数学选修2-1圆锥曲线与方程复习小结

第二章《圆锥曲线

x2y2

【例1】已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是

ab

椭圆外的动点，满足|F1|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足TF20,|TF2|0. 求点T的轨迹C的方程.

【解析】法一：设点T的坐标为(x,y).

当||0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.



当||0且|TF2|0时，由PTTF20，得TF2.又|||PF2|，

所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，||所以有x2y2a2.

综上所述，点T的轨迹C的方程是x2y2a2.

法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当||0且|TF2|0时，由TF20，得TF2. 又|||PF2|，所以T为线段F2Q的中点.

x，则y）y

xc

,2 y.2

1

|F1|a， 2

设点Q的坐标为（x,

因此

x2xc,

①

y2y.

由|F1|2a得(xc)2y24a2. ②, 将①代入②，可得xya. 综上所述，点T的轨迹C的方程是xya.

2

2

2

222

【评析】（1）法一是直译法，法二是相关点法，注意掌握求轨迹方程的常见方法；

（2）注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两个方面的描述.

【变式1】已知A(,0),B是圆F:(x)2y24(F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 【解析】设线段AB的中点为C，如图，则|PA|=|PB|， 故|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|FB|=2>|AF|，

由椭圆定义知点P的轨迹是以A、F为焦点、长轴为2的椭圆，

1212

所以轨迹方程为x2

42

y1. 3

12

2.圆锥曲线的定义及标准方程

【例2】ABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知BC4，且sinCsinBsinA，求顶点A的轨迹方程． 【解析】取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，

因为BC4，所以B(2,0)，c(2,0)．

利用正弦定理，从条件得cb42，即ABAC2．

由双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为23

y2的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为x1(x1)．

3

2

12

【评析】（1）本题用定义法求轨迹方程，最后一个环节“查漏补缺”是画龙点睛之笔，注意x的范围限制； （2）熟练掌握三种圆锥曲线的定义，加强应用意识.一般说来，涉及到曲线上的点与焦点（定点）的距离，很有可能使用定义；

（3）注意圆锥曲线的第二定义，它能很好的将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，达到简化运算的目的.焦半径公式，会推导即可，不必死记硬背.

x2y2

【变式2】（复习参考题B组第2题）如图，从椭圆221(ab0)上一点P向x轴

ab

作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交

点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP

，

|F1A|.

【解析】由题意PF1x轴，把xc代入椭圆方程，解得

b2b2

y.所以，点的坐标是P(c,).

aa

b2b直线OP的斜率k1,直线OP的斜率k2.

acab2b



所以，bc,a. 由题意，得

aca

由已知|F1A|a

c，得ac

所以(1c

解得c,

所以ab

x2y2

因此，椭圆的标准方程为1.

105

3.焦点三角形问题

【例3】已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1,F2为左右焦点， P是双曲线上一点，且F1PF260

, SPF1F2，求双曲线的标准方程.

x2y2

【解析】设双曲线方程为221a0,b0

ab

e2,c2a

令|PF1|r1,|PF2|r2，在PF1F2中，由余弦定理，

4c2r12r222r1r2cosF1PF2r12r22r1r2(r1r2)2+r1r2 即

4c24a2+r1r2r1r212a2

1

SPF1F2r1r2sinPF1F222

x2y2

所以，a4,c16,b12，双曲线标准方程为1.

412

2

2

2

【评析】（1）PF1F2由两焦点和曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 焦点三角形问题的主要类型有：周长、面积、角度等，通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.

11r1r2sinF1PF2和SPF1F2=2c|yP|； 22

（3）涉及到焦点、顶点、曲线上点（顶点以外）等问题，抓住几个特征三角形，举一反三.这是一个考察重点，容易出现离心率的值（或范围）的运算.

（2）焦点三角形的面积主要有两种求法：SPF1F2

【变式3】（复习参考题B组第1题）已知点P是椭圆16x25y1600上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2

的斜率为PF1F2的面积.

2

2

x2y2

1，所以右焦点F26,0 【解析】椭圆即

10064

2

直线PF2

为yx6，代入椭圆方程，消去x

得19y7680

因为y

0，所以yP

的纵坐标yP，

所以SPF1F2

1

2cyP2

4.圆锥曲线的简单性质

【例4】已知以原点O

为中心的双曲线的一条准线方程为x

（Ⅰ）求该双曲线的方程；

，离心率e 5

（Ⅱ）如图，点A

的坐标为(，B

是圆x(y1上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标.

22

【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为

x2y2a2c

1(a0,b

0)x



，设，由准线方程为得，由22

caby2c2

e



解得a1,c 从而b2，该双曲线的方程为x1.

4a

（Ⅱ）设点D

的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，|MA||MD|2a2 所以|MA||MB|2|MB||MD|≥2|BD| ，B

是圆x(y1上的点，

其圆心为C，半径为1

，故|BD|≥|CD|11

从而|MA||MB|≥2|BD|1

当M,B在线段CD上时取等号，此时|MA|

|MB|1

2

2

直线CD

的方程为yxM在双曲线右支上，故x0

22

4xy4

y由方程组

解得x yx所以M

点的坐标为(

,.

33

【评析】（1）熟练掌握圆锥曲线的简单性质，掌握研究性质过程中的数形结合思想；

（2）提高运算能力，是圆锥曲线学习的另外一个目的，注意自己梳理汇总常见算法，包括联立化简、复杂根式化简等.

x2y2

【变式4】设椭圆C：221(ab0)的左焦点为F，上

ab

垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x 且AP

顶点为A，过点A作8

PQ 5

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：

xy50相切，求椭圆C的方程.

解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） A（0，b）知FA

(c,b),AQ(x0,b)

2

b2

,cx0b0,x0c88b25

设P(x1,y1),由APPQ，得x1,y1b

13c135

8b225

()(b)2

因为点P在椭圆上，所以13c1321 2

ab

1

整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，2e23e20,故椭圆的离心率e＝

2

b23

⑵由⑴知2b3ac，得a；

c2

2

又

c11

，得ca， a22

13

于是F（－a，0）， Q(a,0)

22△AQF的外接圆圆心为（

11

a，0），半径r=|FQ|= a

22

1

a5|所以a，解得a =2，∴c =1，b =3， 2

|

x2y2

1 所求椭圆方程为43

5.直线与圆锥曲线的位置关系

【例5 】 经过点P0,2且与双曲线4xy1仅交于一点的直线有（ ）

2

2

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

【解析】（代数方法）直线方程设为ykx2，代入双曲线方程得(4k)x4kx50 当4k0时，k2，此时直线与双曲线仅有一个交点； 当k2时，16k204k

2

22

2



2

804k

2



0，所以k

综上，k有四个值，即由4条直线符合题意.

（几何方法）由图形观察知，当直线与渐近线平行或与双曲线相切时，直线与双曲线有1个焦点，故符合的直线有4条. 【评析】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；

（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）；

（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论；

（4）若P在双曲线内部（含焦点的区域）时，过P只能作两条直线与双曲线仅有一个交点，它们分别与渐近线平行；

若P在双曲线上时，过P能作3条直线与双曲线仅有一个交点，它们是1条切线，2条与渐近线平行；

若P在双曲线外部（不含焦点的区域），且不在渐近线上时，过P能作4条直线与双曲线仅有一个交点，它们是2条切线，2条与渐近线平行；

若P在双曲线的渐近线上且不为原点时，过P能作2条直线与双曲线仅有一个交点，它们是1条切线，1条与渐近线平行；

若P为原点时，不能作与双曲线仅有一个交点的直线.

【变式5】设抛物线y8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）

A．[－

D．[－4，4]

2

11

，] B．[－2，2] C．[－1，1] 22

2

【解析】易知抛物线y8x的准线x2与x轴的交点为Q (-2 , 0)， 于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线l的方程为ykx2，

y28x,

k2x2(4k28)x4k20.联立

yk(x2),

当k0时，直线与抛物线有交点，

2

当k0时，4k8



2

16k40，1k1,且k0

综上，1k1.故选C. 6.中点弦问题

【例6】已知双曲线方程2xy2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？

2

2

这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【解析】(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P则有关系x1x24,y1y22．又1(x1,y1),P2(x2,y2)，据对称性知x1x2，所以

y1y2

是中点弦P1P2所在直线的斜率，由P1、P2在双曲线上，则有x1x2

2222

关系2x1y12,2x2y22．两式相减是：

2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0

∴24(x1x2)2(y1y2)0 ∴

y1y2

4 x1x2

所求中点弦所在直线为y14(x2)，即4xy70． （法二）当直线斜率不存在时，A不是弦的中点；

设直线斜率为k，则直线方程为y1kx2，代入曲线方程，得

2kx

2

2

2k(2k1)x4k24k30，（*）

设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则x1x2

2k2k1k22

4

所以，k4.代入（*）式，知0，

所以，所求中点弦所在直线为y14(x2)，即4xy70．

(2)可假定直线l存在，而求出l的方程为y12(x1)，即2xy10

2x2y22

方法同(1)，联立方程，消去y,得2x24x30

2xy10

然而方程的判别式(4)242380，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．

【评析】（1）通过将弦端点的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁.

（2）实际上，若给的定点P在椭圆内或抛物线内、双曲线内（含焦点的区域），则0，即一定存在以P为中点的弦；若定点P在双曲线外，则有可能不存在以P为中点的弦. 【变式6】在抛物线y4x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围． 【解析】解法一：设B、C关于直线ykx3对称，直线BC方程为xkym，代入y24x得，y24ky4m0，设B(x1,y1)、C(x2,y2)，BC中点M(x0,y0)，则y0∵点M(x0,y0)在直线l上，∴2kk(2k2m)3

2k32k3k32k3(k1)(k2k3)2∴m，代入16k16m0，得0，即0

kkk

2

y1y2

2k,x02k2m 2

解得1k0

2y14x1

解法二：设B(x1,y1)，C(x2,y2)关于l对称，中点M(x0,y0)，则

2y24x2

相减得：(y2y2)(y1y2)4(x1x2) ∴2y0()4,y02k，则x0

1

k

2k3

k

2

∵M(x0,y0)在抛物线y24x内部，∴y04x0

k32k3(k1)(k2k3)化简而得0，即0，解得1k0．

kk

7.求范围问题

x2y2

【例7】已知椭圆C1:221(a0,b0)与直线xy10相交于两点A、B．当

abe椭圆的离心率O

，且OAOB0（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长2

的取值范围．

b2x2a2y2a2b2

222222xy10(ab)x2axa(1b)0 【解析】由，得

2222

2ab(ab1)0，所以a2b21 因为

2a2a2(1b2)x1x22,x1x22

2

abab2 此时



xxy1y202xx(x1x2)10

由OAOB0，得12，∴12 a2

b2

2222

2a1 即ab2ab0，故

2

c2a2b2

e2

aa2，得b2a2a2e2 由

2

2a21

∴

1

1e2

53ea2

2得422a由所以椭圆长轴长的取值范围为

【评析】求范围和最值的方法：

几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题

代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．

x2y21

【变式7】已知P是椭圆C：1的动点，点A(,0)关于原点O的对称点是B，

422

3

，求点P的横坐标的取值范围. 211

【解析】由A(,0)，得B(,0)，设P(x,y)

22

若|PB|的最小值为

1212x2172

|PB|(x)y(x)2(x1)2

22224，

2

|PB|

3179(x1)22，244，解得x0或x2

又2x2x2或0x2 8.定点、定值问题

x2y2

【例8】已知点P21（b为正常数）1(x0,y0)为双曲线2

8bb

上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于P2.

(1) 求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;

(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点

Q（x1,y1）(y10),直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.

求证:以MN为直径的圆过两定点.

【解析】 （1）由已知得F,则直线F2A的方程为:y（，0），（Ab，y0）23b 令x0得y9y0,即P2(0,9y0),

8

33y0

(x3b), b

x0x x02xx02y024x2y22

1, 设P,则,即（x，y）y代入221得:22

y9y8bb8b25by00y05y052

x2y2

1.

即P的轨迹E的方程为2

2b25b2

x2y2

(2)在2, （，0），D，0）1中令y0得x22b2,

则不妨设B2

2b25b

于是直线QB的方程为

:y

x),

直线QD的方程为

:y

x),

（0则M

N（0,

2

（y则以MN为直径的圆的方程为

: x

y

0,

2b2y12x2y22222

Q（x,y）1令y0得:x2,而在上,则x2by1, 111222

x12b2b25b25

2

于是x5b,即以MN为直径的圆过两定点(5b,0),(5b,0).

【评析】定点与定值问题的处理一般有两种方法：

（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）． 【变式8】已知，椭圆C以过点A（1，（1）求椭圆C的方程；

（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

3

），两个焦点为（－1，0）（1，0）. 2

x2y2

1 （Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为

1b24b2

因为A在椭圆上，所以

19322

，解得＝3，＝（舍去）。 bb1

1b24b24

x2y21． 所以椭圆方程为 43x2y23

1得 （Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得yk(x1)，代入432

3

（3+4k2）x2+4k(32k)x4(k)2120

2

设Ｅ（xE，yE），Ｆ（xF，yF）．因为点Ａ（1，

3

）在椭圆上， 2

3

4(k)212

所以xE， 2

34k3

yEkxEk.

2

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得

3

4(k)212

， xF2

34k

3

yFkxFk.

2

所以直线EF的斜率kEF

yFyEk(xFxE)2k1

.

xFxExFxE2

即直线EF的斜率为定值，其值为9.解析几何中的向量方法

1

. 2

x2

【例9】 设双曲线C：y21的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双

2

曲线C交于不同的两点P、Q.

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1A21，求点T的坐标； （2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设若[2,1],求||（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围. 【解析】（1）由题，得A1(2,0),A2(2,0)，设P(x0,y0),Q(x0,y0) 则

，

A1(x02,y0),A2(x02,y0).

2  y 2  3 A1 P  A2 Q  1  x 2  y 2  2  1, x 0. 即 0 0 0

由 ①

2

x02

y01. ② 又P(x0,y0)在双曲线上，则2

联立①、②，解得 x02 由题意， x00, x02.

∴点T的坐标为（2，0）

（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y） 由A1、P、M三点共线，得

(x02)yy0(x2) ③

由A2、Q、M三点共线，得

4 (x02)yy0(x2) ○

联立③、④，解得 x0

2

,y0x2y

. x

2()2

∵P(x0,y0)在双曲线上，∴x(y)21.

2x

x2

∴轨迹E的方程为y21 (x0,y0).

2

（3）容易验证直线l的斜率不为0.

x2

故可设直线l的方程为 xky1，代入y21中，得

2(k22)y24ky20.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),y10且y20 则由根与系数的关系，得y1y22k ⑤

k22

y1y2

2

. ⑥ 2

k2

FA   FB，

∵

∴有y1，且0.

y2

将⑤式平方除以⑥式，得

y1y24k214k2 2222y2y2k2k2由[2,1]

511

220 2

14k222

20k20k2

277.k2

∵TA(x12,y1),TB(x22,y2),TATB(x1x24,y1y2).

2k4(k21)

,x1x24k(y1y2)22. 又y1y22

k2k2

故|TATB|(x1x24)(y1y2)

222

15(k21)24k216(k22)228(k22)82 22222

(k2)(k2)(k2)

16

令t

288

222

k2(k2)

∴

12711712

∴，即 .0kt[,]. 22716k22162k2

7 17

| TA  TB | 2  f ( t )  8t 2  28t  16  8( t ) 2 .

4 2

而 t[

71169

,]， ∴f(t)[4,]. 16232

132

].8

∴|TATB|[2,

【评析】向量是代数与几何的桥梁，在本章中承担着重要角色，主要注意掌握以下内容：

（1）向量的坐标运算：加、减、数乘、数量积； （2）向量共线的充要条件；

（3）向量垂直的充要条件.用向量处理垂直问题，有着相当明显的优越性，不用讨论斜率是否存在，而且一般不会出现分式运算.

【变式9】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围；



（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OPOQ

与MN 共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C（x, y）,

∵ ACBC＋AB2AB2,

∴ ACBC2,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ a c=1. ∴ b2a2c21. ∴ W: xy21 (y0).

2

(2) 设直线l

的方程为ykx

x(kx21.

2

2

2

整理，得(1k2)x210. ①

2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 8k24(1k2)4k22

0，解得k

k2

（,∴ 满足条件的k的取值范围为

k

) 22



（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OPOQ＝（x1+x2，y1+y2),

由①得x1x2. ②

又y1y2k(x1x2)③

因为M 0)，N(0, 1)，

所以MN( 1). 



所以OPOQ与MN共线等价于x1x2y1y2).



将②③代入上式，解得k

所以不存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线.

【总结提升】

1.各类圆锥曲线的焦半径可系统归纳如下：

设P(x0,y0)设圆锥曲线C上任意一点，F是其焦点，l是与F相应的准线.

x2y2

1当C为椭圆○（改为“；”）若F1(ab0)时，若F是左焦点，那么|PF|=aex0，

a2b2

是右焦点，那么那么|PF|=aex0；

x2y2

② 当C为双曲线221(a0,b0)时，若F是左焦点，那么|PF|=|aex0|;

ab

若F是右焦点，那么那么|PF|= |aex0|；

p. 2

特别地：若AB是圆锥曲线的焦点弦，且A（x1,y1），B（x2,y2），那么：

③当C为抛物线y22px(p0)时，|PF|=x0

x2y2

④当AB是椭圆221(ab0)的左焦点弦时，|AB|2ae(x1x2)；

abx2y2

当设AB是椭圆221(ab0)的右焦点弦时，|AB|2ae(x1x2).

ab

2b2

当AB为通径时,|AB|.

a

x2y2

⑤当AB是双曲线221(a0,b0)的左焦点弦时，|AB||2ae(x1x2)|；

abx2y2

当设AB是双曲线221(a0,b0)的右焦点弦时，|AB||2ae(x1x2)|；

ab

2b2

当AB为通径时|AB|；

a

⑥设AB是抛物线y22px的过焦点的弦，那么|AB|=x1x2p.

2.设而不求的应用

“设而不求”是解决直线和圆锥曲线位置关系的主要手段，代数结构恒等变形与转化能力，驾驭方程组的基本能力.

设直线l:axbyc0，圆锥曲线C：f(x,y)0，

联立

axbyc0

，消去y，总可以整理得到关于x的一元二次方程：

f(x,y)0

mx2nxt0 其判别式n24mt

（1）位置关系的判定

l与C相离0；l与C相交0；l与C相切0 （2）弦长问题

设l与C相交于 A（x1,y1），B（x2,y2），直线l的斜率为k，则

弦长|AB|=k2|x1x2|=k2(x1x2)24x1x2

这里必须注意隐藏了条件“0”及韦达定理 （3）中点问题

设l:ykxb与C相交于A（x1,y1），B（x2,y2），线段AB的中点为C(x0,y0)

x1x2

x0

2那么 y1y2(kx1b)(kx2b)1

y0k(x1x2)bkx0b

222

（4）解析几何问题中的向量结构注意两个应用方向,一是利用向量的几何性（中点、定

比分点等），二是将想了结构坐标化（即将向量方程转化为代数方程组、将向量不等式转化为代数不等式组），进而用设而不求方法求解.纵观近年高考试题，以后者为主. 3.解析几何问题中常见的数学方法.

（1）坐标法；（2）定义法；（3）配方法；（4）判别式法； （5）消元法；（6）换元法；（7）待定系数法；（8）点差法.

【自主评价】

【自主评价1】

一、选择题(共5个小题，每小题只有一个正确答案) 1. 已知是三角形的一个内角，且sincos

122

，则方程xsinycos1表示2

（ ）

（A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在y轴上的椭圆 （C）焦点在x 轴上的双曲线 （D）焦点在y 轴上的双曲线 【解析】B. 由sincos

111

,cos知sin. 442

5 3

2.设a,bR,a22b26,则ab的最小值是（ ）

A．22

B．

C．－3

D．

7 2

a2b2acos

1【解析】a2b663bsin

2

2

(为参数)

ab6cossin3sin()，其中tan2，故选C.

x2

3.已知椭圆C:y21的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若

2



FA3FB,则|AF|=( )

D. 3



【解析】过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,

故|BM|

22

|AF|故选A.

.又由椭圆的第二定义,

得|BF|

2333

x2y2

4.设双曲线221的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心

ab

率为( ).

A.

5

B. 5 C. D.5

24

b

x2y2byx

【解析】双曲线221的一条渐近线为yx,由方程组a,消去y,得

aab2yx1

x2

bb

x10有唯一解,所以△=()240, aa

cb

2,故选D. 所以

2,e

aaa

5.设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

2

A.y4x B.y8x C. y4x D. y8x

【解析】抛物线yax(a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y2(x),它与y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为程为y8x,故选B.

2222

2

a

4a4

a2

1aa

||||4,解得a8.所以抛物线方242

2

二、填空题(共3个小题)

6.已知直线y(a1)x1与曲线yax恰有一个公共点，则实数a的取值集合为 . 【解析】联立方程为

y(a1)x1

2

yax

2

x1

y0

(1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解 (2) 当a≠0时，消去x得① 若② 若得1＋

a12

yy10 a

x1a1

＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解 ay1

a1

≠0，即a≠－1，令△＝0 a

44(a1)

0，解得a＝－

5a

此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，

综上所述知，直线与曲线只有一个公共点时实数a的取值集合为{0,1,．

4

5

x2y2

7.已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在

ab

直线l:x2y0上，则椭圆的离心率为 . 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点为M(x0,y0),

x2y2x1y1

代入椭圆方程得221，221,

abab

y2y1b2x2x1

两式相减,得xxa2yy.因为AB的中点为M(x,y)在直线上，

00l2121

2222

x02y00



，

y2y1x1x22x0

kAB12

xx1y1y22y0

，而2

b212

2ea22

22

xy1的两个焦点F1,F2的距离之和为定值，且cosF1PF28.已知动点P与双曲线23

的最小值为

1

．则动点P的轨迹方程为 . 9

【解析】由条件知，动点P的轨迹为椭圆，其中半焦距为c，

22xy

点P在y轴上时F1PF2最大，由余弦定理得a3，动点P的轨迹方程1．

94

三、解答题(共2个小题)

9.抛物线x24y的焦点为F，过点（0，1）交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻边作平行四边形FARB.求顶点R的轨迹方程.

【解析】设直线AB：ykx1，A（x1,y1)，B（x2,y2），R(x,y)，由已知F（0，1） ykx1 可得 x24kx40xx4k 联立x2124y



又AB和RF是平行四边形FARB的对角线，故x1x2x,y1y2y1 而y1y2k(x1x2)24k22 4k2

x y14k22x4(y3)



由于直线和抛物线交于不同两点，故16k216k0k1或k1 由此得x4或x4

顶点R的轨迹方程为x24(y3)（|x|4）.

10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围．

【解析】(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．

2

∴上述条件等价于y1＝y2x12x2(x1＋x2)(x1－x2)＝0

2

∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0

即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．

(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m

所以x1、x2满足方程：2x＋x－m＝0

且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝y0＝－x0＋m＝由N∈l得：于是b＝

516

116

12

11614

14

2

12

12

1 32

x1x21

 28

＋m

1

4

＋m＝－＋b

516

＋m＞－

19＝ 3232

即l在y轴上截距的取值范围是(

9

，＋). 32

【自主评价2】

椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x

轴垂直时，（1）求椭圆的方程；

2

CDAB

（2）求过点O、F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；



（3）求F2AF2B的最大值和最小值．

【解析】（1）由抛物线方程，得焦点F1(1,0)．

x2y2

设椭圆的方程：221(ab0)．

ab

y24x

解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．

x1

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴

|FC||CD|1

，

∴A(1, ． 

|F1A|22|F1A||AB|

11

1又a2b2c21，22a2b

11

因此，221，解得b21并推得a22．

b12b

∴

x2

y21 ． 故椭圆的方程为2

（2

）a

b1,c1，

圆过点O、F1，

1

圆心M在直线x上．

2

1

设M(,t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

2

∴r()(2)

123.2

由OM

r,

3

,解得t 2

19



所求圆的方程为(x)2(y2.

24

（3） 由点F1(1,0),F2(1,0) ①若AB垂直于x轴，则A(1,

22

),B(1,)，

22

 F2A(2,F2B(2,，

22

17

F2AF2B4

22

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为

yk(x1)

yk(x1)2222由2 得 (12k)x4kx2(k1)0 2

x2y208k280，方程有两个不等的实数根．

设A(x1,y1)，B(x2,y2).

4k22(k21)

x1x2, x1x2 22

12k12k

F2(x11,y1),F2(x21,y2)

F2AF2B(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x11)(x21)

(1k)x1x2(k1)(x1x2)1k

2

2

2

2(k21)4k22

(k1)()1k2 (1k)22

12k12k

2

7k2179 =

12k222(12k2)

k20,12k21,0

1

1

12k2

77

F2AF2B[1,]，所以当直线l垂于x轴时，F2F2取得最大值

22

当直线l与x轴重合时，F2AF2B取得最小值1

【课后反思】