例析经济生活中高等数学知识的运用

第23卷 第1期 郑州铁路职业技术学院学报 V o. l 23 N o . 1 2011年3月 Journa l o f Zhengzhou R a il way V ocati ona l&T echn ical Co llege M ar . 2011

例析经济生活中高等数学知识的运用

聂天霞

(郑州铁路职业技术学院 河南郑州 450052)

摘 要:本文例析了概率统计、微分方程、高等代数等高等数学知识在经济生活中的应用。具体例举了概

率统计对投资的应用、微分方程研究经济问题的数学建模以及活用行列式、矩阵研究发展与环境问题。

关键词:高等数学; 经济; 应用

随着现代科学的发展, 数学在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一, 马克思曾说过: 一门学科只有成功地应用了数学时, 才真正达到了完善的地步 。下面通过具体的例子来说明概率统计、微分方程、高等代数等高等数学知识在经济生活中的应用。

一、概率统计对投资的应用

概率论研究随机现象的统计规律性。数理统计研究样本数据的搜集、整理、分析和推断的各种方法, 这其中又包含两方面的内容:试验设计与统计推断。它在自然科学、工程技术、社会科学、军事和工农业生产中, 尤其是在社会经济活动中有着广泛的应用。

在投资环境日趋复杂的现代社会, 几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的, 一般地说, 投资者都讨厌风险并力求回避风险。风险是某一行动的结果具有多样性。风险是客观存在的, 它广泛影响着企业的财务和经营活动, 因此, 正视风险并将风险程度予以量化, 成为企业财务管理中的一项重要工作。衡量风险大小需要使用概率和统计方法, 下面举例介绍:

实例1:某公司拟对外投资, 现有A 公司、B 公司和C 公司有关股票收益的资料如下表:

概率分布与预期收益率分布表

经济情况繁荣

事件发生

的概率P i

0. 2

A 公司收益率X i

50

B 公司C 公司收益率X i 收益率X i

80

60

事件发生的概率P i

0. 60. 2

A 公司收益率X i

20-10

B 公司C 公司收益率X i 收益率X i

20-40

25-10

经济情况一般衰退

试分析对各公司投资风险情况:

1. 概率分布

概率是指随机事件发生的可能性大小的数量指标, 事件A 的概率记为P(A) 。它是介于0与1之间的一个数, 并且所有随机事件发生可能性的概率之和必须等于1。例如, 一个企业有80%盈利的机会, 有20%亏损的机会, 如果把所有可能的事件或结果, 概率都列示出来, 便构成了概率分布。

2. 期望值

期望值是一个概率分布中的所有可能结果以其概率为权数进行加权平均的加权平均数, 反映事件的集中趋势。其计算公式为:

n

E = P i X i

i=1

式中:X i 第i 种结果出现的预期收益(或预期

收益率);

P i 第i 种结果出现的概率; n 所有可能结果的数目。下面, 根据上述期望值公式计算A 、B 、C 公司的预期收益率:

3

E A = P i X i =50% 0. 2+20% 0. 6+(-10%) i=1

0. 2=20%

收稿日期:2009-11-10

作者简介:聂天霞(1962-), 女, 河南郑州人, 郑州铁路职业技术学院副教授。

3

E B = P i X i =80% 0. 2+20% 0. 6+(-40%) i=1

0. 2=20%

E C = P i X i =60% 0. 2+25% 0. 6+(-10%) i=1

0. 2=25%

在预期收益率相同的情况下, 投资的风险程度同收益的概率分布有密切的联系。A 、B 公司的预期收益率都是20%, 但相比之下可以发现B 公司的预期收益率非常分散, 而A 公司的预期收益率较集中, 可认为A 公司的投资风险要比B 公司小, 由此得如下结论:即预期收益的概率分布越狭窄, 其投资风险越小, 反之亦然。为了清晰地观察概率的离散程度, 可根据概率分布表绘制概率分布图进行分析。概率分布有两种类型:一种是不连续的概率分布, 另一种是连续的概率分布。 A =

B = C =

3

假定经济情况只有繁荣、一般、衰退三种, 概率个数为3。但是在实践中, 经济情况在极度繁荣和极度衰退之间可能发生无数种可能的结果, 有着许多个概率, 而不是只有繁荣、一般、衰退三种可能性。这样可绘制连续的概率分布。

3. 标准离差

标准离差是各种可能的收益(或收益率) 偏离期望收益(或收益率) 的综合差异, 是反映离差程度的一种度量。其计算公式为:

=

(X i -E) P i 1

E 期望报酬值。

在期望值相等的情况下, 标准离差越大, 意味着风险越大。

2

式中: 期望报酬率的标准离差;

(50%-20%) (80%-20%) (60%-25%) 0. 18790. 37950. 2213

根据这种测量方法, 在期望收益率均为20%的条件下, A 公司股票的风险程度小于B 公司股票的风险程度, 应选择A 股票。4. 标准离差率

标准离差是反映随机变量离散程度的一个指标, 但它是一个绝对值, 而不是一个相对值, 只能用来比较预期收益率相同的投资项目的风险程度, 而不能用来比较预期收益率不相同的投资项, 还必须求得标准离差和预期收益的比值, 即标准离差率。

标准离差率是标准离差同期望值的比值。它用来比较期望报酬率不同的各项投资的风险程度。标

准离差率的计算公式为:

V =

E

式中:V 标准离差率;

标准离差; E 期望报酬率。V A =V B =V C =

=0. 948520%=1. 897520%=0. 885225%

二、微分方程研究经济问题的数学建模微分方程是一门独立的数学学科, 有完整的数学体系, 微分方程是数学联系实际, 并应用于实际的重要桥梁, 是各个学科进行科学研究的强有力的工具。微分方程在物理学、经济学和管理科学等实际

问题中具有广泛的应用, 如果说 数学是一门理性思维的科学, 是研究、了解和知晓现实世界的工具 , 那么微分方程就是显示数学这种威力和价值的一种体现, 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程的问题。例如物体的冷却、人口的增长、琴弦的震动、电磁波的传播、人才的分配、价格的调整等, 都可以归结为微分方程的问题, 从中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。

实例2:价格调整问题

某商品在时刻t 的售价为P , 社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数Q (P), S(P), 则在时刻t 的价格P(t) 对于时间t 的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q (P) -S (P ) 成正比, 即有微分方程

dp

=k[Q(p) -S(p) ] (k>0) dt

在Q(P) 和S(P) 确定情况下, 可以解出价格P (t) 与时间t 的函数关系, 这就是商品的价格调整模型。

某种商品的价格变化主要服从市场供求关系, 一般情况下, 商品供给量S 是价格P 的单调递增函

这说明, C 项目的风险最小, A 项目的风险其次, B 项目的风险程度最大。

数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 该商品的供给函数与需求函数分别为

s(p) =a+bp , Q (p) = - p 其中a , b , , 均为常数, 且b>0, >0。

, (1)

不同行不同列的三个元素之 和 中的最小者, 从行列式定义知道, 这样的三个元素之和共有3! (项), 如下:

(1) 19+20+17=56 (2) 19+15+21=55

(3) 24+17+17=58 (4) 16+17+21=54(5) 24+15+19=58 (6) 15+20+19=55由上面分析可见报价数的范围是从最小值54万元到最大值58万元。由(4) 得到最小报价总数54万元, 因此, 该城市应选定(4) 即

公司 公司 公司

污水处理厂C 污水处理厂A 污水处理厂B

=6

当供给量与需求量相等时, 由式(1) 可得供求平衡时的价格, p e =

并称P e 为均衡价格。

一般情况下, 当某种商品供不应求, 即S

=k[Q(p) -S(p) ]dt

其中k

- t

实例4:发展与环境问题已成为21世纪各国政府

(2)

关注和重点, 为了定量分析污染与工业发展水平的关

系, 有人提出了以下的工业增长模型:设x 0是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位), y 0是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位) 。若干年后(例如5年后) 的污染水平和工业发展水平分别为x 1和y 1

它们之间的关系为

x 1=3x 0+y 0y 1=2x 0+2y 0

对于这个问题, 将(1) 写成矩阵形式, 就是x 1

3 x 0

=

2

y 0y 1

x 1x 03 记a 1= a 0= A=

2 y 1y 0即

(2) 式可写成a 1

=A a 0设当前的a 0=(1, 1) 则a 1=

x 1y 1

=

T

= [p e -P]dt

其中常数 =(b+ ) k>0, 方程(2) 的通解为p(t) =p e +ce

假设初始价格P(0) =P 0, 代入上式, 得C=P 0-P e 于是上述价格的调整模型的解为

p(t) =p e +(p 0-p e ) e 由于 >0知, t + 时, p(t) P e 。说明随着时间不断推延, 实际价格p(t) 将逐渐趋近均衡价格P e 。

三、活用行列式、矩阵研究发展与环境问题实例3:某市打算在第 十一 五年规划对三座污水处理厂进行技术改造, 以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包, 见下列表格(以1万元人民币为单位), 在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造, 因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司, 为了使报价的总和最小, 应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂?

报价数目(万元)

污水处理厂A

公司 公司 公司

191719

污水处理厂B

242021

污水处理厂C

161517

- t

(1)

试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。

(2)

3 2 ==由此可预测若干年后的污染水平与工业发展水平为原来的4倍。

数学来源于生活, 又应用于生活中, 经济活动的实践决定了经济理论的研究也离不开数学, 并且在经济学中运用数学的程度与数学本身的发展密切相关。尽管数学的概念和结论极为抽象, 但是它们都是从现实中来, 并且能在其他学科中、在社会生活实践中得以广泛应用。

[责任编辑:赵 伟]

设这个问题的效率矩阵为

19 24 16D=17 20 15

19 21 17

根据题目要求, 相当于从效率矩阵中选取来自