定态导热"最小熵产生原理"的重新构造

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定态导热“最小熵产生原理”的重新构造

—— 20世纪“非平衡态热力学”形式逻辑反思之三

杨本洛

上海交通大学自然科学基础研究组，上海 200240

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摘 要：对于定态导热问题，形式表述的“熵产生”逻辑相容于绝热系统的实际熵增率。因此，此时建立在“熵产生”的泛函变分极值命题，本质上只可能与“绝热系统的熵极大值原理”抽象对应，并且最终呈现均匀化温度场的必然结果。针对这样一个本来过分平凡、简单和自然的结果，本文重新构造一个满足逻辑自洽性要求的泛函极值问题。这样做并不仅仅为了进一步纠正“最小熵产生原理”相关论证过程的逻辑不当，还在于提出包括“独立性、逻辑前提”在内一系列以往为人们忽略的基本命题。

关键词：熵，泛函极值，独立性，逻辑前提

1. 引言

在《Prigogine “最小熵产生原理”的否定性证明》一文，曾经从纯粹形式逻辑的角度指出：现代非平衡态热力学的相关著述以“定态导热问题”为例，试图为“最小熵产生原理”构造一个“相容性”证明的时候，那个形式定义的熵产，实际上已经在抽象意义上对应于导热体在绝热条件下的实际熵增量。因此，针对定态导热问题的特例，即使不考虑如何对“极大或极小”做出明确判断的问题，任何以“熵产极值原理”为基础的泛函极值问题，形式上总可以视为经典热力学中“绝热条件熵极大值原理”的等价性表述。

根本渊源于宏观物质的“粒子”本质，宏观物质中的粒子始终处于“能量交换”之中。因此，一旦宏观物质处于“绝热条件”的环境之中，那么，属于该宏观物质系统，一个能够使用热力学状态参数描述并允许持续存在的宏观状态，必然逻辑地对应于“均匀化”温度分布的状态，与这个热力学系统“熵的大小”完全无关。于是，从形式逻辑的角度考虑，此时无需也无法使用“熵极值原理”作为判据，考虑这个均匀化温度分布状态是否存在的问题；反过来，限制于热力学的有限论域，处于均匀化状态的宏观物质系统具有确定大小的熵。但是，另一方面，作为热力学状态参数的熵，逻辑上又构成对宏观物质系统“均匀化程度”的抽象描述。也就是说，呈现均匀化温度场的绝热系统，又必须与“熵的极大值原理”保持严格一致。于是，这样两种同样看似必然的推论又似乎处于深刻矛盾之中。

总之，从形式逻辑的角度考虑，整个热力学理论体系在涉及通常所说的热力学第二定律时，真实地面对一系列需要认真反思的基本问题：首先，如何恰当理解“熵极值原理”可能蕴含的独立意义；等价地说，如果“熵极值原理”被视为一个独立的物理学陈述，那么，是否需要为其补充必需的逻辑前提呢？其次，能否像物理学中的其它极值原理那样，凭借“熵极值原理”构造某一个具有一般意义的变分问题？如果这个变分问题合理存在，那么，它能否简单替代通常使用的热平衡方程呢？显然，这样一些热力学的基本命题不仅至今没有得到解决，即使在科学主流社会中的一些著名人物已经对Prigogine 的热力学研究提出极其尖锐批判的时候，甚至没有意识到热力学理论体系中的这些重大命题的真实存在。[1]

因此，之所以提出和讨论“绝热系统熵极大值原理”与“均匀化温度场”逻辑关联的问

题，并不在于展现一个几乎明显存在的简单事实，也不在于为了单纯纠正非平衡态热力学著述的相关论述中的逻辑错误，一个最根本的目的在于：从泛函极值的一般命题和思维结构出发，通过构造符合逻辑的推理和论证过程，逐步揭示和澄清上述与“熵极值原理”相关的一系列基本概念。

事实上，如果考虑到20世纪50年代以J. Serrin为首的一群信奉“理性主义”的学者曾经正确提出“热力学理性重建”重大命题但处于始终无力解决的现状，那么，针对一个看似简单命题却长期隐含逻辑悖论的命题进行真正符合逻辑的重新分析，对于构建“热力学理性重建”的合理思维基础同样是必需和基本的。反过来从“方法论”的角度思考，逾越半个世纪的“热力学理性重建”工作虽然耗费了极大资源，但是不可能获得成功的结果又几乎是必然的。这因为：对于这些理性主义者而言，尽管能够指出经典热力学的“神秘性”必然隐含“逻辑悖论”的判断已实属不易，但是，除了众所周知一种只能隶属于“主观感觉”范畴的神秘性反常以外，他们至今没有告诉人们“这些合理推测中逻辑悖论的形式表述到底是什么”的问题。[2]

2. 绝热系统“熵极大值原理”形式表述的重新构造

为此，现在模仿Prigogine 在热传导问题中推证“最小熵产生原理”的基本思路，努力使用符合规范的数学语言寻找可能得到的结果。

根据非平衡态热力学，针对此处单纯的热传导问题，熵产等于绝热条件下系统的熵增加。因此，探讨熵产的极值问题，相当于在绝热条件下考虑如何为系统构造熵的泛函极值问题。当然，在这个特定条件下，无需也不允许像Prigogine 那样仅仅凭借纯粹的主观臆测，杜撰类似于“最小熵产生”这样的人为假设，只需要仍然以经典热力学的“熵极大值原理”为基础，为一个能持续存在的绝热系统相应构造与“熵极大值原理”相对应的泛函极值问题。 因此，针对Groot 著述中构造的“定态导热”命题，在无需考虑变形功的同时，一方面熵方程可以直接写为

ds −∇⋅q k ∇2T == (1) dt T T

另一方面，既然已经前提性地界定为“定态导热”命题，导热体必须同时满足一般导热微分方程

∇2T =∇⋅∇T =0 (2)

也就是说，该能量方程成为一个必需的附加约束方程。在表述精度可接受的大部分情况下，作为物性参数的导热系数k 可以视为常数。当然，作为一个必然存在的简单逻辑推论，面对此处需要讨论“非均匀化温度场”的一般情况，对于非平衡态热力学著述习惯引入的唯象系数

L qq =kT 2 (3)

由于直接依赖于温度平方T 2 不允许被当作常数使用。

另一方面，可以构造与绝热条件下“熵极大值原理”保持一致，并且仅仅定义于空间域之中的泛函极值命题

max :J =∫V k ∇2T (4) T

相应存在如下所示的一阶变分等于零的极值条件方程

∇2T δS =δ∫dv =0 (5) V T ⋅

为了使由变分问题构造的Euler 方程保持2阶微分方程的形式，从而能够与线性边界条件匹配，通常仅仅使用定义于3维空间域中函数的“最简泛函”形式，即

J [S (x , T , ∇T )],x ∈V ⊂R 3 (6)

那么，考虑到 ⋅

∇T T ∇2T −∇T ⋅∇T ∇⋅(= (7) T T 2

上述变分问题可以转化为

∇2T n ⋅∇T ∇T ⋅∇T δS =δ∫dA +∫dv =δ[dv ] (8) 2V T A V T T ⋅

仍然使用最初提出绝热边界条件的条件，边界封闭积分恒为零，因此

δS =δ∫(V ⋅∇T ⋅∇T dv =0 (9) 2T

成为与“熵极大值原理”对应的必要约束方程。

如果直接使用变分法的相关结果，可以立即推得与式（9）所示泛函方程对应的Euler 方程。为了较为清晰表示处理求解泛函极值问题时的实际意义，此处不妨写出具体的推导过程。考虑到泛函定义为某个“函数空间”中的函数，所以对于式（6）所示的“最简泛函”而言，泛函决定于作为自变量的函数T 和函数梯度∇T 。

首先，考虑直接依赖于待定函数的那部分变分

δS T =⋅∂S ∇T ⋅∇T ) δT dv (10) δT =∫−2(2V ∂T T

⋅⋅其次，再考虑与待定函数梯度相关的变分

δS ∇T =

由于 ⋅∂S ∇T ⋅δ∇T δ∇T =2∫dv (11) 2V ∂(∇T ) T

∇⋅(δT ∇T ) =δT ∇⋅∇T +∇T ⋅δ∇T (12)

存在

δS ∇T =2∫∇T ⋅δ∇T dv 2V T

n ⋅∇T δT ∇⋅∇T =2[−δTdv ] (13) 22∫A V T T

∇⋅∇T =−2∫δTdv 2V T ⋅

推导中再次应用了绝热边界条件。将上述两部分变分合并

⋅⋅δS T +δS ∇T =0

(14) a

∇T ⋅∇T +∇⋅∇T =0

一般而言，对于此处所讨论“绝热系统熵”的泛函极值问题，这个导得的2阶微分方程仍然可以称之为Euler 方程。

此外，考虑（2）必须满足的附加约束方程，式（4）所示的条件极值问题得以普遍成立的必要条件是

δS =0a ∇T =0 (15)

该式表示：对于处于绝热条件下的固体，得以持续存在的宏观状态只能是“温度恒为均匀分布”的状态，与经典热力学的相关结论保持一致。

如果还需要式（4）所定义变分问题的极值性质加以校核，那么可以模仿非平衡态热力学通常使用的方法，做出如下判断 ⋅

∂∇T ⋅∇T d 2S =(k dv T 2dt 2∫V ∂t

∇T ⋅∇∂T /∂t −∇T ⋅∇T ∂T /∂t =2∫k dv 2V T

∂1 (16) =2∫q ⋅∇(dV V ∂t T

∂1∂1 =2[() q ⋅d A −∫∇⋅q dv ]A ∂t T V ∂t T

ρc ∂T =−2∫2v (2dv ≤0V T ∂t

从而与式（4）最初构造的绝热系统熵极大值原理保持逻辑相容。

3. 若干推论和思考

如果熟悉现代非平衡态热力学的论述，那么不难看出：当非平衡态热力学以“定态常物性导热”问题作为特例，希望为Prigogine “创造”出来的“最小熵产生原理”提供某种依据的时候，此处所做的一切不过是针对“同一命题”所做的重新推演，并且，首先摒除非平衡态热力学相关推理过程中一系列明显存在的逻辑错误。但是，从物理本原考虑，一个更为根本的差异在于：使用经典热力学中的“绝热系统最大熵原理”，一个得到普遍承认和被赋予客观性基础（粒子本质的宏观物质具有“自均匀化”本能）的极值条件，以其取代渊源于纯粹主观想象，因为缺乏确定物理内涵只能视为形而上学的“定态最小熵产生原理”。毫无疑问，之所以这样做，其目的绝不在于得到一个过分平凡结果：如果宏观物质处于“绝热条件”之中，那么，这个能够为热力学状态所描述宏观物质对象必然处于“均匀化温度场”的状态。但是，一个无意义的“重言式”结果，却能激发人们思考许多更为深刻却从未认真思考过的问题。

3.1 对“最小熵产生原理”的再次否定

首先，仍然需要重复指出：Prigogine 的“最小熵产生原理”无论从物理理念还是从形式逻辑考虑都是完全错误的。如果说在《Prigogine “最小熵产生原理”的否定性证明》一文，

曾经通过揭示现代非平衡态热力学关于“最小熵产生原理”相关论述隐含的演绎逻辑错误，构造了一个“否定性”证明，那么，此处则借助于构造一个“肯定性”的证明结构，再次为否定 “最小熵产生原理”提供了依据。

事实上，如果注意到关系式

∇T ⋅∇T 11 (17) =∇⋅∇2T T T

那么，式（9）所示的泛函实际上就是非平衡态热力学著述中相应给出的泛函

J [T (x )]=∫∇V 11⋅∇dv (18) T T

这个结果再次说明：非平衡态热力学在论述定态导热问题时，依据想象之中的“最小熵产生原理”而构造的形式表述，就物理本质而言仍然对应于经典热力学理论中的绝热系统的熵极大值原理，其差别只是颠倒了“泛函极值”的极值属性。 [4]

3.2 熵极大值原理的“一般性”意义

众所周知，在热力学理论体系中，状态参数熵可以合理地视为对宏观物质“平均化”程度的一种抽象度量。与其对应，作为大数粒子系统的宏观物质在粒子运动“均匀化”的自作用下，任何能够持续存在、处于热作用下观“宏观物质”对象，必然逻辑地服从“熵极大值”原理

max :S =∫s (x ) dv (19) V

相应表现宏观物质一种“抽象意义”上可能的“最均匀化”状态。显然，此时仅仅需要熵密度s (x ) 在空间域V 中存在，或者只要求满足“局部平衡态假设”的基本条件，无需考虑熵密度分布是否满足导热微分方程的“连续可微”逻辑前提，甚至无需考虑是否热力学系统是否处于“绝热条件”状况之中的问题。

这个属于宏观物质的“一般性”的结论同样适用于导热体。事实上，此处的“导热”只不过是宏观物质“热作用”的一种具体形式。因此，在温差作用下，处于“热传导”状态中的“宏观物质”只要宏观表象能够在时间域中能够持续存在，那么，该特定的“物质对象”仍然应该必然与“熵最大值原理”保持一致

max :S =∫s (x ) dv a T (x , t ) =T (x ) (20) V

也就是说，原则上可以借助于熵极大值原理求解“定态”温度场。

3.3 熵极大值原理和能量平衡方程“相容性”和“独立性”的辩证统一

不同的物理学陈述必须彼此逻辑相容，否则，因为逻辑悖论而蜕化为荒唐的“自否定”结构。另一方面，又必须满足“独立性”的要求，否则其中必然存在“多余”的物理学陈述。并且，还往往因为能够满足独立性要求，不同物理学陈述才可能保持逻辑相容。

事实上，介于宏观物质的“粒子”本质，时间域中能够持续存在的宏观表象必然在抽象意义上对应于式（1）所示的熵极大值原理（或其它形式的极值原理）；否则，在粒子的“自均匀化”作用下，必然存在某种继续变化的趋势，无法持续存在。另一方面，式（2）所示的导热微分方程，相应刻画物质世界需要一般遵循的“能量守恒”原理；否则，宏观物质的温度场同样不可能在时间域中持续存在，即

∇2T ≠0a ∂T ≠0 (21) ∂t

因此，熵的极大值原理和能量方程必须“普遍”存在，并可以视之为两个“彼此独立”的物

理学陈述。

正因为此，根据“熵极大值原理”构造的变分极值问题在推导式（15）的结果时，允许将式（2）所示的能量方程同时视为一个恰当的附加约束方程。相反，非平衡态热力学著述涉及“最小熵产生原理”的一般论述，不只是已经指出相关演绎推理过程存在的大量逻辑悖论，也不仅仅只是根据“定态”的极值原理推导同属“定态”的能量方程明显存在“循环逻辑”前提性不当，而且从一般思维原则考虑，这种证明方法还否定了“熵极值原理”和“能量守恒定律”隐含的“独立性”意义。

如果从“形式逻辑”的角度考虑，假设确认宏观物质对象只可能具有“唯一”的宏观状态，能够被一组确定的“热力学状态参数”描述，那么，属于这个特定物质对象的熵同样已经被赋予“确定性”意义。因此，在这种情况下，如果还需要把“熵”用作定义泛函的“自变量”函数，因为定义泛函的“函数空间”已经蜕化为“单个”的函数，构造泛函时必需的“允许函数空间”不再存在，不具构造“泛函极值”命题的形式基础。当然，极值原理只能相应蜕化为一种“纯粹多余”的物理学陈述。

3.4 与热传导变分表述“独立性”基础相关命题的提出

在研究宏观物质的“热传导”问题时，变分法通常被当作求解导热微分方程的一种“近似计算”方法。但是，众所周知极值原理比微分方程拥有更为深刻的物理内涵，可以用于求解微分方程无力求解的复杂问题。

事实上，针对此处所论“热传导”的个案，存在一系列与极值原理“独立性”基础相关的基本命题：

如果具有更为广泛应用极值的极值原理被赋予“独立”的物理意义，那么，什么是其中蕴含的真实物理内涵？

如何看待相关极值原理和导热微分方程之间的逻辑关联，能否仅仅将它们视之为某种形式的“重言式”表述？

进一步说，在什么情况下极值原理才可能成为被赋予“独立”意义的物理学陈述，用以解决导热微分方程无法解决的问题？

不得不指出：所有这些涉及热力学形式逻辑基础的问题不仅没有得到解决，人们甚至没有意识到这些基本命题的真实存在。当然，同样因为完全无视这些属于形式逻辑基础的前提性命题，一些研究者虽然早已做出经典热力学隐含逻辑悖论的正确判断，提出“热力学理性重建”的合理主张，但是他们的努力永远也不可能成功。事实上，任何回避“揭示矛盾和解决矛盾”甚至将解决自然科学疑难的希望寄托在“约定论”之上的研究方法，属于纯粹的自欺，最终只可能将人们的认识引入更为深刻的逻辑紊乱之中。

参考文献

[1] 斯蒂文•温伯格，索卡尔的恶作剧，《“索卡尔事件”与科学大战》，蔡仲等译，南京大学出版社，2002，

南京

[2] J. Serrin, New perspective in thermodynamics, Spring-Verlag, 1986

[3] I.Prigogine, Introduction to thermodynamics of irreversible processes, Third Edition, Interscience Publishers,

1967

[4] S. R. Degroot and P. Mazur，陆全康译，非平衡态热力学，上海科学技术出版社，1981

[5] 杨本洛，经典热力学中若干基本概念的探讨，科学出版社，1998

[6] 杨本洛，流体运动经典分析，科学出版社，1998

[7] 杨本洛，理论流体力学的逻辑自洽化分析，上海交通大学出版社，1998

[8] 杨本洛，自然哲学基础分析 —— “相对论”的哲学和数学反思，上海交通大学出版社，2001

[9] 杨本洛，自然科学体系梳理，上海交通大学出版社，2005

Reconstruction of ‘minimum entropy production principle’

of stationary conducting

— The second part of rethinking of the non-equilibrium thermodynamics in 20 century

Yang Benluo

Natural Science Foundation Research Group, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240,

China

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Abstract : For stationary heat conducting problem, the formally defined ‘entropy production’ abstractly corresponds to the real entropy increase rate. Then, in this particular case, the extreme value problem of functional based on ‘entropy production’ must be logically compatible to the entropy maximum principle of adiabatic system. Aiming at such a rather simple, natural and even trivial result and according to logical consistence principle, this paper reconstructs a proposition about the problem. The purpose, besides further correcting the logical improprieties existing in the traditional argument about ‘entropy production principle’, would lie in exciding us think some more fundamental problems including ‘independence, logic promise’, which have usually been ignored.

Key words: entropy, extreme value of functional, independence, logic premise