矩阵的--线性方程组
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9
§1 矩阵的初等变换
1. 定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换
把定义中的“行”换成“列”,称为矩阵的初等列变换。 矩阵的初等变换-----矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。
⎛100⎫
⎪
例,对三阶单位矩阵E = 010⎪做初等变换。
001⎪⎝⎭⎛100⎫r 1r 2
⎪
E = 010⎪
001⎪⎝⎭
~
⎛010⎫
⎪
100⎪=E (1,2), 001⎪⎝⎭
⎛100⎫3r 2
⎪E = 010⎪
001⎪⎝⎭
~
⎛100⎫
⎪
030⎪= E (2(3)), 001⎪⎝⎭
⎛130⎫
⎪010 ⎪=E (1,2(3)), 001⎪⎝⎭
⎛100⎫r 1+3r 2
⎪
E = 010⎪
001⎪⎝⎭
~
初等方阵 有三种初等方阵:E( i, j ), E(i(k)), E(i, j(k))
2. 等价矩阵 (P59) 等价矩阵的定义
等价矩阵的性质
3. 阶梯形矩阵
阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数,随着行数的增加而严格增加. 下面矩阵是阶梯形:
下面矩阵不是阶梯形:
4. 行最简形矩阵
在阶梯形矩阵当中,非零行的第一个非零元素是1,且所在列其它元素是0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。
例题:把下面矩阵化为行最简形矩阵。
⎛23
12
A = 3-2
2-3⎝
1-3-7⎫
⎪
0-2-4⎪
⎪830⎪
743⎪⎭
方法:
先化为阶梯形矩阵:
再化非零行第一个非零元素为1,并把所在列的其他元素化为0。 。。。。。。
⎛23
12A =
3-2
⎝2-31-3-7⎫⎛12
⎪
0-2-4⎪ 23
~⎪ 3-2830
⎪
743⎭⎝2-30-2-4⎫⎛12
⎪
1-3-7⎪ 0-1
~⎪ 0-8830
⎪
743⎭⎝0-70-2-4⎫
⎪
111⎪
⎪8912⎪
7811⎭
⎛120-2-4⎫⎛1 ⎪ 01-1-1-10 ⎪ ~~ 0-88912⎪ 0 ⎪ 0-77811⎝⎭⎝0
(再化行最简形)
20-2-4⎫⎛120-2-4⎫
⎪ ⎪
1-1-1-1⎪ 01-1-1-1⎪
~
0014⎪ 00014⎪
⎪ ⎪
0014⎭⎝00000⎭
0-2⎫
⎪03⎪
14⎪
⎪00⎭
⎛1 0 ~ 0 ⎝0
201-100000010
4⎫⎛1⎪ 3⎪ 0~4⎪ 0⎪ 0⎭⎝0
001-10000
机动例:
再把上述矩阵化为行最简形。
5. 矩阵的标准形
任何一个m ⨯n 矩阵A, 总可以经过初等变换把它化为标准形
r
F = O O ⎪⎪,
⎝⎭m ⨯n
⎛E O ⎫
标准形由m, n, r 三个数完全确定,其中r 是行阶梯形中非零行的行数。
⎛1 0
例如 P61, B 5= 0
0⎝
0-104⎫⎛1
⎪
1-103⎪ 0
~
001-3⎪ 0
⎪ 0000⎪⎭⎝0
[1**********]
0⎫⎪0⎪
=F ⎪0⎪0⎪⎭
6. 用矩阵的初等行变换方法求逆矩阵 (1)理论准备
(2)求逆矩阵的方法
7. 用矩阵的初等行变换方法求矩阵方程
(A | B ) 初等行变换→ ( E | A -1B )
例3(P65)
⎛21-3⎫⎛1-1⎫ ⎪ ⎪
求解矩阵方程AX =B ,其中A = 12-2⎪,B = 2-0⎪。
-132⎪ -25⎪⎝⎭⎝⎭
解:方程两边左乘A 逆阵:X =A -1B , (有两个方法求X =A -1B :
方法一:先求A 的逆阵A -1,再做乘法运算A -1B 。
方法二:利用行初等变换:(A | B ) 初等行变换→ ( E | A -1B )。
例1(P64)
⎛2-1-1⎫ ⎪
设A = 11-2⎪的最简形矩阵为F ,求F, 并求一个可逆矩阵P ,
4-62⎪⎝⎭
使 PA= F.
方法: (A | E )初等行变换→ ( F | P )
6作业 P 78
1 (1) (2), 2, 3(1),4(1),5(1) 堂上练习 题6(注意矩阵方程的表示,求解) §2 矩阵的秩
1. 定义
2.结论
3.计算矩阵秩的方法
按定义求矩阵的秩的方法
例 计算下列矩阵的秩
⎡1⎢0A =⎢
⎢0⎢⎣0
2-102⎤2⎡-24
⎢1-2-1022-1⎥⎥ , B =⎢
⎢2-4000-31⎥
⎥⎢
0000⎦⎣3-63
1-1
2=-6≠0,
-320
6-6⎤02⎥⎥ 23⎥
⎥34⎦
A 有一个三阶子式不为零,即0
A 的所有四阶子式全为零(因为A 的所有四阶子式的最后一行全为零),所以A 的秩等于3,即R(A)=3。
事实上,A 是一个阶梯形矩阵, 关于矩阵的秩有下面的结论:
用初等行变换方法求矩阵的秩
解:用初等行变换方法求B 的秩,并求B 的一个最高阶非零子式。
2⎡-24
⎢1-2-1B =⎢
⎢2-40⎢
⎣3-63
6-6⎤⎡1-2-1
⎢-2402⎥2⎥----→⎢
⎢2-4023⎥
⎥⎢34⎦⎣3-63
02⎤
6-6⎥⎥ 23⎥
⎥34⎦02⎤2-1⎥⎥ 3-2⎥
⎥6-2⎦
⎡1-2-1⎢000
----→⎢
⎢002⎢
6⎣0002⎤⎡1-2-1
⎢006-2⎥2⎥----→⎢
⎢002-1⎥6
⎥⎢3-2⎦0⎣00
2⎤2⎤⎡1-2-10⎡1-2-10
⎢00⎥⎢00⎥63-263-2⎥----→⎢⎥ ----→⎢
⎢00⎢000-31⎥0-31⎥⎢⎥⎢⎥0006-200000⎣⎦⎣⎦
因为不为零的行向量有三个,所以B 的秩等于3, 即R(B)=3。
在阶梯形矩阵当中,由前三行的第1,3,4列所构成的三阶子式
1-1
3=-18≠0),所以,在B 中选相应的三阶子式也不
-32
6
不为零(0
0-2
60
为零,即1
2-10=12≠0。 02
4.秩的性质
§3 线性方程组的解
考察下面的线性方程组(解是什么?)
⎧x 1+x 2+x 3=1
⎨
x +x +x =223⎩1
⎧x 1+x 2+x 3=2
⎨
x +x -x =023⎩1
关于线性方程组,我们关心的问题是:
1.
基本概念
非齐次线性方程组 AX=b
⎧a 11x 1+a 12x 2++a 1n x n =b 1⎪a x +a x ++a x =b ⎪2112222n n 2⎨
⎪
⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2++a mn x n =b m
⎛a 11 a 21 A = ⎝a m 1
a 12a 22a m 1
a 1n ⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫
⎪ ⎪⎪
a 2n ⎪x b 2⎪2⎪ , X =, b =
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪
a mn ⎭⎝x n ⎭⎝b m ⎭
系数矩阵 A
增广矩阵 B =(A |b )
注意:m ×n 非齐次线性方程组( m 个方程 n 个未知数) 齐次线性方程组
AX=O
2.
方程组的解:
如果一组数c1,c2, ….,cn 分别代入方程组x1,x2, …,xn 中,结果每个方程成为恒等式,称c1,c2, ….,cn 是方程组的解。
方程组有解,称它是相容的(P71); 方程组无解,称它是不相容的。 3.
方程组的初等变换
(方程组的初等变换相当于对增广矩阵作初等行变换)
方程组与增广矩阵的关系:
4.求解线性方程组
非齐次线性方程组的解
例 解线性方程组 例1
⎧x 1=-9⎪
⎨x =3。
方程组的解为2
⎪x =2⎩3
写成向量形式:
⎛x ⎫⎛-2⎫⎛4⎫ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎪=t 1⎪+ 0⎪ z ⎪ 0⎪ 1⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
练习,写出下面方程组的增广矩阵,写出增广矩阵化为行最简形矩阵对应的同解线性方程组。
⎧x 1-2x 2+x 3+x 4=1⎪
⎨x 1-2x 2-x 3+x 4=-1⎪x -2x +5x +x =5
234⎩1
⎛1-211|1⎫
⎪A = 1-2-11|-1⎪→
1-251|5⎪⎝⎭
同解方程组为
⎛1-201|0⎫
⎪→ 0010|1⎪
0000|0⎪⎝⎭
⎧x 1-2x 2+x 4=0
⎨ ⎩x 3=1
解之
⎧x 1=2x 2-x 4⎨ x =13⎩
x 2, x 4可任取,称为自由位知量,一般用c 表示任意常数,故有
⎧x 1=2c 1-c 2⎪x =c ⎪21⎨
⎪x 3=1, ⎪⎩x 4=c 2
⎛x 1⎫⎛2⎫⎛-1⎫⎛0⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 2⎪ 1⎪ 0⎪ 0⎪ x ⎪=c 1 0⎪+c 2 0⎪+ 1⎪
写出其向量形式: 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪
0⎪ 1⎪ 0⎪ x ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝4⎭
这个解称为方程组的一般解(或通解). (机动 P75, 例12)
7作业P79 9,10(3),12, 14(2)(3),
5. 如何判断方程组有解 (线性方程组解的讨论)
~
从上节的例1, R(A)=3, R (A ) =3, R (A ) =R (A ) 方程组有解.
~
从例2可看出: R (A ) =R (A ) =2, 方程组有无穷解
从例3可看出: R(A)=2, R (A ) =3, 方程组无解
事实上,任何一个增广矩阵可通过初等行变换化为阶梯形(行最简形),从阶梯形矩阵我们可研究系数矩阵的秩和增广矩阵的秩,从而在研究方程组的解。
设R(A) = r,则增广矩阵可化为如下阶梯形(行最简形)
⎛10 0c 1r +1
01 c 2r +1
~
A =(A b ) →
00 1c r r +1 00 00⎝
c 1n c 2n
c rn
d 1⎫
⎪ d 2⎪ ⎪⎪ d r ⎪ d r +1⎪⎭
注意到阶梯形矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程组。
~
当且仅当 d r+1=0, 即 R (A ) =R (A ) =r 时方程组有解,并且 如果r
⎧x 1=d 1-c 1r +1x r +1- -c 1n x n ⎪x =d -c x - -c x ⎪222r +1r +12n n ⎨ 含有n -r 个自由未知量,有⎪ ⎪⎩x r =d r -c rr +1x r +1- -c rn x n
无穷解。
如果r =n ,方程组有唯一解
⎧x 1=d 1⎪x =d ⎪22⎨
⎪ ⎪⎩x n =d n
定理 n 元线性方程组解的情况如下:
(1)对于非齐次线性方程组Ax =b ,有解的充要条件是
~
R (A ) =R (A )
(2) 有无穷解的充要条件是
~
R (A ) =R (A )
(无穷解中含有n
-r 个自由未知量(r =R(A) ) (3)有唯一解的充要条件是
~
R (A ) =R (A ) =n
6.齐次线性方程组的解
齐次线性方程组的矩阵形式为Ax =0. 显然,Ax =0一定有解,
~
因为R (A ) =R (A ) 永远成立。
如果齐次线性方程组只有一个解,那么肯定就是零解。 如果齐次线性方程组有无穷解,那么除零解以外还有别的解,称为非零解。
定理 n 元齐次线性方程组解的情况如下: (1)只有零解的的充要条件是
R (A ) =n
(2) 有非零解(无穷解)的充要条件是
R (A )
推论:齐次线性方程组中若m=n, 则有
解齐次线性方程组Ax = 0的一般方法 例10 求解齐次线性方程组
⎧x 1+2x 2+2x 3+x 4=0⎪
⎨2x 1+x 2-2x 3-2x 4=0⎪x -x -4x -3x =0
234⎩1
21 0⎫⎛1221 0⎫⎛12
⎪ ⎪~
A = 21-2-2 0⎪~ 0-3-6-4 0⎪
1-1-4-3 0⎪ 0-3-6-4 0⎪⎝⎭⎝⎭
⎛122
~ 012
000⎝
5⎛⎫ 0⎪ 10-2-
1 0⎫ 3⎪⎪44 0⎪~012 0⎪
⎪, 33⎪
0 0⎪0 0⎪⎭ 000
⎪⎝⎭
5⎧
x -2x -x 4=03⎪⎪13
同解方程为⎨,
4⎪x +2x +x =0
234⎪3⎩
5⎧x =2x +x 413⎪⎪3
由此得 ⎨,(x 3, x 4为自由位未知量),
⎪x =-2x -4x 234⎪3⎩
5⎧
x =2c +c 21⎪1
3
⎪
⎪x =-2c -4c
12,写成向量形式为 令x 3=c 1, x 4=c 2,得⎨2
3⎪x 3=c 1
⎪⎪x 4=c 2⎩
⎛5⎫
⎪⎛x 1⎫⎛2⎫
3⎪ ⎪ ⎪
4⎪ x 2⎪ -2⎪
x ⎪=c 1 1⎪+c 2 -⎪。
3⎪ 3⎪ ⎪0⎪ 0⎪ x ⎪ ⎝⎭⎝4⎭ 1⎪⎝⎭
例13 讨论非齐次线性方程组的解
设线性方程组为
⎧⎪⎨⎪⎩
(1+λ) x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ) x 2+x 3=3 x 1+x 2+(1+λ) x 3=λ
问λ取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解,并求其通解。
解法一,对增广矩阵作初等行变换,把它化为行最简形,对系数矩阵的秩和增广矩阵的秩进行讨论。
11 0⎛1+λ~ A = 11+λ1 3
1-11+λ λ⎝⎛11
~ 0λ 0-λ⎝⎛11
~ 0λ 00⎝
1+λ
11+λ λ⎫⎛1
⎪
1+λ1 3⎪~ 1
⎪ 1+λ11 0⎭⎝
⎫
⎪⎪⎪⎭
λ
-λ 3-λ-λ(2+λ) -λ(1+λ) 1+λ
⎫⎪⎪ ⎪⎭⎫⎪⎪ ⎪⎭
λ
-λ 3-λ-λ(3+λ) (1-λ)(3+λ)
~
λ≠0λ≠-3(1) 当且时,R (A ) =R (A ) =3,方程组有惟一解;
~
R (A ) λ=0R (A ) =2,方程组无解; (2) 当,=1,
~
(3) 当λ=-3时,R (A ) =R (A ) =2
这时,
⎛11-2 -3~
A ~ 0-33 6
000 0⎝⎫⎛10-1 -1
⎪
⎪~ 01-1 -2⎪ 000 0⎭⎝
⎫⎪⎪ ⎪⎭
⎧x 1-x 3=-1
由此得同解方程组⎨,
x -x =-23⎩2
解之⎨
⎧x 1=x 3-1
,x 3为自由未知量,
x =x -23⎩2
⎧x 1=c -1方程组的通解为⎪⎨x 2=c -2,c 为任意常数,
⎪x =c ⎩3⎛x 1⎫⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪即 x 2⎪=c 1⎪+ -2⎪
x ⎪ 1⎪ 0⎪⎝3⎭⎝⎭⎝⎭
解法二 P 76
因为系数矩阵A 是方阵,故方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于0,即A ≠0, 而
+λA =
11113+λ11
1+λ1=3+λ1+λ1 11+λ3+λ11+λ1
1
1 =(3+λ) 1+λ11+λ
111
2
(3+λ) 0λ0=(3+λ) λ=
00λ
(1) 当λ≠0且λ≠-3时,A ≠0,方程组有惟一解;
(2) 当λ=0时,
⎛111 0⎫⎪⎛111 0⎫A ~~
111 3
⎪~
000 1⎪⎝111 0⎪⎪⎭ ⎝
000 0⎪ ⎭
R (A ) =1,R (A ~
) =2,方程组无解;
(3) 当λ=-3时,
1 0⎫A ~⎛-21~
1-21 3
⎪⎛1
1-2 ⎪~
1-21 ⎝11-2 -3⎪⎭ ⎝
-211 ⎛11-2 -3⎫~
0-33 6⎪⎛11-2 -3 ⎪~
01-1 -2⎝
03-3 -6⎪⎭ ⎝
000 0⎛10-1 -1⎫~
01-1 -2⎪ ⎪⎝
000 0⎪ ⎭
R (A ) =R (A ~
) =2
这时,方程组的通解为
⎛ x 1⎫⎪⎛ -1⎫⎪⎛ 0⎫⎪
x 2⎪=c -2⎪+ 0⎪
⎝x 3⎪⎭
⎝0⎪⎭ ⎝1⎪
⎭(堂上练习,P79, 题16,参考ppt 3-3)
-3⎫
3⎪⎪0⎪⎭
⎫⎪⎪⎪ ⎭
增广矩阵为
⎛111 1~
A ~ 111 1
111 1⎝⎫⎛111 1⎪
⎪~ 000 0⎪ 000 0⎭⎝
⎫⎪⎪ ⎪⎭
~
R (A ) =R (A ) =1
对应的方程组为
增广矩阵为
⎛-21
1 1⎫1-2 4
A ~~
1-21 -2
⎪⎛1-21 -2 ⎪~ 1⎝11-2 4⎪⎭ ⎝
-211 1⎛
11-2 4⎫ 4⎫⎛1 0-33 6⎪⎛11-2-33 6⎪ ⎪~
⎪ 0⎪~
1 01⎝03-3 9⎭ ⎝
000 3⎪⎭ ⎝
00 R (A ) =2
≠R (A ~
) =3, 方程组无解。
8作业 P79 13(2)(3), 14(1),15,16,18
⎫
⎪
⎪~
⎪⎭
-2 -1 0 4
⎫
-2
⎪⎪3⎪⎭