数5解三角形.数列.不等式
01正弦定理和余弦定理
1. 正弦定理
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相
等,即
(其中R 为△ABC 的外接圆半径)。
即详解:
正弦定理给出了任意三角形中,三条边及其对应角的正弦之间的对应关系
正弦定理的特点:
1 分式连等形式,各边对应各角,分子均为边长,分母均为角的正弦值; 2 正弦定理对任意三角形都成立;
3 正弦定理体现了三角形中三条边和三个内角之间的密切联系,是边和角的和谐统一。
最近查看:8月30日( 看过2次) 2. 正弦定理的应用
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: 1 已知两角和任意一边,求其他两边和另一角; 2 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角。 详解:
对于第(1)类,其解是唯一确定的,一般先有三角形的内角和为180°求得第三个角,再利用正弦定理求其余两边;
对于第(2)类,其解不一定唯一,由于三角形的形状不能唯一确定,因而会出现两解、一解或无解三种情况。 最近查看:8月30日( 看过2次) 3. 解三角形
一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 详解:
解三角形基本思路
①已知三边,先用余弦定理求角;
②已知两边夹角,先用余弦定理求第三边,再用正弦定理其较小角;
③已知两边及一边的对角,先用正弦定理求角,注意有解、无解、多解的分析;
④已知一边及两角,用正弦定理求边。
最近查看:3分钟前( 看过3次) 4. 余弦定理 余弦定理
:在一个三角形中,任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍所得的差。
;
;
应用余弦定理,我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的的第三条边 也可以变形写成:
;
;
从上面可知,余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式。 详解:
理解、应用余弦定理应注意以下四点:
1 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具; 2
余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例;
3
在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一; 4 运用余弦定理时,因为已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以解也是唯一的。 最近查看:8月30日( 看过1次) 5. 三角形内角和与诱导公式 ①则
,
,
②,
则,
。
02正余弦定理应用举例
1. 正弦定理和余弦定理在实际测量中的应用举例 有关名词、术语
1 仰角和俯角:与目标在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角。目标视线在水平线上面时角仰角,目标视线在视平线下方时叫做俯角
。如图示:
2
3 方位角:一般是指正北方向顺时针转到目标线的水平角,如果方位角是45°,指北偏东45°,即东北方向。 4 坡角:坡面与水平面的夹角。
5 坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比。
6 基线:在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线。 详解:
测量一定要选用基线,因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时,至少应已知一边的长度;
一般来说,基线越长,测量的精确度越高。 下一个:解三角形应„
2. 解三角形应用题的一般思路
解三角形应用题的一般思路如下:
1 读懂题意、理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称,如仰角、俯角、方位角等,理清量与量之间的关系; 2 根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; 3 合理选择正弦定理和余弦定理求解;
4 将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 详解:
无
3. 实习作业的方法步骤
实习作业的方法步骤如下: 1. 首先要准备皮尺、测角仪器;
2. 然后选定测量的现场(或模拟现场); 3. 再收集测量数据;
4. 最后解决问题,完成实习报告。
要注意测量的数据应尽量做到准确,为此可多测量几次,取平均值。要有创新意识,创造性地设计实施方案,用不同的方法收集数据、整理信息。 详解:
实习作业中的选取问题,一般有: ①距离问题,如从一个可到达点到一个不可达到点之间的距离,或两个不可达到点之间的距离; ②高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物得高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。 下一个:数列的定义 4. 数列的图象
在直角坐标系中,数列的图象是孤立有序点集。 例如,数列 ① 4,5,6,7,8,9,10„;② 1,
, ,
, „ 的图象如下:
下一个:数列的性质 5. 数列的性质 ①单调性:
单调递增数列:单调递减数列:
②周期性,
如,下列数列的周期T=2
:
。 。
③有界性:
设数列
,如果常数
,使得
或
或的界。
对所有的
n ∈N * 都成立,则称数列
是有界的, M 是数列
如:
03数列的概念与简单表示法 6. 数列的通项公式与前n 项和的关系
①关系:
。
②应用:
⑴已知
求
;
04等差数列 3. 等差数列的公式:
Ⅰ、通项公式:
(1)(2)(3)
(p、q 是常数) 。
(p、q 是常数) 。
数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项
Ⅱ、中项公式:如果三个数a,b,c 成等差数列,则等差数列的中项。 4. 等差数列的判定方法 1. 定义法:2. 中项公式法:3. 通项公式法:4. 前n 项和公式:
(常数)
是等差数列
是等差数列 是等差数列
或,称b 是
是等差数列
首页 > 数学 知识手册 04等差数列 5. 等差数列的性质
Ⅰ、函数性质:
(1)若d=0,则{a n }是常数列a 1 ,a 1 ,a 1 ,„., , a n =a1 是离散型常数函数。 (2)若d ≠0,则a n 是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点(n ,a n ) 均在一次函数y=kx+b的图象上,一次项的系数k 等于公差d ,直线在y 轴上的截距b 等于a 1 -d。
(3)若d ≠0,则S n 是关于n 的常数项为0的二次函数式,表示数列的各点(n ,S n )均在二次函数y=ax2 +bx的图象上
,即Ⅱ、运算性质: (1)
、
是等差数列,则
、
(其中p 、q
是非零常数)也
。
是等差数列。 (2)
是等差数列,则
(其中是常数,m >0,m ≠1)是等比数列。
Ⅲ、等距离性质: 一、首末等距离 (1)
;
(2)。
形象地: 对称(和)
二、等间隔项等距离
等差数列的等间隔项仍然组成等差数列,仍然具有等距离的性质。 形象地:
如,等差数列数列。
三、等间隔等长(和) 等距离
等差数列的等间隔等项数的项之和仍然组成等差数列。 形象地:
,则
(其中p 、k 是常数,
)仍然是等差
如,等差数列
列。
下一个:等差数列的„
04等差数列
,则
仍然是等差数
6. 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式:
(1)
。
(2)。
(3)。
, (A、B
数列{a n }为等差数列的充要条件是其前n 项和是常数) 。注意S n 不含常数项。 详解:
由前n 项和求数列的通项公式时,要注意分实例: 已知数列
的前n 项和
,第k 项满足
和
两种情况来研究。
,k 的值为( )
A .9 B .8 C .7 D .6 解:当当
时,
时,
也满足式子
的通式公式为,∴∴
∴数列∵解得
3. 等差数列的公式:
Ⅰ、通项公式:
(1)(2)
(3)
(p、q 是常数) 。
数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项(p、q 是常数) 。
Ⅱ、中项公式:如果三个数a,b,c 成等差数列,则等差数列的中项。 最近查看:刚刚
(
看过1次)
3. 等比数列的公式 Ⅰ、通项公式: (1)(2)
或,称b 是
Ⅱ、中项公式:如果三个数a,b,c 成等比数列,则等比数列的中项。 详解:
,或,称b 是
当a ,b 同号时,等比中项有两个;当a ,b 异号时,没有等比中项。 注意“a ,
G ,
b 成等比数列”
与“一般有
4.
数列通项公式的求法
⑴已知前n 项—可用观察法,通常先将每项进行合理的等价变形,以便发现数列的项与项数n
的关系,然后用不完全归纳法得出通项公式。
”是不等价的。
⑵已知,可用
,递推公式为
,可构造数列
,使其满
⑶已知首项足
,其中a 可由待定系数法确定,即
最后转化为可用累加、累乘或基本数列知识来解决的数列。
⑷已知
且
,可用“累加法”。即
⑸已知且,可用“累乘法”
即实例:
已知数列中,,,求.
解法一:,. 两式作差得
是以为首项,公比的等比数列
,
解法二:
,令
,易得
是首项
,公比为
的等比数列
,即
最近查看:刚刚( 看过1次) 下一个:等比数列的„ 上一个:等比数列的„
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7. 数列求和方法之错位相减法 错位相减源于等比数列求和,形如等比数列,均可用此法。
详解:
错位相减法主要用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广。 实例:
的数列,其中
为等差数列,
为
求数列解:
的前n 项和
两式相减得
8. 数列求和方法之分组转化法
分组转化法就是把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再
求解。 详解: 无 实例: 求数列
的前n 项和
.
解:
下一个:数列求和方„
9. 数列求和方法之裂项相消法
裂项相消法就是把数列的通项公式拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项。
形如:
;
都可以使用此法进行求和计算。
10. 数列求和方法之倒序相加法
倒序相加法就是把数列的正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广。 详解:
倒序相加源于等差数列求和,利用与首末两项等距的两项相加后有公因子可提,以便化简化求和。 实例: 求数列解:设
的前
n 项和
两式相加得
.
下一个:数列之经典„
11. 数列之经典考题
在本章结束的尾声中,我们来看一道经典考题,希望通过此道题目,让读者对数列这一章的知识有一个更好的把握。
实例: 设等比数列
的公比为q ,前n 项和
. ⑴求公比q 的取值范围;
⑵设小。 解:⑴因为
,记数列的前n 项和前n 项和,试比较和的大
是等比数列,,可得,. 当时,
;当时,即
上式等价于不等式组解①式得
;
„„①或„„②
解②式,由于n 可为奇数亦可为偶数,得综上,q 的取值范围是
⑵由得,,于是
又
,且
或
当或时,即
当且时,即
当或,即
最近查看:刚刚( 看过1次)
06
不等关系与不等式 2. 实数比较大小—比较法: ①求差比较法
②求商比较法
3. 不等式性质
①不等式性质定理
教材的叙述,不等式性质定理如下:
(1)a>b⇔b
(2)a>b,b>c⇒a>c;
(3)a>b⇒a+c>b+c;
(4)a>b,
c>d⇒a+c>b+d;
(5)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,cb>0,c>d>0⇒ac>bd; (7)a>b>0⇒(8)a>b>0⇒②与等式性质比较
(n∈N ,且n>1); (n∈N ,且n>1)
③不等式性质实质
不等式性质的实质是某些函数单调性的具体化。例如:
函数y=kx(k >0)在R 上是增函数
∴若a >b ,则ka >kb 。
函数y=kx(k <0)在R 上是减函数
∴若a >b ,则ka <kb 。
4. ①比较代数式的大小: 比较代数式F 与G 的大小。
Ⅰ、用求差比较法:作差“F-G ”—变形—判断正负。
Ⅱ、用求商比较法:作商“与G 的大小。
”—变形—与1比较大小(注意G
的正负)F
若
3. 不等式的解法
;若 ;若。
一、一元二次不等式的解法 一元二次不等式且
,则不等式的解集如下:
,其中
是方程
的两个根
当时,解集
当时,解集
二、一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常进行因式分解,化为
(或
<0)的形式,然后利用穿根法求解,利用此法时注意将x 的系数化为正的,以防出错.
穿根法求解步骤:①将p(x)的最高次项的系数化为正数;②将p(x)分解因式,化
成
因式皆正,积为正;当
(取
)③当
时,所有
时,有一个因式为负,其余为正,积
为负,依次类推;④当相应的方程有偶次重根时,遵循“奇穿偶不穿”的规则。 三、分式不等式的解法 分式不等式
>0(或<0)的求解可应用同解原理,转化为整式不等式求解
.
(<0)(<0);
(≤0)
下一个:二元一次不„ 首页 > 数学 知识手册 06不等关系与不等式 5. ②解不等式:
一元一次不等式、一元二次不等式是解不等式的基本点与基础,这里重点叙述利
用不等式性质解不等式。 ⑴高次不等式:把高次不等式因式分解,利用不等式的可乘性把高次不等式转化为一次或二次不等式,进而解之。 模型:
特殊地,f(x)能全部分解成一次因式,那用数轴标根法解之。
⑵分式不等式:利用不等式的可乘性把分式不等式两边同乘以分母的平方转化为整式不等式。 模型:
,或
。
⑶无理不等式:利用不等式的乘方性把无理不等式两边平方转化为有理不等式。 模型:
⑷绝对值不等式: Ⅰ、绝对值的定义:
在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。其性质为
Ⅱ、绝对值不等式性质:
Ⅲ、解法原则:
Ⅳ、模型:
(1) 设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式
的解集是
它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合,如图,它是开区间(-a ,a )。
(2) 设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式
的解集是
或。
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合,如图,它是两个开区间
的并集。
(3) 设a 为正数,解不等式
根据绝对值的意义,我们先求出ax +b 和cx+d的零点,再分区间讨论。容
易得出
分别是ax +b 和cx+d
的零点。它们把数轴分成三个区间
,(不妨设)即
6. ③证明函数的单调性:
证明函数y=f(x)在区间(a,b )上单调递增或递减。 Ⅰ、设a <x 1 <x 2 <b ,
Ⅱ、用求差比较法:作差f(x1 )-f(x2 )—变形—判断正负函数y=f(x)在区间(a,b )上的单调性。
f(x1 )与f(x2 )的大小
Ⅲ、用求商比较法:
作商与f(x2 )的大小
06不等关系与不等式
—变形—与1比较大小(注意f(x2 )的正负)f(x1 )
函数y=f(x)在区间(a,b )上的单调性。
7. ④证明不等式
设证明不等式F ≤G 或F ≥G 。
Ⅰ、用求差比较法:作差“F-G ”—变形—判断正负, 若
; 若
。
Ⅱ、用求商比较法:作商“”—变形—与1比较大小(注意G 的正负),
若; 若。
下一个:一元二次不„ 07一元二次不等式及其解法
1. 一元二次不等式及一元二次不等式的解集 形如
次不等式。例如设一元二次方程不等式不等式不等式不等式详解:
的解集为的解集为的解集为的解集为
. ; ;
或,
等。
的两个不等实根分别为
;
,则
(其中
)的不等式叫做一元二
课本中给出的一元二次不等式解集的形式是在,的情况下,若
,应将不等式的两边同乘-1化为二次项系数大于零再求解。
,若其判别式
,则方程有两相等实根,此时不等式
的解集为
别式
;不等式的解集为Ф;若判
,则方程无实数根,此时不等式
的解集为Ф.
求一元二次不等式的步骤:先求一元二次方程再写出不等式的解集。 注意把不等式化为下一个:二次函数与„ 首页 > 数学 知识手册 07一元二次不等式及其解法
2. 二次函数与二次方程、二次不等式的关系 二次方程与二次不等式都是二次函数的特例。 当二次函数
是一元二次方程。因此:
的形式
的解集为
;不等式
的两根,然后
的函数值y=0时,
即,就
当二次函
数
(或的函数值y >0(或y <0)时,即),就是一元二次不等式。而y=0
是y >0与y <0的“分水岭”,它们之间形成不可分割的内在关系。
下一个:不等式的解„
3. 不等式的解法
一、一元二次不等式的解法
一元二次不等
式
的两个根且,其
中,则不等式的解集如下: 是方
程当时,解集 当时,解集
二、一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常进行因式分解,化为(或<0)的形式,然后利用穿根法求解,利用此法时注意将x 的系数化为正的,以防出错.
穿根法求解步骤:①将p(x)的最高次项的系数化为正数;②将p(x)分解因式,化
成
因式皆正,积为正;当(取
)③当时,所有
时,有一个因式为负,其余为正,积为负,依次类推;④当相应的方程有偶次重根时,遵循“奇穿偶不穿”的规则。
三、分式不等式的解法 分式不等式>0(或<0)的求解可应用同解原理,转化为整式不等式求解
.
(<0)(<0);
(≤0) 下一个:二元一次不„
3. 简单线性规划问题
1、简单的线性规则是讨论在二元一次不等式线性条件约束下求线性目标函数
的最大值和最小值的问题,
满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有的可行解组成的集合叫做可行域。
2、解线性规划问题的步骤
(1)要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域);
(2)设t=0,画出直线
l 0 ;
(3)观察、分析,平移直线l 0 ,从而找到最优解;
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值。
实例: 若变量x ,y 满足则,的最大值是( )
A .90 B .80 C .70 D .40
解:作出可行域如下图所示:
由于的斜率分别为-2,,而的斜率为,故线性目标函数的倾斜角应大于
由图知,
经过点的倾斜角小于的倾斜角,时,z 有最大值,z 的最大值为70.
08二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
4. 简单线性规划模型方法与应用步骤:
Ⅰ、简单线性规划模型方法;
Ⅱ、简单线性规划应用步骤:
⑴寻找线性约束条件,建立线性目标函数;
⑵由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; ⑶在可行域内求目标函数的最优解;
⑷注意检查问题的实际意义。 09基本不等式
1. 基本不等式 基本不等式:
我们常把
数。
详解: 叫做正数a ,b 的算术平均数,把叫做正数a ,b 的几何平均
利用基本不等式求函数的最值
当若时,利用基本不等式有: 为定值,则当且仅当时,有最小值为. 若为定值,则当且仅当时,有最大值为. 即当或有一个为正值时,可以利用公式求另一个最值。
利用公式
1 x ,y 均为正数; 2 ⑵与求函数最值时,应注意以下三个条件: 有一个为定值; 3 ⑶等号必须取到。
以上三个条件缺一不可。 拓展:
若a 、b ∈R
,则
,当且仅当a=b时等号成立。