弹塑性力学习题解答
塑性:
弹性:
2-16设有任意形状的等厚度薄板,体力可以不计,在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q试证σx=σy=-q 及τxy=0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件,也能满足位移单值条件,因而就是正确的解答。
证明: (1)将应力分量σx=σy=-q,τxy=0和fx=fy=0分别代入平衡微分方程、相容方程
⎧∂σx∂τyx
++fx=0⎪
∂y⎪∂x
(a) ⎨∂σ∂τ
⎪y+xy+fy=0⎪∂x⎩∂y
∂fx∂fy∂2∂2
(2+2)(σx+σy)=-(1+μ()+)=0 (b)
∂x∂y∂x∂y
显然(a)、(b)是满足的
(2)对于微小的三角板A,dx,dy都为正值,斜边上的方向余弦l=cos(n,x),m=cos(n,y),将σx=σy=-q,τxy=0代入平面问题的应力边界条件的表达式
⎧⎪(lσx+mτyx)s=x(s)
(c) ⎨
⎪⎩(mσy+lτxy)s=y(s)
则有σxcos(n,x)=-qcos(n,x) 所以σx=-q,σy=-q。
对于单连体,上述条件就是确定应力的全部条件。 (3)对于多连体,应校核位移单值条件是否满足。
该题为平面应力的情况,首先,将应力分量σx=σy=-q及τxy=0代入物理方程,得形变分量εx=
σycosn(,y)=-qcosn(,y)
(μ-1)(μ-1)
q,εy=q,γxy=0 (d) EE
然后,将(d)的变形分量代入几何方程,得
∂u(μ-1)∂v(μ-1)∂v∂u
=q,=q,+=0 (e) ∂xE∂yE∂x∂y
前而式的积分得到 u=
(μ-1)(μ-1)
qx+f1(y),v=qy+f2(x) (f) EE
其中的f1和f2分别是y和x的待定函数,可以通过几何方程的第三式求出,将式(f)代入(e)的第三式得 -
df1(y)df2(x)
=
dydx
等式左边只是y的函数,而等式右边只是x的函数。因此,只可能两边都等于同一个常数ω,于是有
df(x)df1(y)
=ω,积分以后得f1(y)=-ωy+u0,f2(x)=ωx+v0 =-ω,2
dxdy
代入(f)得位移分量
(μ-1)⎧
u=qx-ωy+u0⎪E ⎨(μ-1)⎪v=qy+ωx+v
E⎩
其中u0,v0,ω为表示刚体位移量的常数,须由约束条件求得。
从式(g)可见,位移是坐标的单值连续函数,满足位移单值条件,因而,应力分量是正确
的解答。
2-17设有矩形截面的悬臂粱,在自由端受有集中荷载F ,体力可以不计。试根据材料力学公式,写出弯应力σx和切应力τxy的表达式,并取挤压应力σy=0,然后证明,这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明,这些表达式是否就表示正确的解答。
解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程为M(x)=-Fx,横
h3
截面对z轴(中性轴)的惯性矩为Iz=,根据材料力学公式,弯应力
12
σx=
M(x)y12F
=-3xy;该截面上的剪力为Fs(x)=-F,剪应力Izh
3Fs(x)4y26Fh2
τxy=(I-2)=-3(-y2);并取挤压应力σy=0
2hhh4
(2)经验证,上述表达式能满足平衡微分方程
⎧∂σx∂τyx
++fx=0⎪∂∂y⎪x
⎨
⎪∂σy+∂τxy+f=0
y⎪∂y∂x⎩
∂fy∂f∂2∂2
也能满足相容方程(2+2)(σx+σy)=-(1+μ()x+)=0
∂x∂y∂x∂y
再考察边界条件:在y=±h/2的主要边界上,应精确满足应力边界条件:
(σy)y=h/2=0,(τyx)y=h/2=0; (σy)y=-h/2=0,(τyx)y=-h/2=0。
能满足
在次要边界x=0上,列出三个积分的应力边界条件:
⎧h/2(σ)dy=0
xx=0
⎪⎰-h/2⎪h/2
⎨⎰-h/2(σx)x=0ydy=0 ⎪h/2⎪(τ)dy=-F⎩⎰-h/2xyx=0
满足应力边界条件。
在次要边界x=l上,列出三个积分的应力边界条件:
h/212F⎧h/2
(σ)dy=xx=l⎪⎰-h/2⎰-h/2h3lydy=0⎪
h/212F2⎪h/2
(σ)ydy=⎨⎰-h/2xx=l⎰-h/2h3ly=-Fl
⎪
h/2⎪h/26Fh22
⎪⎰-h/2(τxy)x=0dy=⎰-h/23(-y)=-F
4h⎩
满足应力边界条件
因此,他们是该问题的解答。
3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为ρ,试用纯三次式的应力函数求解。
解(1)相容条件:
设Φ=Ax+Bxy+Cxy+Dy (a)
不论上述中的系数取何值,纯三次式的应力函数总能满足相容方程。 (2)体力分量fx=o,fy=ρg由应力函数得应力分量的表达式
3
2
2
3
∂2Φ
σx=2-fxx=2Cx+6Dy (b)
∂y∂2Φ
σy=2-fyy=6Ax+2By-ρgy (c)
∂y
τxy
∂2Φ=-=-2Bx-2Cy (d)
∂x∂y
(3)考察边界条件:利用边界条件确定待定系数
先考察主要边界上y=0的边界条件:(σy)y=0=0, (τyx)y=0=0 将应力分量式(b)和式(c)代入,这些边界条件要求
(σy)y=0=6Ax=0,(τxy)y=0=-2Bx=0 得A=0,B=0。
式(b)、(c)、(d)成为
σx=2Cx+6Dy (e)
σy=-ρgy (f) τxy=-2Cy (g)
根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是y=xtanα,在斜面上没有任何面力,即
x=y=0,按照一般的应力边界条件,有
⎧⎪l(σx)y=xtanα+m(τxy)y=xtanα=0
⎨
m(σ)+l(τ)=0⎪yy=xtanαxyy=xtanα⎩
将(e)、(f)、(g)代入得
l(2Cx+6Dxtanα)+m(-2Cxtanα)=0 (h) m(-ρgxtanα)+l(-2Cxtanα)=0 (i)
由图可见,
l=cos(n,x)=cos(
π
2
+α)=-sinα , m=cos(n,y)=cosα
代入式(h)、(i)求解C和D,即得C=
ρg
2
cotα,D=-
ρg
3
cot2α
将这些系数代入式(b)、(c)、(d)得应力分量的表达式
⎧σx=ρgxcotα-2ρgycot2α⎪
⎨σy=-ρgy
⎪
⎩τxy=-ρgycotα
4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如题4-12图所示.试求其应力分量
。
解 (1)应力函数Φ=ρ2(Acos2ϕ+Bsin2ϕ+Cϕ+D),进行求解 由应力函数Φ得应力分量
⎧1∂Φ1∂2Φ
+2=-2(Acos2ϕ+Bsin2ϕ-Cϕ-D)⎪σρ=2
ρ∂ρρ∂ϕ⎪⎪∂2Φ⎪
=2(Acos2ϕ+Bsin2ϕ+Cϕ+D) ⎨σϕ=2
∂ρ⎪⎪∂1∂Φ
()=2Asin2ϕ-2Bcos2ϕ-C⎪τρϕ=-∂ρρ∂ρ⎪⎩
(2)考察边界条件:根据对称性,得
(σϕ)α/2=0 (a) (τρϕ)α/2=q (b) (σϕ)-α/2=0 (c) (τρϕ)-α/2=-q (d)
由式(a)得2Acosα+2Bsinα+Cα+2D=0 (e) 由式(b)得2Asinα-2Bcosα-C=q (f) 由式(c)得2Acosα-2Bsinα-Cα+2D=0 (g) 由式(d)得-2Asinα-2Bcosα-C=-q (h) 式(e)、(f)、(g)、(h)联立求解,得A=将以上系数代入应力分量,得
,B=C=0,D=-cotα
2sinα2
cos2ϕ⎧
σ=-q(+cotα)⎪ρ
sinα
⎪
cos2ϕ⎪
σ=q(-cotα) ⎨ϕ
sinα⎪
sin2ϕ⎪
τ=q⎪ρϕ
sinα⎩
4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q,试求内半径和外半径的改变,并求
圆筒厚度的改变。
解 本题为轴对称问题,只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下,取应力分量表达式(B=0),内外的应力边界条件要求
(τρϕ)ρ=r=0,(τρϕ)ρ=R=0
(σρ)ρ=r=-q,(σρ)ρ=R=0
由表达式可见,前两个关于τρϕ的条件是满足的,而后两个条件要求
⎧A
+2C=-q2⎪⎪r
⎨
⎪A+2C=0⎪⎩R2
qR2r2qr2
由上式解得A=-2,C= (a)
(R-r2)2(R2-r2)
把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量,
⎡qr2R2⎤
uρ=(1-μ)ρ+(1+μ)⎥+Icosϕ+Ksinϕ (b) 22⎢ρ⎦E(R-r)⎣uϕ=Hρ-Isinϕ+Kcosϕ=0 (c)
式(c)中的ρ,ϕ取任何值等式都成立,所以个自由项的系数为零H=I=K=0。 所以,轴对称问题的径向位移式(b)为
⎡qr2R2⎤uρ=(1-μ)ρ+(1+μ)⎥, 22⎢ρ⎦E(R-r)⎣
而圆简是属于平面应变问题,故上式中E→
Eμ
代替,则有 ,μ→2
1-u1-μ
(1+uρ=q
μ
1-μ1-μ
EρR2
(2-1)2
1-μr
(1+
)R2+(1-
μ
)ρ2
μ
此时内径改变为ur=q
1-μ1-μ
ErR2
(2-1)2
1-μr)R2+(1-
)R2+(1-
μ
)r2
qr(1-μ2)R2+r2μ=(2+),
ER-r21-μ
(1+
外径改变为uR=q
μμ
1-μ1-μ
ERR2
(-1)1-μ2r2
)R2
qr(1-μ2)2Rr
=22
ER-r
qr(1-μ2)R-rμ
圆环厚度的改变为uR
-ur=-(+)
ER+r1-μ
5.15
5.1
5.2