激光原理与技术8
激光原理与技术
西安电子科技大学 技术物理学院 刘继芳
§2.5 高斯光束的传输和变换 一、高斯光束的传输规律(TEM00)
依据:
fe =
2 πw0
λ
共焦参数
f2 R( z ) = z + z
等相面曲率半径的变化
1/ 2
⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ w( z ) = w0 ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜f ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦
光斑半径的变化
1 λ 1 i = − ~( z ) R( z ) q πw 2 ( z )
复曲率的变化
§2.5 高斯光束的传输和变换
1. 发散角θ00
前面已经讨论过远场发散角,其定义为:
2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ z d w( z ) dw( z ) ⎟ ⎥ = 2w0 ⎢1 + ⎜ 2θ 00 ≡ 2 lim =2 ⎜ ⎟ z →∞ dz ⎢ ⎝ f e ⎠ ⎥ z dz z → ∞ ⎣ ⎦ 1/ 2
z →∞
′ ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ ⎢1 + ⎜ ⎜f ⎟ ⎟ ⎥ ⎢ 1 λ 2 w0 ⎣ ⎝ e⎠ ⎥ ⎦ = 2w z θ 2 2 w = 即: 00 0 0 =2 1/ 2 2 1/ 2 = fe ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ f πw0 e z ⎟ ⎢1 + ⎜ ⎥ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ 1 + ⎜f ⎟ ⎜f ⎟ ⎢ ⎢ e ⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦ z →∞ ⎣ ⎝ e⎠ ⎥ ⎦ z →∞
实际上,发散角是变化的,应为θ00(z)
§2.5 高斯光束的传输和变换
实际发散角:
¾ ¾ ¾
z=0,等相面为平面,平面波,θ00(0)=0 z=fe,等相面为球面,球面波,θ00(fe)= θ00/ 2 z=∞,等相面为平面,平面波,θ00(∞)= θ00
故:应用中定义2fe为瑞利距离,认为在此距离内光束是准直的! 因为在此距离内,θ00( z)
2 2 πw0
λ
可见,w0↑, 2fe ↓
2 −1 / 2 ⎧ 2 ⎧ ⎡ πw ( z ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪w = w( z )⎪ + 1 ⎨ 2 2 ⎢ ⎥ ⎬ ⎪ 0 R ( z ) λ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ λ w ( z ) ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ 2θ 00 = 2 ⎢ +⎢ ⎥ ⎥ 问题 试证明:⎨ π w ( z ) R ( z ) − 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎡ λR ( z ) ⎤ ⎪ ⎪ z = R ( z )⎨1 + ⎢ 2 ⎥ ⎬ πw ( z ) ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎣ ⎭ ⎩
§2.5 高斯光束的传输和变换
2. 高斯光束复曲率参数 q 的ABCD定律
⎡A B⎤ ~ q 为求z处 ,参考面选在该处,如图: ⎢ ⎥ = (6)(5)(4)(3)(2)(1) ⎣C D⎦
1 D− A i ⎛ A+ D⎞ − 1− ⎜ ⎟ 则: ~ = q B 2B 2 ⎝ ⎠
2
~
R1 z1 5
4 6
O L
•
1 3 z
RP
R2 2 z2 z
又:
1 1 λ i = − ~ R( z ) q πw 2 ( z )
1 D− A = 比较: R ( z ) 2B
R( z ) =
2
2B D−A
w2 ( z ) = Bλ π 1 ⎛ A+ D⎞ 1− ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
2
λ
πw ( z )
2
=
1 ⎛ A+ D⎞ 1− ⎜ ⎟ B ⎝ 2 ⎠
§2.5 高斯光束的传输和变换
腔内规律:
考察z=0处,即束腰处。 z=0,R(0)=∞
2B R( z ) = D−A
Bλ π 1
A= D
⎧ z1 ⎨ ⎩ z2 = L − z1
2 w0 = w2 (z = 0) =
⎛ A+ D⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ z—RP到束腰w0的距离,决定ABCD
2
2
⎡A B⎤ ⎢C D ⎥ ⎣ ⎦ RP
λ 1 1 i = − ~ R( z ) q πw 2 ( z )
~ ( 0) = q ~ = −i πw0 q = if e 0
λ
§2.5 高斯光束的传输和变换
3. 高斯光束自由空间传输
由z=0处 传输到z处:
⎡ A B ⎤ ⎡1 z ⎤ =⎢ 变换矩阵为: ⎢ ⎥ ⎥ ⎣C D ⎦ ⎣0 1⎦
~ +B Aq ~ ~ + z = if + z q ( z ) = ~0 所以: =q e 0 Cq0 + D
w0 O
w(z) R(z)
z
~ q 0
RP ~ q ( z)
1 1 = 问题:由此出发证明 ~ q ( z ) if e + z
证明
f R( z ) = z + z
2
⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ w( z ) = w0 ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜f ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦
1/ 2
§2.5 高斯光束的传输和变换
4.能量传输孔径——空间滤波
z处场分布:u00 (r ) = 总功率: P00 = ∫
2π ∞
2 1 e π w( z )
−
r2 w (z)
2
I 00 (r ) = u 00 (r ) =
∞ −2 r2 w2 ( z )
2
2 1 e π w2 ( z)
−2
r2 w2 ( z )
0
∫
0
I 00 (r)rdrdψ = e ∫
0
r2
⎛ r2 ⎞ d⎜ ⎜ 2 w2 ( z) ⎟ ⎟ =1 ⎝ ⎠
2
通过半径a的光栏功率:
P00 (a) = ∫
2π 0
∫
a
0
I 00 (r )rdrdψ = ∫ e
0
a
当:a = w( z )
P00 ( a ) = 86% P00
⎛ r ⎞ w2 ( z ) ⎟ d⎜ 2 = 1 − e ⎜ w2 ( z) ⎟ ⎠ ⎝ P00 ( a ) = 99% a = 1 . 5 w ( z ) 当: P00
−2 w2 ( z )
−2
a2
当孔径直径d=2a=3w(z)时,高斯光束完全通过! 这就是选模空d=3w(z)的物理依据!
§2.5 高斯光束的传输和变换 二、高斯光束的变换
1. 经薄透镜的变换
问题如图: (1) 高斯光束→高斯光束(焦距F) (2) w0, z→ w0′,z′? (1) 法1:参考面选在变换前后的腰处
⎡ z′ 0⎤ ⎡1 z ⎤ ⎢1 − ⎡A B⎤ ⎡1 z ′⎤ ⎡ 1 =⎢ F ⎥⎢ ⎢ 1 ⎢C D ⎥ = (3)(2)(1) = ⎢ ⎥ ⎥ 1 1 ⎥ ⎣0 1 ⎦ − ⎣ ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎢ ⎢ − ⎦ ⎣ F ⎣ F zz ′ ⎞ ⎛ z′ ⎞~ ⎛ ′ 1 − q + z + z − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ~ +B A q F ⎠ ⎝ F⎠ ⎝ 0 ~′ = q = 0 ~ +D Cq 1~ ⎛ z⎞ 0 − q0 + ⎜1 − ⎟ F ⎝ F⎠ z + z′ − zz ′ ⎤ F⎥ z ⎥ ⎥ 1− F ⎦
w0 z RP1 z′
w0′ z RP2
§2.5 高斯光束的传输和变换
~q ~′ ⎛ q z ⎞~ ⎛ z′ ⎞ ~ ⎛ zz ′ ⎞ 0 0 + ⎜1 − ⎟q′ = ⎜1 − ⎟q0 + ⎜ z + z′ − ⎟ 整理得: − F ⎠ F ⎝ F⎠ ⎝ ⎝ F⎠
~q ~′ ~、q ~′为纯虚数,q 注意到 q 0 0 为实数,令上式实部虚部分别相等 0 0
zz ′ ⎞ ~q ~′ = F ⎛ ′ −q z + z − ⎜ ⎟ 0 0 F ⎠ ⎝
应用:
~ = if q 0 e ~′ = if ′ q 0 e
~′ q 0 ~ q 0
⎛ z′ ⎞ ⎜1 − ⎟ F⎠ =⎝ z⎞ ⎛ 1 − ⎟ ⎜ ⎝ F⎠
得到变换前后光束共焦参数满足的方程:
zz ′ ⎞ ⎛ f e f e′ = F ⎜ z + z′ − ⎟ ——(1) F ⎠ ⎝
⎛ z′ ⎞ ⎜1 − ⎟ ′ fe ⎝ F ⎠ = ——(2) z⎞ fe ⎛ − 1 ⎜ ⎟ ⎝ F⎠
§2.5 高斯光束的传输和变换
(1)×fe′得:
⎛ ⎜1 − f e f e′ = f e2 ⎝ ⎛ ⎜1 − ⎝ z′ ⎞ ⎟ F⎠ z⎞ ⎟ F⎠
——(3)
⎛ ⎜1 − f e2 ⎝ (3)代入(2)得: ⎛ ⎜1 − ⎝
解之得: ⎜1 −
⎛ ⎝
z′ ⎞ F ⎟= 2 F ⎠ ⎛ fe ⎞2 ⎛ z⎞ ⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎝ F⎠ ⎝ F⎠
z′ ⎞ ⎟ zz ′ ⎞ ⎡ ⎛ z′ ⎞ ⎛ F⎠ ⎛ z′ ⎞ ⎤ ′ = F⎜ z + z − ⎟ = F ⎢ z ⎜1 − ⎟ + F − F ⎜1 − ⎟ ⎥ z⎞ F ⎝ F ⎠⎦ ⎝ F⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎟ F⎠ z′ ⎞ ⎛ 2 = F + F ⎜ 1 − ⎟( z − F ) z 1− ⎝ F⎠
′2 f e′ 1 w0 = = 得到变换前后束腰间的关系: 2 2 w0 fe ⎛ fe ⎞2 ⎛ z⎞ ⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟
⎝ F⎠ ⎝ F⎠
§2.5 高斯光束的传输和变换
(2) 法2:参考面选透镜两侧:
⎡A B⎤ ⎡ 1 变换矩阵为:⎢ =⎢ 1 ⎥ − ⎣C D ⎦ ⎢ ⎣ F ~ +B Aq ~ 由: q2 = ~1 Cq + D
1
0⎤ ⎥ 1⎥ ⎦
w0 z z′
w0′ z RP1 RP2
1~ ~ 1 Cq1 + D − q1 + 1 1 1 得: q =~ − ~ = Aq ~ + B= F ~ 2 1 q1 F q1
即:
1 1 1 1 1 −i 2 = −i 2 − R2 ( z′) πw2 ( z′) R2 ( z ) πw1 ( z ) F
1 1 ⎧ 1 = − 等相面曲率变化! ⎪ ′ R z R z F ( ) ( ) 实部虚部分别相等得: ⎨ 2 2 ⎪w ( z′) = w ( z ) 光斑尺寸不变! 1 ⎩ 2
§2.5 高斯光束的传输和变换
~ ~ 再应用高斯光束传播变换:q1 = q0 + z ~ =q ~′ − z′ q 2 0
得:
1 1 1 = − ~′ − z ′ q ~ −z F q 0 0
2 2
(3) 讨论:
z⎞ ⎛f ⎞ i. ⎛ ⎜ q − ⎟ >> ⎜ e ⎟ F⎠ ⎝ ⎝F⎠ z′ 1 1− = 则有: F 1− z F
( F − z ) 2 >> f e2 腰离开焦点很远!
1− z z ′ zz ′ − + 2 =1 F F F
1 1 1 + = 整理得: z z′ F
′ = w0 w0 z 1− F
= w0
z′ F = z z−F
几何成像关系!
F z′ = w0 z−F z
′ z = w0 z′ w0
§2.5 高斯光束的传输和变换
ii. z=F
z 1− z′ F 1− = F ⎛ f e ⎞2 ⎛ z ⎞2 ⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎝ F ⎠ ⎝ F⎠
1− z′ =0 F
z′ = F
′2 w0 1 = 2 2 2 w0 f z ⎛ e⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜1− ⎟ ⎝ F ⎠ ⎝ F⎠
iii. z=0
Fλ Fw0 Fw0 = = 2 ′= w0 πw0 / λ πw0 fe
z′ 1 1− = F ⎛ f e ⎞2 ⎜ ⎟ +1 ⎝F⎠
′2 w0 1 = 2 2 2 w0 z⎞ ⎛ fe ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎝ F ⎠ ⎝ F⎠
fe 1 z′ = 2 = 1− 2 F fe + F 2 ⎛ fe ⎞ ⎜ ⎟ +1 ⎝F⎠ w0 Fw0 ′= w0 = 2 1 + ( fe / F ) F 2 + fe2
2
§2.5 高斯光束的传输和变换
小结:
z′/F
8 6 4 2 -4 -2 0 0 -2 -4 2
(1) fe/F→0,几何光学关系
1 1 1 + = z z′ F
(2) 高斯光学关系
fe/F=0 (fe/F)2=0.01 (fe/F)2=0.1
4 6
z/F 8
z′ = z = F
(3) 高斯光学到几何光学过渡
1− z′ = F ⎛ ⎜ ⎝ z F 2 2 fe ⎞ ⎛ z⎞ ⎟ + ⎜1 − ⎟ F⎠ ⎝ F⎠ 1−
(fe/F )2取值不同,z′、z之 间有不同关系曲线
§2.5 高斯光束的传输和变换 三、高斯光束的聚焦和准直
1. 聚焦
目的: w0′
w0 z RP1 z′
w0′ z RP2
′2 w 1 0 由 = 2 2 2 w0 f ⎛ e⎞ ⎛ z⎞ ⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎝ F ⎠ ⎝ F⎠
(1)fe小,景深小 (2) fe大,景深大 fe与w0变化规律类似,可见聚焦 以损失景深(准直距离)为代价!
′= w0
w0 ⎡⎛ fe ⎞2 ⎛ z ⎞ ⎢⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎢ ⎣⎝ F ⎠ ⎝ F ⎠
fe z⎞ ⎛ fe ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎝F⎠ ⎝ F⎠
2 2
2 1/ 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
fe =
2 πw0
λ
f e′ =
f e′ =
′2 πw0
λ
§2.5 高斯光束的传输和变换
(1) 只要F1),总有 w0′
′= w0 w0 ⎡⎛ f e ⎞ ⎛ z⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎥ ⎢ ⎣⎝ F ⎠ ⎝ F ⎠ ⎥ ⎦
2 2 1/ 2
短焦距 F的透镜,总可以满足上述条件 如: w0 = 1.0mm
f e = 3.14m
λ = 1000nm
(2) 若z
/F
′= w0 w0 1 + ( fe / F )
2
=
Fw0 F +f
2 2 e
(3)若z=F,z′=F
′= w0
F w0
w0
2 2
′ = (4) z>F,z′>F, w0
(1 − z / F ) + ( f e / F )
≈
Fw0 z +f
2 2 e
§2.5 高斯光束的传输和变换
′ = w0 w0 (1 − z / F ) 2 + ( f e / F ) 2
≈
Fw0 z 2 + f e2
=
Fw0 fe
1 ⎛ z ⎞ 1+ ⎜ ⎜f ⎟ ⎟ ⎝ e⎠
2
=
λF
πw0
⋅
1 w( z )
⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ 2 ⎢1 + ⎜ w2 ( z ) = w0 ⎜f ⎟ ⎟ ⎥ ⎢ ⎣ ⎝ e⎠ ⎥ ⎦
fe =
2 πw0
λ
w ′/w0 5 0
4
取 D=3w(z)
′= w0
λF
πw0
⋅
3 F ≈ λ ⋅ = λ ⋅ f #≈ λ D D
3 2 1
fe/F =0 fe/F =0.1 fe/F =0.5 fe/F =1 fe/F =10
2 3 4 5
当 f # =1,为理想聚焦!
0 0
1
z
§2.5 高斯光束的传输和变换
2. 准直
与聚焦相反,使远场发散角减小,2θ′0w0 。准直是指是扩束! 方法:先聚焦,再准直。系统由两个透镜组成。且F1很小,F2大
w0 z
F1 w (z) z′
w0′
F2
w0′′ z
F2
z′′
条件:z>>F1, w′0位于 F2的焦平面。
§2.5 高斯光束的传输和变换
聚焦:
′≈ w0
F1 w0 z 2 + f e2
=
F1 w0 1 λF1 = f e 1 + ( z / f )2 πw0 e
fe =
2 πw0
1 1 + (z / f e )
2
=
2
λF1
π
⋅
1 w( z )
F 扩束: λF λF2 = F2 w( z ) ′′ = w0 ′ 2 = 2 = w0 F1 λF1 ′ f e′ πw0 π ′2 πw0 πw( z ) f e′ = λ 准直倍率: 2θ w′′ F w( z ) w( z ) M = 00 = 0 = 2 ⋅ = M0 ′′ w0 F1 w0 2θ 00 w0
¾ ¾
λ
w( z ) = w0 1 + ( z / f e )
当z=0时, w(z)=w0 ,M=M0 当z>0时, w(z)>w0 ,M>M0
§2.5 高斯光束的传输和变换 四、高斯光束衍射倍率因子M2
对于基模高斯光束: 2θ 00 = 2λ 对高阶模: wm = 2m + 1w0
πw0
2θ 00 w0 =
2λ 为常数! π
θ m = 2m + 1θ 0
θ n = 2n + 1θ 0
2λ π 2λ = ( 2n + 1) π
wn = 2n + 1w0
所以:
wmθ m = (2m + 1) w0θ 0 = (2m + 1) wnθ n = (2n + 1) w0θ 0
厄米高斯光束
2λ 拉盖尔高斯光束 π
wmnθ mn = (m + 2n + 1) w0θ 0 = (m + 2n + 1)
¾
w——光束远场特性,θ——光束远场特性
§2.5 高斯光束的传输和变换
定义:
M2 = ′θ 0 ′ (测量值 ) 实际光束 2 w0 理想基模高斯光束 2 w0θ 0 ( 理论值)
描述光束偏离基模高斯光束的程度! 对理想光束(理论值): 基模: M 2 = 1
2 2 高阶模: Mx = ( 2m + 1) M y = (2n + 1) 厄米高斯光束
2 Mρ = (m + 2n + 1)
拉盖尔高斯光束
ΔS = πw2 ΔΩ = π(2θ ) / 4
2
P 1 ∝ 意义: Bν = ΔSΔΩ (M 2 )2
w、θ 实际测量值
因为M2愈小,Bν愈大,光束空间相干性愈好!