再多的产品都没用，而题中明显给出了需求预测，所以这是生产时的上限，否则生产再多也是做无用功；三是产品质量的限制，题目中也明确规定了罐装整番茄的最低输入质量要求为每磅8点，番茄汁为每磅6点，而番茄酱则可完全用B级番茄来制作，也就是说是在5点或以下。

在这些约束条件的限制下，我们经过计算，认为红牌罐头食品制造商应生产的有关番茄的产品种类组合及数量是：番茄汁26667箱，番茄酱80000箱。总利润可以达到约4.645万美元。下面我们就把该问题规范为一个线性规划问题，用相关软件求解，在此之前我们设定整番茄，番茄汁和番茄酱所使用的A级番茄分别为X1，X2，X3磅，B级番茄分别是X4，X5，X6磅。

首先我们需要的是目标函数，毫无疑问，这里肯定是以利润最大化作为目标。利润是用收益减去成本，收益比较好确定，即用产品的价格乘上数量就好，而成本则比较麻烦一下，分为人工成本和材料成本。那让我们先来看看人工成本列表吧，其主要的项目和数据如下图：

然后是原料成本，计算原料成本之前我们必定得计算出A级番茄和B级番茄不同的价位，否则在不考虑质量基数的前提下计算原料成本无异于一锅煮的饭菜，想做出“佛跳墙”的美味难度可想而知。而很幸运的这也在迈尔的考虑之中，我们认为迈尔对于A、B级产品区别成本的做法及计算方式和我们的想法是一样的。其计算过程如下：

设：Z=每磅A级番茄的成本/美分

Y=每磅B级番茄的成本/美分

（1）（600000磅*Z）+(2400000磅*Y)=（3000000磅*6）

（2）Z/9=Y/5

在这里我们想解释一下第二个式子，因为A级番茄和B级番茄的质量点数分别是9点、5点，所以价格按照质量的比来计算就有了这个计算式。那我们把上面的式子计算出来之后得到A级番茄为9.32美分每磅，B级番茄为5.18美分每磅。

现在我们可以得到目标函数了，用收益减去人工成本，再减去原料成本就行了，max Z=【(4-2.52)*(X1+X4)/18+(4.5-3.18)*(X2+X5)/20+（3.8-1.95）*（X3+X6）/25】-【（X1+X2+X3）*9.32/100+(X4+X5+X6)*5.18/100】，化简整理之后可得到最终的目标函数：

max Z=-0.0110X1-0.0270X2-0.0192X3+0.0304X4+0.0142X5+0.0222X6 得到目标函数之后我们需要把约束条件列出才能求解，那现在我们依据前文的描述可以知道，约束条件共有三各方面，分别是番茄的数量限制，需求的限制和产品质量的限制。我们分别来看看。

首先是数量方面，即三种番茄产品所用的A、B级番茄都不能超过预算，即已订购的数量。而A、B级番茄的可用数量分别是60万磅和240万磅，则有X1+X2+X3≤60万，X4+X5+X6≤240万；然后是需求方面，在红牌罐头食品制造商的需求预测表中已经显示各种番茄产品的需求量，所以生产出来的番茄产品都不能超标，有X1+X4≤80万*18，X2+X5≤5万*20，X3+X6≤8万*25；最后是质量方面，而在这里明显有罐装整番茄的最低输入质量要求为每磅8点，番茄

汁为6点，番茄酱则为5点，也就意味着在生产整番茄和番茄汁的是后A级番茄在整个生产过程中所占的配比必须不能低于一定的比例，否则就不能保证产品的质量。很容易计算出在整番茄中A级番茄的比例不能低于75%，而在番茄汁的生产中则不能低于25%，有X1-3X4≥0，3X2-X5≥0，而番茄酱则完全可以用B级番茄来生产，不必约束。

经过上面的描述，我们经过整理之后在软件中输入以下式子：

max -0.0110X1-0.0270X2-0.0192X3+0.0304X4+0.0142X5+0.0222X6

S.T

X1+X2+X3≤600000

X4+X5+X6≤2400000

X1+X4≤14400000

X2+X5≤1000000

X3+X6≤2000000

X1-3X4≥0

3X2-X5≥0

运行之后得出结果：

1) 46453.33

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 0.002578

X2 133333.328125 0.000000

X3 0.000000 0.036267

X4 0.000000 0.000000

X5 400000.000000 0.000000

X6 2000000.000000 0.000000

结果显示，需要生产番茄汁(X2+X5)/20=26666.6667箱，番茄酱（X3+X6）/25=80000箱，不生产整番茄。很明显，在生产的时候肯定以整数计算，那我

们这里姑且认为生产番茄汁26667箱，分别需要A、B级番茄133335磅，400005磅，而我们知道B级番茄只有400000磅，我们用5磅A级番茄来弥补，效果相差无几，所以最后的结果可表示为：

到这里我们已经算出在现有条件下所需要的数据，生产组合，数量以及总利润，当然还有A、B级番茄的剩余量。那现在如果说还有可以供应的A级番茄，红牌罐头食品制造商愿以每磅多少的价钱买下它呢？我们的考虑是在售价和人工成本一定的情况下，用A级番茄来生产的番茄产品能使收益与成本达到平衡时便可以购买，那我们分别来计算下（这里我们设购买的价格是X美元/磅）：

整番茄：4=2.52+18X1，得到X1=0.0822

番茄汁：4.5=3.18+20X2，得到X2=0.066

番茄酱：3.8=1.95+25X3，得到X3=0.074

也就是说在这里我们能保证不亏损的购买价格上限是8.22美分/磅，所以在有人以0.085美元/磅供应A级番茄80000磅时，我们可以知道这根本就不应该购买，因为没有必要。当然，题目中还有一个假设，那就是如果连锁超市的采购员要以3.6美元/箱的价格买下所有的整番茄产品，条件是允许红牌罐头食品制造商以最低极限质量点（7点）的水平进行生产，问是否接受这个价格呢？

首先我们看看假如以7点的质量点进行生产，那生产整番茄的过程中需要的A、B级番茄配比是多少呢？很明显7点正好是A、B级番茄质量点的平均数，也就是说原料中A、B级番茄各占一半，则原料成本为【（9.32+5.18）/100】*18/2=1.305美元，再加上人工成本2.52美元，则以7点的质量点生产

们这里姑且认为生产番茄汁26667箱，分别需要A、B级番茄133335磅，400005磅，而我们知道B级番茄只有400000磅，我们用5磅A级番茄来弥补，效果相差无几，所以最后的结果可表示为：

到这里我们已经算出在现有条件下所需要的数据，生产组合，数量以及总利润，当然还有A、B级番茄的剩余量。那现在如果说还有可以供应的A级番茄，红牌罐头食品制造商愿以每磅多少的价钱买下它呢？我们的考虑是在售价和人工成本一定的情况下，用A级番茄来生产的番茄产品能使收益与成本达到平衡时便可以购买，那我们分别来计算下（这里我们设购买的价格是X美元/磅）：

整番茄：4=2.52+18X1，得到X1=0.0822

番茄汁：4.5=3.18+20X2，得到X2=0.066

番茄酱：3.8=1.95+25X3，得到X3=0.074

也就是说在这里我们能保证不亏损的购买价格上限是8.22美分/磅，所以在有人以0.085美元/磅供应A级番茄80000磅时，我们可以知道这根本就不应该购买，因为没有必要。当然，题目中还有一个假设，那就是如果连锁超市的采购员要以3.6美元/箱的价格买下所有的整番茄产品，条件是允许红牌罐头食品制造商以最低极限质量点（7点）的水平进行生产，问是否接受这个价格呢？

首先我们看看假如以7点的质量点进行生产，那生产整番茄的过程中需要的A、B级番茄配比是多少呢？很明显7点正好是A、B级番茄质量点的平均数，也就是说原料中A、B级番茄各占一半，则原料成本为【（9.32+5.18）/100】*18/2=1.305美元，再加上人工成本2.52美元，则以7点的质量点生产

一箱整番茄的总成本是3.825美元。也就是说比超市采购员提出的购买价格

3.6美元/箱还要高出0.225美元。显然不能答应这样的购买请求。

当然我们不可否认的是题目中还有一个假设，那就是假设可以无限量地收购0.085美元/磅的A级番茄，红牌罐头食品制造商应购进多少呢？而生产又将如何组合呢？

在这里我们考虑到两种情况，因为开始购买的300万磅番茄中已经有60万磅的A级番茄了，这一部分成本计算中也必须以9.32美分的价格来计算，情况之一就是若所有的A级产品皆在这60万磅之内，也就是我们一开始就讨论的情况，生产组合及数量也都已经计算出来了。那接下来我们要讨论的就是情况之二，也就是先前已9.32美分购买的A级番茄都已经用完了，还以8.5美分购进了若干，这时我们应在成本中就还要加上这部分。很明显在情况一中所有的约束条件中除了A级番茄的约束变为X1+X2+X3≥600000外，其余都不变，另外在目标函数中需要改动，而改动的部分也仅限于在A级番茄的原料成本，也就是将【（X1+X2+X3-600000）*0.085+600000*0.0932】替换掉原来的A级番茄原料成本【（X1+X2+X3）*9.32/100】，那目标函数就变为下面这个式子：

max Z=【(4-2.52)*(X1+X4)/18+(4.5-3.18)*(X2+X5)/20+（3.8-1.95）*（X3+X6）/25】-【（X1+X2+X3-600000）

*0.085+600000*0.0932+(X4+X5+X6)*5.18/100】

整理之后我们在软件中输入以下式子：

max -0.0028X1-0.0190X2-0.011X3+0.0304X4+0.0142X5+0.0222X6-4920

S.T

X1+X2+X3≥600000

X4+X5+X6≤2400000

X1+X4≤14400000

X2+X5≤1000000

X3+X6≤2000000

X1-3X4≥0

3X2-X5≥0

运行之后得出结果：

1) 48280.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 1200000.000000 0.000000

X2 0.000000 0.000000

X3 0.000000 0.011200

X4 400000.000000 0.000000

X5 0.000000 0.014133

X6 2000000.000000 0.000000

结果和前面论述一样可以表示成以下表格：

从最终的数据可以看出，在可以无限量用0.085美元/磅的价格收购A级番茄的情况下，红牌罐头食品制造商应购进600000磅A级番茄，并且全部用以生产整番茄，除了在整番茄中配比的B级番茄，其余都用于生产番茄酱，最终的总利润可以达到48280美元。

到此为止，我们已经把题目中要求的假设可能性都已经计算过一次，也都得出了相应的结果。这时候我们不禁想到，在我们计算这些的时候，红牌罐头食品制造商的调度员威廉.库伯先生和销售经理查尔斯.迈尔先生也都已经对生产做了预测及计算，并拿出了他们自己的方案。那我们的方案与他们二人的方

案有何不同呢？同时造成这种差异的原因又是什么呢？要解开这些问题，我们首先要了解库伯先生和迈尔先生的具体方案是怎么样的。

先看看库伯 先生的吧，他在题中的产品盈利表中已经为我们展示了其具体的想法。他已计算出每种产品的单位收益，而且根据他的分析，整番茄的增加利润要高于任何番茄产品，也就是说他将竭尽可能性将整番茄生产到底。我们可以知道总共有60万磅的A级番茄，配20万磅的B级番茄，共能生产出

（60+20）/18=44444箱整番茄，而这个数目并没有超过预测的需求量，完全可以按计划生产。又因为番茄汁的净利润为-0.12美元每箱，所以不投入生产，那剩下的所有220万磅B级番茄都投于番茄酱的生产中。由于需求的限制，只能用其中200万用于生产，共可以产出200/25=8万箱番茄酱。很显然这个数据是预测的需求量的最大。这就是库伯先生关于番茄产品方面的计划，那我们看看在这个计划之下的总利润是多少吧！在他给出的盈利表中显示的净利润是整番茄为0.12美元/箱，番茄酱为0.12美元/箱，而刚才我们求出的产品数量分别是44444箱和80000箱，那总利润Z=0.12*（44444+80000）=14933美元。其投入的成本是人工制造费用和280万磅购买的番茄，即0.06*280万=16.8万。

了解了库伯先生的计划之后，接下来我们看看迈尔先生的构想。已经做了一些计算的迈尔说他同意公司“将在今年做的很好”的说法，但这并不是由罐装整番茄引起的。很显然他不满意库伯先生对于成本的计算方法，他认为番茄成本应以质和量两种基础来确定而并不是如库伯所做仅仅依赖于量。因此，他在此基础上重新计算了边际收益，并且依他的结论，红牌应使用200万磅B级番茄制作番茄酱且余下的40万磅番茄和所有A级番茄用来做番茄汁，因为在他的利润分析表中罐头整番茄的利润为每箱-0.01美元，番茄汁为0.08美元，番茄酱为0.55美元。根据这个说法也就是生产番茄酱200万/25=8万箱，番茄汁100万/20=5万箱，总利润为0.08*5万+0.55*200万=4.8万美元。最后没有任何剩余，也就是原料成本为0.06*300万=18万。

现在我们对于库伯和迈尔的方案都已经了解了，那将这两种方案与我们自己所讨论得出的方案放在一张表格上进行比较，这样会更容易发现三种方案的不同之处。

在这张表格中我们很清楚地看见库伯先生的方案并未实现管理的目标——利润最大化，所以坚决不可取。而库伯先生会得出这样的结论完全是因为他在考虑原料成本的时候并未区分A、B级番茄的不同，使得计算原料成本时显得混乱，计算当然出现不该有的结果。

当然，表中显示迈尔先生的方案似乎能使得公司获取更大的利润（4.8万美元，比我们的方案多出1547美元）。但是我们知道“利润最大化”的定义是企业当以有限资源之最小获取利益之最大，这里比较一下成本之大小就会发

现，迈尔先生的原料成本较我们的方案多出43253美元，这相当于1547美元的28倍之多。同时我们还剩余有40多万磅A级番茄，这可以用于其他途径。所以很显然在这里我们的方案会优于迈尔先生的方案成为最可取，也最能实现“利润最大化”企业目标的方案。

那我们自然会想，我们与迈尔先生在考虑成本价格的时候思路是一致的，都觉得应该把A、B级番茄的价格区别对待，那为什么会出现这样相异的结果呢？在这里我们注意到，依据迈尔先生的结论，他吧生产完番茄酱后余下的40万磅B级番茄和所有的A级番茄都用来生产番茄汁，这样番茄汁产品中A、B级番茄的比例是3/2。而我们在他的利润分析表中发现在生产番茄汁时所用于计算的原料成本是1.24美元/箱。这个数据时根据生产番茄汁所规定的质量点（6点）来计算的，按这个点数生产时A、B级番茄的配比是1/3，远远小于实际生产中的3/2,。也就是在这个细小的地方，迈尔先生低估了其成本，导致了其最终与最优方案的失之交臂。

到这里为止，我们比较了库伯先生，迈尔先生与我们自己三方的方案，分析了三种方案的异同之处，从而得出了在市场需求预测以及公司购入的番茄数