船舶水动力学
1. Kutta 条件如何表述?对于具有尾缘点或角点的物体绕流,如何确定其环量?对于无尖
角的物体绕流,在理想流体模型下能否用理论方法确定其环量?(北大吴望一编的流体力学下册p61)
kutta 条件:理想流体模型内无法确定T (环量),需补充一个合理的经验性假定。
⎛dW ⎫ ⎪=常数;对具有尾缘点的物体绕流,上下表面的流体平滑的流过尾缘B ,在尾dz ⎝⎭zR
缘处流速为有限值。同时由E 点(保角变换平面上的点) 的保角性和E 点与B 点的速度关系知E 为驻点,最后由驻点与流量的关系式即可将T 唯一确定。 若物体不具有角点,则T 的值须用实验测得或事先给出,而不能从理论上求出。
2. 当一阵微风吹过原本静止的水面时,可以看到水面波的传播,而此时水面漂浮的树叶并不“随波逐流”,试从流体力学的角度解释这一现象。 --设初始时刻t=0时自由面上各速度为零。现在一阵风给水面一个冲量,这个值是个有限值。由于流体是不可压缩的,这个冲量瞬间传到流体内各点,各点都有冲量,各点的压力和速度都发生变化。由于是小振幅波,流体质点围绕其平衡位置作微小振动。把树叶当做是一个质点,所以并不“随波逐流”。ζ=a cosk(x-δt/k).自由面的曲线是余弦曲线,振幅及波长都不随时间改变,不同时刻的波面相隔一个相位δt/k,也就是说整个波面随时间向前移动。参考书目:北大吴望一编的流体力学下册第8章 3.优秀足球运动员常常能以美妙的“香蕉球”(球的飞行轨迹呈弧线)破门,试分析:欲踢出弧线向右凸的“香蕉球”,应该用脚的什么部位踢球的哪一边? --应该用脚的内脚背踢球的右下侧。(欲踢出向右凸的“香蕉球”,应使球内旋,那样左侧气压低于右侧,产生向内的力,内脚背踢球的右下侧保证了使球内旋和前进这两个条件。) 4.何谓“辐射问题”?简述及辐射力表达中出现的两个系数a i j 与 b i j 的物理意义。物体在规则波中的响应:φ(x , y , z , t ) =Re{[
∑ξφ
j j =1
6
j
(x , y , z ) +A φA (x , y , z )]e iwt }
其中:ϕj 为无入射波时的“强迫振动”,称为“辐射问题”的解。 辐射力Fi =Re{
∑ξj e iwt f ij } 其中f ij =-ρ⎰⎰
j =1
6
∂φi
jds f ij =w 2a ij -iwb ij ∂n SB
将其实部与虚部分开Fi =-
∑(a
j =1
6
ij
U j +b ij U j )
∙
;b ij 称阻尼系数(与速度有关) a ij 称附加质量系数(与加速度有关)
5. 对于线性兴波问题,给出物面边界条件、自由面边界条件、水底边界条件和无穷远处扰
动速度为零的条件后能否定解?不能定解,还要加上辐射条件才能定解。 三. 推演论证题举例
2. 试导出以单位绝对速度势表示的附加质量的计算式。若物体有一个对称面,如何使其表达、计算简化?有一球体作变速直线运动,试比较其相应的附加质量与真实质量的大小。(北大吴望一编的流体力学下册p154-166)
根据流体动能定理:T= =
ρ
2
2
⎰⎰⎰W V d τ=
ρ
2
⎰⎰⎰W (∇ϕ⋅∇ϕ) d τ=
S
ρ
2
⎰⎰⎰
W
∇(ϕ⋅∇ϕ) d τ
S 0
ρ
n ⋅(ϕ⋅∇ϕ) dS =
22ρ∂ϕ
=-S 0ϕ
2∂n
s +s 0
ρ
ϕ
∂ϕρ
dS -∂n 2
ϕ
∂ϕ
dS ∂n
T=-
ρV 2
2
⎰⎰s ϕ0
ϕ∂ϕ0
dS 同时ϕ0= , 式中ϕ0为绝对速度势
V ∂n
1
2
2
由动能定理公式,T=V λ,可得出附加质量,λ=-ρ
⎰⎰s ϕ0
∂ϕ0
dS ∂n
6
∂ϕρ =-又因为ϕ=∑V i ϕ0i ,可得出T=-⎰⎰S 0ϕ
i =12∂n 2
6
ρ
⎰⎰S 0∑V i ϕ0i (∑V j
i =1
j =1
6
∂ϕ0j ∂n
) dS
=-
ρ
2
∑V i ∑V j ⎰⎰S 0ϕ0i
i =1
j =1
66
∂ϕ0i
dS ∂n
16
仍由动能定理可得:T=-∑
2i =1
∑
j =1
6
λij V i V j 。λij =-ρ⎰⎰S ϕ0i
∂ϕ0j
6⎫⎧i =1,......,
dS ⎨⎬
j =1,......, 6∂n ⎩⎭
由于λij =λji ,则需要求出的36个λij 分量有15个是重复的,只需求出21个。而若物体有一个对称面时,将有9个λij 分量为零,从而需要求的λij 的分量只有12个。大大简化了计算量。
假设一个圆球在做变速直线运动,设其半径为a ,则球心的平动速度是
V 0(t ) =u 0(t ) i +v 0(t ) j +w 0(t ) k ; 没有绕球心转动的角速度,所以ϕ4+ϕ5+ϕ6=0; 于是
λ44+λ55+λ66=0; 其次对称性得到λ11+λ22+λ33=0; λ11=-ρ⎰S ϕ1
∂ϕ1
dS ∂n
ϕ1是圆球以单位速度运动所产生的速度势,它是时间t 的函数。若初始时刻坐标原点和圆
a cos θ∂ϕ1a 3
, =cos θ 球中心重合,则该时刻速度势为ϕ1=-2,于是球面S :ϕ1=-2∂n 2r 2πρa 3
因此可得:λ11=其与时间无关, S cos θdS =
2⎰3
ρa
2
2πρa 3
; 进一步可以知道λ11=λ22=λ33=3
根据对称性,最终得到了T=
πρa 3
3
222(u 0+v 0+w 0)
2πρa 4
V 0, 附加动量矩:I=0 附加动量: B=3
2dV
πρa 30, 外力矩:L=0 3dt
d ****
圆球的运动方程按照(K -B ) =R , 其中K 为圆球固有动量,R 为外力。
dt
23dV *
得出:(m +πρa ) 0=R , 因此我们可以看出,圆球在做变速直线运动时将受到
3dt
2dV 22
-πρa 30的反作用力,它相当于质量增加了πρa 3后的圆球的运动,πρa 3就是附加3dt 33
外力:R=-
质量,等于圆球所排出的流体质量的一半。
3. 某潜艇在水下深处作匀速直线运动,试导出其所受阻力的相似准则方程。 某潜艇在水下深处作匀速直线运动,试导出其所受阻力的相似准则方程。
解:设潜艇实长为L ,船速为V , 粘性系数ν;潜艇模型长度l, 速度为v, 粘
性系数ν。
因为在深水中不考虑兴波阻力,所以只考虑雷诺数相等。 Re=Re ′ 即: LV/ν=lv/ν, 即:v =LV ν/νl
(答案没把握)
流体现象相似的充分必要条件是满足同一微分方程式,而且边界条件和初始条件相似. 由于两系统流体相似,将纳维尔-斯托克斯方程化简得:本176
Cv ∂Vt ' ' Cv 2∂Vx ' ' ∂Vx ' ' ∂Vx ' '
+(Vx ' ' +Vy ' ' +Vz ' ' )
Ct ∂t ' Cl ∂x ' ' ∂y ' ' ∂z ' '
=CgX ' ' -
Cp 1∂p ' ' C υCv υ' ' ∂
+[υ' ' ∇2vx ' ' +(div ' ' )]
CpCl ρ' ' ∂x ' ' Cl 3∂x ' '
该式中各相似常数所组成的各项系数必须相等,才可把这些系数约去。
Cl Cv 2Cp C υCv
==Cg ==
Ct Cl CpCl Cl 2
局部惯性力、变位惯性力、质量力、压力表面力、粘性表面力
Cv 2用变位惯性力项()除全式各项可得:
Cl Cl ClCg Cp C υ
=1=== CvCt Cv 2CpCv 2CvCl
C υ
=1 CvCl l ' υ' v '
其中C υ= Cv = Cl =
υ' ' v ' ' l ' ' C υυ' v ' l ' υ' v ' l ' v ' l ' v ' ' l ' ' vl ∴=/=1 == ∴ 即=Re(常数)
υ' ' v ' ' l ' ' υ' υ' ' υCvCl υ' ' v ' ' l ' '
深水中阻力与粘性表面力有关:
4. 试证:对于线性二元波,其动能与势能相等。
对于线性二元波 1. 动能
⎡⎛∂f ⎫2⎛∂f ⎫2⎤L ζ12ρ
E k =⎰⎰ρv dxdz =⎰⎢ ⎪+ ⎪⎥dS „„„„(1)
0-d 22S ⎢∂x ∂z ⎭⎝⎭⎥⎣⎝⎦
式中,dS =dxdz ,积分区域S 的边界由波面0A ,平底DB 和两个铅垂面OD 及AB 组成。
利用Green 定理,(1)式的面积分可化为如下线积分:
E k =
ρ∂f
f dl „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2) ⎰2l ∂n
∂f
等值反号,所以 ∂n
式中,l ——前述积分域S 的封闭边界线。 由于铅垂面铅垂面OD 及AB 各对应点的f
∂f f ⎰OD +AB ∂n dl =0
此外,乎底上∂f /∂n =0,因此,(2)式的积分只剩下沿波面的积分。考虑到线性二元波,沿波面的积分可用沿x 轴的线积分代替,于是, E k =
ρL ∂f (f ) z =0dz „„„„„„„„„„„„„„„„„„(3) ⎰20∂z
将有限水深的速度势 f =
Ag chk (z +d ) ⋅sin(kx -s t ) s chkd
代入上式,考虑到色散关系式, s =kgthkd 化简得 E k =积分结果为
E k =gA L „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(4)
2.势能
计算势能时,以静水线为基准计算势能的增量。如图所示,在被面线和静水线(x轴线)
2
ρL 2ρL 212
A g sin (kx -s t ) dx =A g ⎡1-cos (2(kx -s t ) )⎤dx ⎣⎦⎰⎰0022214
2
之间所取的微元流体z dx 从静水线以下搬到线上反对称位置,势能增加量为(z dx ρg ) z , 所以一个波长范围内的势能增量为 E P =
L 22
ρg z dx „„„„„„„„„„„„„„„„„„(5) ⎰0
将波面方程z =A cos(kx -s t ) 代人(5)式积分得
E P =gA L „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(6)
由(4)(6)两式有:对于线性二元波,其动能与势能相等 5. 试导出Euler 方程的Bernoulli 积分及Lagrange 积分。(北大吴望一编的流体力学上册p267或者本科书p70) 以下只有Bernoulli 积分仅作参考 伯努利积分的前提条件 (1) 定常流动 则
14
2
∂v x ∂v y ∂v z ∂ρ
=0 ===0,∂t ∂t ∂t ∂t
(2) 作用在流体的质量力有势,则存在势函数W 使得
f x =-
∂W ∂W ∂W
,f y =-,f z =- ∂x ∂z ∂y
(3) 正压流体密度只是压强的函数ρ=f (p )的流体称为正压流体。这时存在一个压力
函数P F 定义为
P F =⎰
它的三个坐标偏导数为
dp
ρp ∂P F 1∂p ∂P F 1∂p ∂P F 1∂p
===,, ∂x ρ∂x ∂y ρ∂y ∂z ρ∂z
如果是不可压缩均质流体,ρ等于常数,则
p P F =
ρ
如果是等温(T =T 0)流动中可压缩流体ρ=P /RT 0,则
P F =RT 0lnp
如果是绝热流动中的可压缩流体,ρ=cp 则
1k
P F =
k p
k -1ρ
在这三个条件下,葛罗米柯—兰姆运动微分方程可简化为
⎫∂⎛v 2⎫
W +P +=-2v ω-v ω(z y y z )⎪ ⎪F ∂x ⎝2⎭⎪
⎪∂⎛v 2⎫⎪
W +P F +⎪=-2(v x ωz -v z ωx )⎬ (1) ∂y ⎝2⎭⎪
⎪∂⎛v 2⎫
W +P F +⎪=-2(v y ωx -v x ωy )⎪∂z ⎝2⎭⎪⎭
伯努利积分中的前三个积分条件中,再加上一个沿流线求积分的条件,现将(1)式的中的
三式等号左右两边依次分别乘以流线上任一微元线段d l 的三个轴向分量dx ,dy ,dz ,得
⎫∂⎛v 2⎫
W +P F +⎪dx =-2(v z ωy -v y ωz )dx ⎪∂x ⎝2⎭⎪
⎪∂⎛v 2⎫⎪
W +P +dy =-2v ω-v ωdy ()⎬ (2) ⎪F x z z x ∂y ⎝2⎭⎪
⎪∂⎛v 2⎫
W +P F +⎪dz =-2(v y ωx -v x ωy )dz ⎪∂z ⎝2⎭⎪⎭
由于是定常流,流场中流线与迹线重合,因此,dx ,dy ,dz 就是dt 时间内流体微团的位
dt ,在三个轴向的分量,即dx =v x dt ,dy =v y dt ,dz =v z dt 。将这些关系式依移dl =V
次分别代替(2)式中三式等号右边的dx ,dy ,dz ,然后将三式相加,右边恰好等于零。
于是上式就变成
∂⎛v 2⎫∂⎛v 2⎫∂⎛v 2⎫
W +P F +⎪dx + W +P F +⎪dy + W +P F +⎪dz =0(3) ∂x ⎝2⎭∂y ⎝2⎭∂z ⎝2⎭
⎛v 2⎫
即 W +P F +⎪=C l (4)
2⎭⎝
其中C l 为积分常数,仅适用同一流线,称之为流线常数。(4)式称之为伯努利积分。
四.应用计算题举例
1. 某喷水推进船的离心泵从船前抽水,在船后以V 2的速度将水喷出,若船首进水口处的
进流速度为V 1,泵的流量为Q ,试求该船所受的推力(不计水的粘性及重力,近似认为进流口处和出流口处的压力相同)。注:这是一类典型的积分型动量方程的应用题,在常用流体力学书上均有类似的例题或习题。
V 1Q =V 2Q 2 P ∆t =m (V 2-V 1), 其中m =ρQ 2∆t (仅供参考)
2. 对于给出的复势指出式由哪些基本流动组成的(要求熟悉复数的代数运算),求出流线及流量(会用复势做就很简单,若分解为实部、虚部再求就麻烦)。(本科教材p125—126 注意是点源相加ln ab =ln a +ln b )
4.应用力学相似(动力相似)性质的应用题。Cp =
p 1
ρV 2S 2