历年数列高考题汇编
历年高考真题汇编---数列(含)
1、(2011年新课标卷文)
11,公比q =.
33
1-a n
(I )S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =
2
已知等比数列{a n }中,a 1=
(II )设b n =log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.
解:(Ⅰ)因为a n =
11n -1
⨯() 33
111(1-n ) 1-n
13=3, =n . S n =3
123
1-3
所以S n -
1-a n
, 2
(Ⅱ)b n =log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a n =-(1+2+....... +n ) =-
所以{b n }的通项公式为b n =-
n (n +1)
2
n (n +1)
. 2
2、(2011全国新课标卷理)
等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1, a 3=9a 2a 6.
2
(1)求数列{a n }的通项公式.
(2)设 b n =log 3a 1+log 3a 2+...... +log 3a n , 求数列⎨
2
3
⎧1⎫
⎬的前项和. b ⎩n ⎭
2
2
解:(Ⅰ)设数列{an }的公比为q ,由a 3=9a 2a 6得a 3=9a 4所以q =
1
。有条件可知a>0,9
故q =
1。 3
11。故数列{an }的通项式为a n =n 。 33
由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 2q =1,所以a 1=(Ⅱ )b n =log 1a 1+log 1a 1+... +log 1a 1
=-(1+2+... +n ) n (n +1)
=-
2
故
1211=-=-2(-) b n n (n +1) n n +1
111111112n
++... +=-2((1-) +(-) +... +(-)) =-
b 1b 2b n 223n n +1n +1
所以数列{
12n
的前n 项和为-
b n n +1
3、(2010新课标卷理)
2设数列{a n }满足a 1=2, a n +1-a n =3
(1) 求数列{a n }的通项公式;
2n -1
(2) 令b n =na n ,求数列的前n 项和S n
解(Ⅰ)由已知,当n ≥1时,a n +1=[(a n +1-a n ) +(a n -a n -1) + +(a 2-a 1)]+a 1
=3(22n -1+22n -3+ +2) +2=22(n +1) -1。
而 a 1=2, 所以数列{a n }的通项公式为a n =2(Ⅱ)由b n =na n =n ⋅2
2n -1
2n -1
。
知
S n =1⋅2+2⋅23+3⋅25+ +n ⋅22n -1 ①
从而 2⋅S n =1⋅2+2⋅2+3⋅2+ +n ⋅2①-②得 (1-2) ⋅S n =2+2+2+ +2即 S n =
2
3
5
2
3
5
7
2n +1
②
2n -1
-n ⋅22n +1 。
1
[(3n -1)22n +1+2] 9
4、(20I0年全国新课标卷文)
设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9。 (Ⅰ)求{a n }的通项公式;
(Ⅱ)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值。 解:(1)由a m = a1 +(n-1)d 及a 1=5,a 10=-9得
{
a 1+2d =5a 1+9d =-9
解得
{d =-2
a 1=9
数列{an }的通项公式为a n =11-2n。 ……..6分
(2)由(1) 知S n =na1+
n (n -1) 。
d=10n-n2
2
因为S n =-(n-5)2+25.
所以n=5时,S n 取得最大值。 5、(2011年全国卷)
设数列{a n }的前N 项和为S n , 已知a 2=6, 6a 1+a 2=30, 求a n 和S n
6、( 2011辽宁卷)
已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10 (I )求数列{a n }的通项公式;
⎧a ⎫
(II )求数列⎨n n 的前n 项和. -1⎬2⎩⎭
解:(I )设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得⎨
⎧a 1+d =0,
2a +12d =-10, ⎩1
⎧a 1=1,
解得⎨
d =-1. ⎩
故数列{a n }的通项公式为a n =2-n . ………………5分 (II )设数列a n a n a 2
,即的前n 项和为S S =a ++ +, 故S 1=1, n n 1n -1n -1
222
S n a 1a 2a
=++ +n . 2242n
所以,当n >1时,
S n a -a a a -a 1
=a 1+2+ +n n -1n -1-n 2222n
1112-n
=1-(++ +n -1-n )
2422
12-n
=1-(1-n -1) -n
22
=
n n 所以. S =. n n n -122
a n n
的前n 项和S =. n 2n -12n -1
综上,数列{
7、(2010年陕西省)
已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项;
(Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n . 解 (Ⅰ)由题设知公差d ≠0,
由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列得
1+2d 1+8d
=, 11+2d
解得d =1,d =0(舍去), 故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n . (Ⅱ) 由(Ⅰ)知2
2
3
a m
=2n ,由等比数列前n 项和公式得
2(1-2n ) n+1
S n =2+2+2+…+2==2-2
1-2
n
8、(2009年全国卷)
设等差数列{a n }的前n 项和为s n ,公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ,已知
a 1=1, b 1=3, a 3+b 3=17, T 3-S 3=12, 求{an },{b n 的通项公式。}
解: 设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q
由a 3+b 3=17得1+2d +3q =17 ① 由T 3-S 3=12得q +q -d =4 ② 由①②及q >0解得 q =2, d =2 故所求的通项公式为 a n =2n -1, b n =3⨯2
n -1
2
2
9、(2011福建卷)
已知等差数列{an }中,a 1=1,a 3=-3. (I )求数列{an }的通项公式;
(II )若数列{an }的前k 项和S k =-35,求k 的值.
10、(2011重庆卷)
设
是公比为正数的等比数列,
的通项公式。
, .
(Ⅰ) 求
(Ⅱ) 设
是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和.
11、(2011浙江卷)
已知公差不为0的等差数列{a n }的首项为a (a ∈R ) ,且(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)对n ∈N ,试比较
*
111
,,成等比数列. a 1a 2a 4
11111
+2+3+... +n 与的大小.
a 1a 2a 2a 2a 2
1211) =⋅ a 2a 1a 4
解:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可知(
2
2
即(a 1+d ) =a 1(a 1+3d ) ,从而a 1d =d 因为d ≠0, 所以d =a 1=a . 故通项公式a n =na .
(Ⅱ)解:记T n =
111
++ +, 因为a 2n =2n a a 2a 22a 2n
11
(1-() n )
1111111所以T n =(+2+ +n ) =⋅=[1-() n ]
1a 22a a 22
1-2
从而,当a >0时,T n
11;当a . a 1a 1
12、(2011湖北卷)
成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 、b 、b 。
(I) 求数列{b n }的通项公式; (II) 数列{b n }的前n 项和为S
,求证:数列⎨S n +
n
⎧⎩
54
⎫
⎬是等比数列。 ⎭
13、(2010年山东卷)
已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n (Ⅰ)求a n 及S n ; (Ⅱ)令b n =
1*
n ∈N (),求数列{b n }的前n 项和为T n 。 2
a n -1
解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,
由于a 3=7,a 5+a 7=26,所以a 1+2d =7,2a 1+10d =26, 解得a 1=3,d =2,由于a n =a 1+(n -1) d ,S n =所以a n =2n +1,S n =n (n +2)
n (a 1+a n )
, 2
(Ⅱ)因为a n =2n +1,所以a n -1=4n (n +1)
因此b n =
2
1111
=(-)
4n (n +1) 4n n +1
故T n =b 1+b 2+ +b n =
111111(1-+-+ +-) 4223n n +1
=
n n 11
所以数列{b n }的前n 项和T n = (1-) =
4(n +1) 4n +14(n +1)
14、(2010陕西卷)
已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项; (Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n . 解 (Ⅰ)由题设知公差d ≠0,
由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列得
1+2d 1+8d
=, 11+2d
解得d =1,d =0(舍去), 故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n . (Ⅱ) 由(Ⅰ)知2
2
3
a m
=2n ,由等比数列前n 项和公式得
2(1-2n ) n+1
S m =2+2+2+…+2==2-2. 、
1-2
n
15、(2010重庆卷)
已知{a n }是首项为19,公差为-2的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和. (Ⅰ)求通项a n 及S n ;
(Ⅱ)设{b n -a n }是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T
n .
16、(2010北京卷)
已知|a n |为等差数列,且a 3=-6,a 6=0。
(Ⅰ)求|a n |的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列|b n |满足b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求|b n |的前n 项和公式 解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差d 。
⎧a 1+2d =-6
a =-6, a =0 因为3 所以⎨ 解得a 1=-10, d =2 6
⎩a 1+5d =0
所以a n =-10+(n -1) ⋅2=2n -12
(Ⅱ)设等比数列{b n }的公比为q 因为b 2=a 1+a 2+a 3=-24, b =-8
所以-8q =-24 即q =3
b 1(1-q n )
=4(1-3n ) 所以{b n }的前n 项和公式为S n =
1-q
17、(2010浙江卷)
设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数{a n }的前n 项和为S n ,满足S 2S 6+15=0. (Ⅰ)若S 5=S . 求S n 及a 1; (Ⅱ)求d 的取值范围. 解:(Ⅰ) 由题意知S 0=
-15
-3, a =S -S =-8 S 5
所以⎨
⎧Sa 1+10d =5,
解得a 1=7所以S =-3,a 1=7
⎩a 1-5d =-8.
(Ⅱ) 因为SS +15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d ) 2=d 2-8. 所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤
18、(2010四川卷) 已知等差数列
{a n }
的前3项和为6,前8项和为-4。 的通项公式;
,求数列
(Ⅰ)求数列(Ⅱ)设
{a n }
b n =(4-a n ) q n -1(q ≠0, n ∈N *) {b n }
的前n 项和
S n
Ⅱ)由(Ⅰ)得解答可得,
b n =n q n -1
,于是
.
S n =1 q 0+2 q 1+3 q 2+ +n q n -1
qS n =1 q 1+2 q 2+ +(n -1) q n -1+n q n q ≠1 若,将上式两边同乘以q 有.
两式相减得到
q -1)S n =n q n -1-q 1-q 2- -q n -1(
n +1n n
nq -n +1q +1()q -1n
==nq -
q -1q -1 .
S n =
于是
nq n +1-(n +1)q n +1
(q -1)
2
.
若q =1,则
S n =1+2+3+ +n =
n (n +1)2
.
⎧n (n +1)
, (q =1), ⎪2⎪
S n =⎨n +1
nq -(n +1)q n +1⎪, (q ≠1). 2⎪(q -1)⎩所以,…………………………………(12分)
19、(2010上海卷)
*
已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n -5a n -85,n ∈N
证明:{a n -1}是等比数列;
解:由S n =n -5a n -85, n ∈N (1) 可得:a 1=S 1=1-5a 1-85,即a 1=-14。
同时 S n +1=(n +1) -5a n +1-85 (2)
*
从而由(2)-(1)可得:a n +1=1-5(a n +1-a n ) 55(a n -1), n ∈N *,从而{a n -1}为等比数列,首项a 1-1=-15,公比为,66
5n -15n -1通项公式为a n -1=-15*() ,从而a n =-15*() +1 66即:a n +1-1=
20、(2009辽宁卷)
等比数列{a n }的前n 项和为
}的公比q ;
=3,求s n ,已知S 1S 3S 2, , 成等差数列 (1)求{ (2)求a n -a 1a 3s n
2a +(a +a q ) =2(a +a q +a q ) 111111解:(Ⅰ)依题意有
由于 a 1≠0,故
22q +q =0
又q ≠0,从而q =-12
12a 1-a (-)=312 (Ⅱ)由已知可得
故a 1=4
1n (41-(-))81n S n ==1-(-))1321-(-)2 从而
11