关于求圆锥曲线方程的方法
关于求圆锥曲线方程的方法
一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤
定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny 2=1(m >0, n >0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小
典型题例示范讲解 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部
分,绕其中轴(即双曲线的虚轴) 旋转所成的曲面,其中A 、
A ′是双曲线的顶点,C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端
点,B 、B ′是下底直径的两个端点,已知AA ′=14 m ,CC ′=18 m, BB ′=22 m, 塔高20 m 建立坐标系并写出B B ' 该双曲线方程
命题意图本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基
知识依托待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程;积分法求体积
错解分析 技巧与方法本题是待定系数法求曲线方程
解如图,建立直角坐标系xOy , 使AA ′在x 轴上,AA ′
的中点为坐标原点O ,CC ′与BB ′平行于x 轴
x 2y 21
设双曲线方程为2-2=1(a >0, b >0), 则a =AA ′=7
a b 2
又设B (11,y 1), C (9,x 2) 因为点B 、C 在双曲线上,所以有
112y 192y 2
-2=1, 2-2=1 72b 7b
22
由题意,知y 2-y 1=20,由以上三式得 y 1=-12, y 2=8,b =72
x 2y 2
-故双曲线方程为=1 4998
例2过点(1,0) 的直线l 与中心在原点,焦点在x 轴上
且离心率为
21的椭圆C 相交于A 、B 两点,直线y =x 过
22
线段AB 的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆C
命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强
知识依托待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题
错解分析不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键
技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB 斜率的等式解法二,用韦达定理
c 2a 2-b 2122
=由e ==, 得, 从而a =2b , c =b
a 22a 2
设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 在椭圆上
则x 12+2y 12=2b 2, x 22+2y 22=2b 2, 两式相减得,(x 12-x 22)+2(y 12-
y 22)=0,
y 1-y 2x +x 2
=-1.
x 1-x 22(y 1+y 2)
设AB 中点为(x 0, y 0), 则k AB =-
x 011
, 又(x 0, y 0) 在直线y =x 上,y 0=x 0, 2y 022
于是-
x 0
=-1, k AB =-1, 设l 的方程为y =-x 2y 0
右焦点(b ,0) 关于l 的对称点设为(x ′, y ′),
⎧y '
=1⎪⎧x '=1⎪x '-b
则⎨ 解得⎨
'''⎩y =1-b ⎪y =-x +b +1
⎪2⎩2
由点(1,1-b ) 在椭圆上,得1+2(1-b ) 2=2b 2, b 2=
92, a = 168x 2162
+y =1,l 的方程为y =-x ∴所求椭圆C 的方程为99
c 2a 2-b 21
, 得=, 从而a 2=2b 2, c =b 由e ==2
a 22a
设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2, l 的方程为y =k (x -1),
将l 的方程代入C 的方程,得(1+2k 2) x 2-4k 2x +2k 2-2b 2=0,则
4k 2
x 1+x 2=, y +y =k (x -1)+k (x -1)=k (x +x ) -2k = 121212
1+2k 2
-k 12k 2x 1+x 2y 1+y 21
=⋅直线y =x 过AB 的中点(), 则, , 2221+2k 1+2k 222
解得k =0,或k =-1
若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0) 关于直线l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,所以k =0舍去,从而k =-1,直线l 的方程为y =-(x -1), 即y =-x +1,以下同解法一
例3如图,已知△P 1OP 2的面积为
27
,P 为线段4
P 1
P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线
2
命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方
程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力
知识依托定比分点坐标公式;三角形的面积公式;以及点在曲线上,点的坐标适合方程
错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出
△P 1OP 2的面积是学生感到困难的
技巧与方法 利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建立关于参数a 、b 的两个方程,从而求出a 、b 的值
解以O 为原点,∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系 且过点P 的离心率为
x 2y 2
设双曲线方程为2-2=1(a >0, b >0)
a b c 2b 2b ) ,得= 由e =2=1+() 2=(
a 2a a 2
∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =设点P 1(x 1,
33x 和y =-x 22
33
x 1), P 2(x 2, -x 2)(x 1>0, x 2>0), 则由点P 分P 1P 2所成的比
λ22
P 1P x 24y 2x 1+2x 2x 1-2x 2==2,得P 点坐标为(), 又点P 在双曲线2-2=1, PP 2a 9a 32(x 1+2x 2) 2(x 1-2x 2) 2
-上,所以=1, 22
9a 9a
即(x 1+2x 2) 2-(x 1-2x 2) 2=9a 2, 整理得8x 1x 2=9a 2 ①
92922
x 1=x 1, |OP |=x 2+x 2=x 24242
32⨯
2tan P 1Ox =12sin P 1OP 2== 1+tan 2P 1Ox 1+13
4
11131227
∴S ∆P 1OP 2=|OP 1|⋅|OP 2|⋅sin P 1OP 2=⋅x 1x 2⋅=,
224134又|OP 1|=x 1+
2
即x 1x 2=
9 2
②
由①、②得a 2=4,b 2=9
x 2y 2
-故双曲线方程为=1 49
x 2y 2
-例4 双曲线=1(b ∈N ) 的两个焦点F 1、F 2,P 为双曲线上一点,4b 2
|OP |<5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则b 2=_________
解析设F 1(-c ,0)、F 2(c ,0) 、P (x , y ), 则 |PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2) <2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2<50+2c 2,
又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|-|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2
17, 3517
又∵c 2=4+b 2<, ∴b 2<, ∴b 2=1
33
∴16+8c 2<50+2c 2, ∴c 2<
答案
1已知直线x +2y -3=0与圆x 2+y 2+x -6y +m =0相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则m 等于( )
A 3 D -1
-3
C 1
2中心在原点,焦点在坐标为(0,±52) 的椭圆被直线3x -y -2=0
截得的弦的中点的横坐标为
1
,则椭圆方程为( ) 2
2x 22y 22x 22y 2A. +=1 +=125757525 2222x y x y C. +=1 D.+=125757525
3直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2
-4y 2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________
4已知圆过点P (4,-2) 、Q (-1,3) 两点,且在y 轴上截得的线段长
为43,则该圆的方程为
5已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为F ,M 是椭圆上的任意点,|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存
4 3
6某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长
在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2,且|M 1M 2|=
7已知圆C 1的方程为(x -2) 2+(y -1) 2=
20
, 椭圆C 2的3
2x 2y 2
方程为2+2=1(a >b >0) ,C 2的离心率为,如果C 1
2a b
与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和
椭圆C 2的方程 参考答案:
解析将直线方程变为x =3-2y , 代入圆的方程x 2+y 2+x -6y +m =0, 得(3-2y ) 2+y 2+(3-2y )+m =0
整理得5y 2-20y +12+m =0,设P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2)
则y 1y 2=
12+m
, y 1+y 2=4 5
又∵P 、Q 在直线x =3-2y 上,
∴x 1x 2=(3-2y 1)(3-2y 2)=4y 1y 2-6(y 1+y 2)+9
故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2-6(y 1+y 2)+9=m -3=0,故m =3 答案 A
y 2x 2
解析2+2 =1,且a 2=50+b 2,
a b
y 2x 2
+2=1 即方程为2
50+b b
将直线3x -y -2=0代入,整理成关于x 的二次方程 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75 答案C
解析所求椭圆的焦点为F 1(-1,0), F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|
欲使2a 最小,只需在直线l 上找一点P 使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可
x 2y 2
+解 答案 =1 54
解析设所求圆的方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
⎧(4-a ) 2+(-2-b ) 2=r 2⎧a =1⎧a =5⎪⎪⎪⎪
则有⎨(-1-a ) 2+(3-b ) 2=r 2 ⇒⎨b =0或⎨b =4
⎪2⎪2⎪222
r =13|a |+(2) =r ⎪⎩⎩r =27⎩
由此可写所求圆的方程
答案 x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0
|MF |max =a +c ,|MF |min =a -c , 则(a +c )(a -c )=a 2-c 2=b 2,
x 2y 2
=1 ∴b =4,设椭圆方程为2+4a
2
① ②
③
设过M 1和M 2的直线方程为y =-x +m 将②代入①得(4+a 2) x 2-2a 2mx +a 2m 2-4a 2=0 设M 1(x 1, y 1) 、M 2(x 2, y 2), M 1M 2的中点为(x 0, y 0),
4m a 2m 1
则x 0= (x 1+x 2)=, y =-x +m = 00
4+a 24+a 22
a 2m 4m
=代入y =x , 得, 22
4+a 4+a
4a 2
由于a >4, ∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=-,
4+a 2
2
4又|M 1M 2|=2(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=,
3
x 2y 2
+代入x 1+x 2, x 1x 2可解a =5,故所求椭圆方程为 =1 54
6解以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB |=20,|OM |=4,A 、B 坐标分别为(-10,-4)、(10,-4)
设抛物线方程为x 2=-2py , 将A 点坐标代入,得100=-2p ×(-4), 解得p =125,
于是抛物线方程为x 2=-25y 由题意知E 点坐标为(2,-4) ,E ′点横坐标也为2,将2代入得y =-016, 从而|EE ′|=(-016) -(-4)=3 84 故最长支柱长应为3 84米
2
2x 2y 2
由e =, 可设椭圆方程为2+2=1,
22b b
又设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2), 则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,
x y x y x -x y -y
又12+12=1, 22+22=1,两式相减,得122+122=0, 2b b 2b b 2b b
即(x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0
22222222
化简得
y 1-y 2
=-1, 故直线AB 的方程为y =-x +3,
x 1-x 2
代入椭圆方程得3x 2-12x +18-2b 2有Δ=24b 2-72>0,
又|AB |=2(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=
20, 3
24b 2-7220
=得2⋅,解得b 2 93
x 2y 2
+故所求椭圆方程为=1 168