函数的概念及其表示方法 附答案
2.3函数的概念及其表示方法（学案） 姓名
【概念与方法】
1. 函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f (x ) 与之对应，则称f :A →B 为从集合A 到B 的一个函数。记作y =f (x ) 。
2. 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数为同一个函数. 3. 函数的三种表示法：①解析法；②列表法；③图象法. 【题组一：函数的概念】
1. 设f :A →B 是集合A 到B 的映射，下列说法正确的是 （ A ） A.A 中每一个元素在B 中必有象 B.B 中每一个元素在A 中必有原象 C.B 中每一个元素在A 中的原象是唯一的 D.B 是A 中所在元素的象的集合
2. 下列函数中哪个与函数y =x (x ≥0) 是同一个函数 （ A ） A ．y=(
x ) B ．y=
2
x
2
x
C ．y=x 3 D ．y=x 2
3. M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有 （ C ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个
4. 对函数y =f (x ) ，则y =f (x ) 的图像与x =a 的交点的个数为 （ D ） A ．0个 B ．1个 C ．至少一个 D ．至多一个
5．若集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{－2，－1,0,1,2}，从M 到N 的映射f 满足：对每个x ∈M ，恒使 x ＋f (x ) 是偶数，则映射f 有个．
6. 点(a , b ) 在映射f 的作用下的象是(a -b , a +b ) ，则f 的作用下点(3, 1) 的原象为点【题组二：函数的解析式】
7. 若f (x ) =2x +3, g (x +2) =f (x ) , 则g (x ) 的表达式为g(x)= 2x —1 8. 已知f (x +1) =x +1，则函数f (x ) 的解析式为f (x ) =x -2x +2(x ≥1) 9. 若f (x ) =10. 若f (x -
x -1x
2
，则方程f (4x ) =x 的根是 1/2
2
1x
) =x +
1x
2
，则函数f (x -1) 2
【题组三：分段函数】
⎧2-x -1, x ≤0, ⎪
11．设函数f (x ) =⎨1
2⎪x >0⎩x ,
若f (x 0) >1，则x 0的取值范围是 （ D ）
A ．（－1，1） B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）
⎧x +4
f (x ) =12．已知⎨
⎩x -4
x 0
，则f [f (-3) ]的值为 －3
【题组四：函数方程】
13. 已知f (x ) +3f (-x ) =2x +1，求f (x ) . 解：f (x ) +3f (-x ) =2x +1………………①
把①中的x 换成-x 得：f (-x ) +3f (x ) =-2x +1………………② 由①②解得：f (x ) =-x +
14
．
14. 设二次函数f (x ) 满足f (x ＋2) ＝f (2－x ) ，且f (x ) ＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x ) 的解析式．
2
解析：设f (x ) ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)由f (x ＋2) ＝f (2－x ) 知，该函数的图象关于直线x ＝2对称
－b ∴＝2，即b ＝－4a ① 2a
又图象过点(0,3)，∴c ＝3 ②
b 22c 22
由方程f (x ) ＝0的两实根平方和为10，得() 10，即b －2ac ＝10a ③
a a
由①、②、③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3(a ＝0应舍去) ∴f (x ) ＝x 2－4x ＋3
2.3函数的概念及其表示方法（作业） 姓名
1. 已知集合A={x 0≤x ≤4}， B={y 0≤y ≤2}, 下列从A 到B 的对应f 不是函数的是 （ C ） A. f :x →y =
12
x B. f :x →y =
13
x C. f :x →y =
23
x D. f :x →y =
18x
2
2. 下列函数中，与函数y =x 相同的函数是 （C ）
x
3. 与函数y ＝10lg(2x －1) 的图象相同的函数是 ( B )
11⎫⎪1 D ．y ＝1 ⎛x >1⎫
A ．y ＝ B ．y ＝2x －1 ⎛x > C ．y ＝
⎝2⎭⎪2x －12x －12x －1⎝2⎭
4．设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，从M 到N 的映射f 满足f (a )>f (b )≥f (c ) ，试确定这样的映射f 的个数为 ( D )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2
A. y =
x
2
B. y =2 C. y =lg 10x D. y =2log
x
5. 下列各函数解析式中，满足f (x +1) = A.
x 2
12
f (x ) 的是 ( C ）
x
B. x +
12
12
C. 2-x D. log
12
6. 已知f (x -1) =2x +3，且 f (m ) =6，则m 等于 （ A ）
A. -1/4 B.1/4 C.3/2 D.-3/2
7. 定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +2x y （x ，y ∈R ），f 1) (2=，则f (-3) 等于 （ C ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9
2
1－x 1－x
8. 已知f ⎛＝f (x ) 的解析式为 ( C )
⎝1＋x 1＋x x 2x 2x x A. B ．－ C. D ．－1＋x 1＋x 1＋x 1＋x 22
9. 已知f (1－cos x ) ＝sin x ，则f (x )= ＋2x x ∈[0,2] 10. 函数f (x ) 满足关系式f (x ) +2f () =3x ，
x 1
f (x ) 的表达式为
2x
-x
x -4
⎧2, (x ≤4) 1
11. f (x ) =⎨ , 若f (a )= , 则f (a+68⎩-log 2(x +1), (x >4)
⎧x 2 (x ≤0)⎪3π
12. 已知函数f (x ) ＝⎨，若f [f (x 0)]＝2，则x 0的值为____．
4⎪⎩2cos x (0
x -1
⎧⎪2e , x ＜2，
13. 设f (x ) =⎨则f (f (2))的值为 2 2
⎪⎩log 3(x -1) ，x ≥2.
2
⎧⎪(x +1) .(x
14. 设函
数f (x ) =⎨，则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围是＿
⎪⎩4-x ≥1)
2
f (x ) 及f (x ) ；
解：令t =1，则t ≥
1，且=t -1，x =(t -1) ，f (t ) =(t -1) +2(t -1) =t -1
222
22224
∴ f (x ) =x -1(x ≥1) ，f (x ) =(x ) -1=x -1(x ≥1) ．
2⎧⎪x ＋2(x ≤2)
16．设函数f (x ) =⎨，求f （－4）；若f (x 0) =8，求x 0．
(x >2) ⎪⎩2x
2
解：∵ -4
2
当x 0≤2时，x 0+2=
8，x 0=x 0>2时，2x 0=8，x 0=4．
综上所述：x 0=x 0=4．
17. （1）已知f (x ) 是一次函数，且满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17，求f (x ) ；（2）已知
2解：（1）设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，由3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17得：
x
g (x ) =1-2x , f [g (x ) ]=
1-x
22
(x ≠0) ， 求f () ．
1
3[a (x +1) +b ]-2[a (x -1) +b ]=2x +17，∴ ax +5a +b =2x +17
⎧a =2⎧a =2∴ ⎨，解得：⎨，∴ f (x ) =2x +7．
⎩5a +b =17⎩b =7
12
1-() 1114=15
（2）令g (x ) =1-2x =，得x =．∴ f () =．
12224() 4
x
18．若函数f (x ) ＝(a ≠0) ，f (2)＝1，又方程f (x ) ＝x 有唯一解，求f (x ) 的解析式．
ax ＋b
2
解：由f (2)＝1＝1，即2a ＋b ＝2；
2a ＋b 1x
1⎫＝0， 由f (x ) ＝x x ，变形得x ⎛⎝ax ＋b ⎭ax ＋b
1－b 1－b
解此方程得x ＝0或x ＝，又因方程有唯一解，∴＝0，
a a 12x
解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ，∴f (x ) .
2x ＋219．已知f (x ) =⎨
⎧1, x
，g (x ) =
3f (x -1) -f (x -2)
2
3-1252
，
f [g (x )]
（Ⅰ）求y =g (x ) 的解析式，并画出其图象；（Ⅱ）写出方程x 解：（Ⅰ）当x
当1≤x 0,x -2≥0,∴g (x )=
=1. .
=2g [f (x )]的解集.
6-1
26-22
=
=2.
⎧1, x
故y =g (x ) =⎨,1≤x
⎪2⎪⎩2, x ≥2.
其图象如右图. (3分)
5⎧
x ,
g [f (x ) =]⎨2
（Ⅱ） g (x ) >0∴f [g (x )]=2, x ∈R
⎪g (2) =2x , ≥⎩
,
所以，方程x f [g (x )]=2g [f (x )] 为 x 2
=⎧5, x
4, x ≥0
,
其解集为{2}(5分)