2015天津高考数学(理)试题及答案
2015天津高考数学（理）试题及答案
满分:
班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________
一、单选题（共8小题） 1. 已知全集
，集合
，集合
，则集合
（ ）
A ．{2,5} B ．{3,6} C ．{2,5,6} D ．{2,3,5,6,8}
2. 设变量
满足约束条件则目标函数
的最大值为（A ．3 B ．4 C ．18 D ．40
）
3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
A ．-10 B ．6 C ．14 D ．18
4. 设，则“”是“
”的（A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
）
5. 如图，在圆中，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点，若
CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为（ ）
A ．B ．3 C ．D ．
6. 已知双曲线
焦点在抛物线A ．B ．C ．D ．
（）的一条渐近线过点（），且双曲线的一个
的准线上，则双曲线的方程为（ ）
7. 已知定义在上的函数
，
A ．B ．
，则
（m 为实数）为偶函数，记
的大小关系为（ ）
，
C ．D ．
8. 已知函数
函数，其中
，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A ．B ．C ．D ．
二、填空题（共6小题）
9.i 是虚数单位，若复数
10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为
是纯虚数，则实数a 的值为________.
___________.
11. 曲线
的系数为__________.
与直线
所围成的封闭图形的面积为___________.
12. 在的展开式中，
13. 在
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。已知
，则a 的值为__________.
14. 在等腰梯形ABCD 中，已知在线段BC 和DC 上，且
，则
。动点E 和F 分别
的最小值为__________.
的面积为
，
三、解答题（共6小题）
15.
.
已知函数，
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间
内的最大值和最小值.
16. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛。 （Ⅰ）设求事件（Ⅱ）设
17. 如图，在四棱柱
，
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角
，
； 的正弦值；
中，侧棱，且点
和
分别为
，
，
的中点。
为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，发生的概率；
为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量
的分布列和数学期望。
（Ⅲ）设的长。
为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为，求线段
18. 已知数列
，
满足，
（q 为实数，且
成等差数列。
），
，
，
，且
（Ⅰ）求q 的值和
的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列
的前项和。
19. 已知椭圆于第一象限，直线（Ⅰ）求直线
被圆
的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位。
截得的线段的长为，
的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点值范围。 20. 已知函数（Ⅰ）讨论（Ⅱ）设曲线
的单调性；
与轴正半轴的交点为
，曲线在点；
处的切线方程为
，
其中
，且
.
在椭圆上，若直线
的斜率大于
，求直线
（
为原点）的斜率的取
求证：对于任意的正实数，都有
（Ⅲ）若关于的方程
.
有两个正实数根
，求证：
答案部分
1. 考点:集合的运算
试题解析:, 所以 答案:A
，选A.
2. 考点:线性规划
试题解析:
不等式
所表示的平面区域如下图所示，
当 答案:C
所表示直线经过点B （0,3）时，Z 有最大值18. 选C
3. 考点:算法和程序框图
试题解析: 输入不成立；不成立成立 输出, 选B. 答案:B
；
4. 考点:充分条件与必要条件
试题解析:， 所以“ 答案:A
”是“
”的充分不必要条件，选A.
5. 考点:圆
试题解析:由相交弦定理可知，， 又因为所以所以答案:A
，选A.
是弦
的三等分点，
，
6. 考点:抛物线双曲线
试题解析: 双曲线由点（
（
）在渐近线上，所以
）的渐近线方程为
， 准线方程，
，选D.
上，
，
双曲线的一个焦点在抛物线所以
，由此可解得
所以双曲线方程为
答案:D
7. 考点:函数综合
试题解析: 因为函数所以
为偶函数，所以
，即
，
所以 答案:C
，选C.
8. 考点:函数综合
试题解析: 由
得
，
所以，
即
, 所以
有4个不同的解， 即函数
与函数
的图象的4个公共点，
恰有4个零点等价于方程
由图象可知. 选D
答案:D
9. 考点:复数概念和向量表示复数综合运算
试题解析:是纯虚数，所以 答案:-2
，即
.
10. 考点:空间几何体的三视图与直观图
试题解析:
由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为， 高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥， 所以该几何体的体积 答案:
.
11. 考点:积分
试题解析:
两曲线的交点坐标为
，
所以它们所围成的封闭图形的面积. 答案:
12. 考点:二项式定理与性质
试题解析:
展开式的通项为， 由所以 答案:
得r=2，
，所以该项系数为
13. 考点:余弦定理正弦定理
试题解析: 因为又
，所以
， ，
解方程组得
，由余弦定理得
，所以 答案:8
.
14. 考点:数量积的应用
试题解析:
因为
，
，
，
，
答案:
15. 考点:三角函数综合
试题解析:（Ⅰ）解：由题意得
= 所以，
的最小正周期T=
在区间上是增函数，
上是减函数，
（Ⅱ）解：因为在区间
，，.
所以，答案:（Ⅰ）
在区间
；（Ⅱ）最大值
上的最大值为
，最小值
，最小值为
.
16. 考点:概率综合
试题解析:
（Ⅰ）解：由题意得
所以，事件A 发生的概率为.
（Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
所以，随见变量
的分布列为
随机变量
答案:（Ⅰ）
；（Ⅱ）见解析 的数学期望
17. 考点:立体几何综合
试题解析:
如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得
,
又因为M,N 分别为
和,
. 的中点，得
为平面
=0， ，所以，
.
∥平面
.
,
.
,
,
（Ⅰ）证明：依题意，可得=
又因为直线（Ⅱ）解：
. 由此可得
平面
的一个法向量.
设为平面的法向量，则
即
不妨设，可得.
设为平面DE 法向量，则
又，得
不妨设z=1，可得.
因此有，于是.
所以，二面角
（Ⅲ）解：依题意，可设则又
，从而为平面
的正弦值为。
，
，其中。
的一个法向量，
由已知，得=，
整理得所以，线段
答案:见解析
的长为
，又因为
.
，解得.
18. 考点:数列综合应用
试题解析:（Ⅰ）解：由已知，有即又因为当当
，故
时，时，
.
，所以
，由
. ，得
；
.
，
所以，的通项公式为
（Ⅱ）解：由（I ）得. 设的前n 项和为，
则
，
，
上述两式相减，得， 整理得，.
所以，数列的前n 项和为
，
.
答案:见解析
19. 考点:圆锥曲线综合
试题解析:
（Ⅰ）解：由已知有，又由，可得.
设直线的斜率为
，则直线
的方程为
.
由已知，有
+
，解得
.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为，
直线
的方程为
，
两个方程联立，消去y ，整理得，
解得
，或
.
因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为.
有
，
解得，所以椭圆的方程为.
，直线FP 的斜率为，
，
（Ⅲ）解：设点P 的坐标为得
，即
与椭圆方程联立消去，
整理得.
又由已知，得，
解得设直线
，或的斜率为
，得
. ，即
. ，
，
与椭圆方程联立，整理可得①当
时，有
因此，于是，得.
②当时，有，
因此，于是，得.
综上，直线
答案:（Ⅰ）
的斜率的取值范围是
.
；（Ⅱ）；（Ⅲ）
20. 考点:导数的综合运用
试题解析: （Ⅰ）解：由可得其中
=，且
==.
，
，
下面分两种情况讨论： （1）当为奇数时. 令
=0，解得
，
，或
.
当变化时，的变化情况如下表：
所以，
在
，
上单调递减，在
内单调递增。
（2）当为偶数时. 当当所以，
，即，即在
时，函数时，函数
单调递增； 单调递减.
上单调递减.
上单调递增，在的坐标为
.
，
（Ⅱ）证明：设点则曲线即
，在点
处的切线方程为.
，
令
则 由于故又因为所以当所以
在在
，即. 在上单调递减. ， 时，
，当
时，
上单调递减，
，
，
内单调递增，在上单调递减，
， .
所以对于任意的正实数，都有即对于任意的正实数
，都有（Ⅲ）证明：不妨设由（Ⅱ）知设方程当
时，在
的根为
，可得上单调递减.
，可得
在原点处的切线方程为.
.
，
又由（II ）知类似地，设曲线可得当
即对于任意的设方程
的根为， ，
，，可得
.
. ，
， .
因为且由此可得因为故
答案:见解析
在上单调递增， ，因此
.
.
，所以
. 所以，
.
，