线性代数期末考试题答案
线性代数B 期末试题解答05
一、判断题(正确填√,错误填×。每小题2分,共10分)
1.A 是n 阶方阵,且|A |≠0,则n 元方程组AX =b 有唯一解。 (√ ) 2.A ,B 是同阶相似方阵,则A 与B 有相同的特征值。
(√ )
3.如果X 1 与X 2 皆是AX =b 的解,则X 1 +X 2 也是AX =b 的解。 ( × ) 4.若A 为n 阶方阵,其秩r
(√ )
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设A 是n 阶矩阵,其伴随矩阵为A *,E 为单位矩阵。则A A*为 ( A ) (A )|A |E (B) E (C) A * (D) 不能乘
2.设A 、B 、C 同为n 阶方阵,且满足ABC =E ,则必有( C )。 (A )ACB =E (B )CBA =E (C )BCA = E (D )BAC =E 3.设A 为n 阶方阵,且|A |=5,则|(3A -1)T |=( C )
351
n n
(A)5 (B) 3 (C)3n ·5 (D) 3·5n
4.设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r
5.n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值,是A 与对角阵相似的( B ) (A )充分必要条件 (B )充分而非必要 (C )必要而非充分条件 (D )既非充分也非必要
三、填空题(每小题5分,共25分)
a d c b s h 1.j k
00p f
00e
g =(ab-cd)(pg-ef)。
*
A -13A =3A =2.A 为3阶矩阵,且满足6, 则=__1/6__,3·62=972 。
2-1⎫⎛1 ⎪ -2-53⎪ -14β⎪
⎭ 3.设齐次线性方程组的系数矩阵A =⎝
此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是不可能,齐次方程组总有解 ,当β取值为 -5 时方程组有无穷多解。
⎛1⎫ ⎪ 3⎪η1= ⎪
-1 ⎪ 4⎪⎝⎭,4.已知η1, η2, η3是四元方程组AX =b 的三个解,其中A 的秩R (A ) =3,
⎛2⎫⎛1⎫⎛0⎫
⎪ ⎪ ⎪4 ⎪ 3⎪ 2⎪
η2+η3= ⎪+c ⎪ ⎪3-1-5
⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则方程组AX =b 的通解为 ⎝4⎭⎝8⎭。
⎛22-1⎫ ⎪A = 1-24⎪
582⎪⎝⎭,则|A |= -54 ,A 的秩R (A ) 是 3 。 5.设
四、计算下列各题(每小题8分,共24分)。
⎛23-1⎫
⎪A = 210⎪
043⎪⎝⎭且知AX -A=3X ,求矩阵X 。 1. 设
3⎛
1
2
-1
X = (A -3E )A = 01
3-3-
2⎝解:
3⎫
⎪4⎪3⎪4⎪5⎪-⎪2⎭
⎛12
01
A =(α1α2α3α4)=
1-3
07⎝2. 已知向量组
34⎫
⎪11⎪03⎪
⎪3-1⎪⎭
求向量组A 的秩;判断向量组的相关性;求其一个极大无关组;将其余向量用极大无关组线性表示。
⎛12
01A =
1-3
07⎝解:34⎫⎛1
⎪ 11⎪ 0
~ ⎪030⎪ 3-1⎪⎭⎝0
100
00⎫
⎪0-1⎪12⎪
⎪00⎪⎭
R(A) = 3; α1, α2, α3是一最大无关组;α4=-α2+2α3
⎛2-1⎫⎛20⎫
⎪⎪P = Λ= ⎪ ⎪-1-740-1⎝⎭⎝⎭ 求A 11 。 3. 设P AP =Λ,
A =P ΛP -1, A 11=P Λ11P -1
⎛2-1⎫⎛20⎫= -74⎪⎪ 0-1⎪⎪⎝⎭⎝⎭
11
⎛2-1⎫
-74⎪⎪⎝⎭
-1
⎛2-1⎫⎛20480⎫⎛2-1⎫
⎪= -74⎪⎪ 0⎪ -74⎪⎪-1⎝⎭⎝⎭⎝⎭解:
-1
4098⎫⎛16391
= -57372-14344⎪⎪⎝⎭
五、解方程组(本题8分)
⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1
⎪3x +2x +x +x -3x =a ⎪12345⎨
⎪x 2+2x 3+2x 4+6x 5=3⎪5x +4x 2+3x 3+3x 4-x 5=b
已知方程组⎩1
当a , b
取什么值时方程组有解?
在有解的情况下,求方程组的通解。
1⎫⎛111111⎫⎛11111
⎪ ⎪
3⎪ 3211-3a ⎪ 01226
B = ~
012263⎪ 00000a ⎪ ⎪ ⎪ 5433-1b ⎪ 00000b -2⎪⎝⎭⎝⎭ 解:
当a=0, b=2 时方程组有解,这时:
⎛10-1-1-5-2⎫ ⎪
63⎪ 0122
B ~
000000⎪ ⎪ 000000⎪⎝⎭ 方程组的通解为:
X = (-2 3 0 0 0)T +C1(1 –2 1 0 0)T +C2(1 –2 0 1 0)T +C3(5 –6 0 0 1)T C 1,C 2,C 3位任意常数。
六、(本题8分)
222
()f x , x , x =x +4x +x -4x 1x 2-8x 1x 3-4x 2x 3 123123已知二次型
求一个正交变换将二次型化成标准形,并确定其是否正定。
⎛2
3⎛1-2-4⎫⎛-400⎫
⎪ ⎪ 1A = -24-2⎪, Λ= 050⎪, T =
3 -4-21⎪ 005⎪ ⎝⎭⎝⎭ 2 ⎝3解:
1-5
20
4⎫⎪35⎪2⎪-⎪35⎪5⎪⎪3⎭ -
非正定。
七.证明题(每小题5分,共10分)。
1. 若A ,B 都是n 阶方阵,如果AB =0,证明R (A )+R (B ) ≤n 。 证明:由题设,B 的各列属于AX = 0的解空间, 于是 R(B)≤n-R(A), 因此:R (A )+R (B ) ≤n 。
2. 设A 为n 阶非零矩阵,A *是A 的伴随矩阵,A T 是A 的转置矩阵,当A *
=A 时,证明|A |≠0 。 证明: 设A=(aij ), 由题设a ij 不全为零。
2
b ii =∑a ij
j =1n
T
令B=AAT =(bij ), 则B 不是零矩阵,其对角元:
若|A |= 0,则有:AA T =AA*=|A |A = 0, 矛盾。
线性代数试题解答(04)
一、
n
λ=λA ) 1.(F )(
2.(T )
⎛100⎫⎛000⎫
⎪ ⎪A = 010⎪B = 010⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪000001⎝⎭,⎝⎭。 3.(F )。如反例:4.(T )(相似矩阵行列式值相同) 5.(F ) 二、
1.选B 。初等矩阵一定是可逆的。
α2,2.选B 。A 中的三个向量之和为零,显然A 线性相关; B 中的向量组与α1,α3等价, 其秩为3,B 向量组线性无关;C 、D 中第三个向量为前两个向量的线
性组合,C 、D 中的向量组线性相关。
2
2A +A -2E =3E ⇒(A +2E )(A -E ) =3E , A +A -5E =0⇒3.选C 。由
1-1
⇒(A +2E )=(A -E )
3) 。
4.选D 。A 错误,因为m
Ax =b 无解;D 正确,因为R (A ) =n 。
5.选A 。A 正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵P , Q ,使得
PAP -1=diag (λ1, λ2, , λn ) =QBQ -1,因此A , B 都相似于同一个对角矩阵。
三、1. (-1)
n +1
n ! (按第一列展开)
12*3
53A 3A 2. 3;3(=)
3. 相关(因为向量个数大于向量维数)。 α1, α2, α4。因为α3=2α1+α2,
A =|α1 α2 α4|≠0。 4. (1
234)+k (20-2-4)。因为R (A )=3,原方程组的导出组的基
T
T
础解系中只含有一个解向量,取为η2+η3-2η1,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5.a =6(R (A )=2⇒=0) 四、
-1
A -E B =A ⇒B =(A -E ) A 。将A -E 与A 组成一()⇒A +B =AB 1.解法一:
-1
(A -E |A ) (E |(A -E ) A ) 。 个矩阵,用初等行变换求
⎛021121⎫⎛100001⎫
⎪ ⎪ 332342⎪ 332342⎪
⎪ ⎪(A -E |A )= ⎝121122⎭-(r 1-r 3) ⎝121122⎭ ⎛100001⎫⎛100001⎫
⎪ ⎪ 03234-1⎪ 01122-2⎪ r 21121⎪21121⎪2-3r 1, r 3-r 1⎝02-r 3⎝0⎭r ⎭ ⎛100001⎫⎛100001⎫ ⎪ ⎪01122-201122-2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪r -2r -r 00-1-3-2500132-5323⎝⎭⎝⎭ ⎛100001⎫⎛001⎫ ⎪ ⎪
B = -103⎪ 010-103⎪
32-5⎪ r 0132-5⎪2-r 3⎝0⎝⎭。 ⎭。故
-1
A -E B =A ⇒B =(A -E ) A 。 ()⇒A +B =AB 解法二:
⎛021⎫⎛-101⎫⎛001⎫
⎪ ⎪ ⎪-1-1
(A -E ) = 332⎪= -1-1-3⎪B =(A -E ) A = -103⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝121⎭⎝32-6⎭,因此⎝32-5⎭。 ⎛-111-1⎫
⎪1-1-11 ⎪
A =αβT =
1-1-11⎪ ⎪ -111-1⎪⎝⎭,A 2=-4A , 2.解:
A n =(αβT )(αβT ) (αβT ) =α(βT α)(βT α) (βT α) βT =(-4)
n -1
αβT =(-4)
n -1
A 。
3.解法一:由方程组有无穷多解,得R (A ) =R (A |b )
1|A |=1
-1
1a
-12=0a
1
。即a =-1或a =4。
当a =-1时,该方程组的增广矩阵
⎛
10
⎛11-1-1⎫ 01 ⎪
(A |b ) = 1-12-1⎪→
⎪ 00 ⎪ -1-111⎝⎭⎝
⎫
-1⎪⎪⎪-3
0⎪2⎪
⎪00⎪
⎪⎭ 12
于是R (A ) =R (A |b ) =2
⎛-1
基础解系⎝23⎫
T 1⎪
-100()2⎭,原方程组的一个特解,故a =-1时,方程组
T
有无穷多解,其通解为
(-100)
T
⎛-13⎫
+k 1⎪⎝22⎭,
T
14-⎫1⎛114-⎛1 ⎪
(A b |=) 1-1-2⎪→1 0-2-2
⎪ ⎪ -1411600a =4⎝⎭⎝0当时增广矩阵
R (A ) =2
⎫1
⎪⎪0⎪⎪1⎭5,
解法二:首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
⎛⎫
1a -1⎫ 11a -1⎪⎛11a -1⎫⎛1
⎪ ⎪ ⎪
(A |b ) = 1-12-1⎪→ 0-22-a 0⎪→ 0-22-a 0⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ 2⎪2
-1a 1a 0a +11+a a -11⎝⎭⎝⎭ 00(1+a )(4-a ) a 2-1⎪ ⎪
⎝2⎭1
(1+a )(4-a ) =a 2-1=0
由于该方程组有无穷多解,得R (A ) =R (A |b )
即a =-1。求通解的方法与解法一相同。
4.解:首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵
-λ-22⎛1-22⎫
⎪
A = -2-24⎪|A -λE |=-2-2-λ4=-(λ-2) 2(λ+7)
⎪ ⎪
24-2-λ⎝24-2⎭, 因此得到其特征值为λ1=λ2=2,λ3=-7。
再求特征值的特征向量。
解方程组(A -2E ) x =0,得对应于特征值为λ1=λ2=2的两个线性无关的特征向量η1=(-210),η2=(201)。
=0解方程组(A +7E ) x 得对应于特征值为λ3=-7的一个特征向量
T
T
η3=(12-2)。
再将η1=(-2
1
T
)0
T
,η2=(201)正交化为p 1=(-2
T
1
)0
T
,
⎛2
p 2=
⎝54⎫1⎪5⎭。
4⎫
T 1⎪
η=12-2()5⎭,3单位化后组成
21541553
1⎫⎪3⎪2⎪⎪3⎪-2⎪3⎪⎭,其标准形为
T
T
⎛2
T p 2=
⎝5最后将p 1=(-210),
⎛-2 5 5 5 0
的矩阵即为所求的正交变换矩阵⎝
22
f =2y 12+2y 2-7y 3
。
5. 解:(1)由E +A =2E -A =0知-1,2为A 的特征值。
AB +2B =0⇒(A +2E )B =0,故-2为A 的特征值,又B 的秩为2,即特征值-2
有两个线性无关的特征向量,故A 的特征值为-1,2,-2,-2。
(2)能相似对角化。因为对应于特征值-1,2各有一个特征向量,对应于特征值
-2有两个线性无关的特征向量,所以A 有四个线性无关的特征向量,故A 可相似对角化。
(3)A +3E 的特征值为2,5,1,1。故A +3E =10。 五、1.AB -BA 为对称矩阵。 证明:
(AB -BA )T =(AB )T -(BA )T =B T A T
所以AB -BA 为对称矩阵。 2.A T A 为正定矩阵。 证明:由(A A )
T
T
-A T B T =-BA -A (-B )=AB -BA ,
=A T A 知A T A 为对称矩阵。对任意的n 维向量α≠0,由R (A )=n
2
T T
得A α≠0, α(A A )α=A α
≠0,由定义知A T A 是正定矩阵。