华东理工大学概率论答案-21,22

第二十一次作业

一、填空题

1. 将合适的数字填入空格，其中：（1）置信水平α，（2）置信水平1-α，（3）精确度，（4）准确度。

置信区间的可信度由 （2） 控制，而样本容量可用来调整置信区间的 （3） 。

2．有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的重量（单位：g ）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布N (μ, σ2) ，则总体均值μ的置信水平为95%的置信区间为σ的置信水平为95%的置信区间为 [4.582,9.599] 。

二、选择题

1．设从总体ξ~N (μ1, σ12) 和总体η~N (μ2, σ22) 中分别抽取容量为9，16的独22立样本，以x ，y ，S x ，S y 分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差，

若已知σ1=σ2，则μ1-μ2的95%的置信区间为（ ） A. (--u 0. 975

B. (--u 0. 975σ129+2σ216，+-u 0. 975σ129+2σ216) 22S x 2S y S x 2S y ++) ，+-u 0. 975916916

29S x 2+16S y t 0. 975(23) S w t 0. 975(23) S w ) ，其中S w =C. (--，+- 5523

29S x 2+16S y t 0. 975(25) S w t 0. 975(25) S w ) ，其中S w =D. (--，+- 5525

2．关于“参数μ的95%的置信区间为(a , b ) ”的正确理解的是（ ）

A. 至少有95%的把握认为(a , b ) 包含参数真值μ；

B. 有95%的把握认为(a , b ) 包含参数真值μ；

C. 有95%的把握认为参数真值μ落在区间(a , b ) 内；

D. 若进行100次抽样，必有95次参数真值μ落在区间(a , b ) 内。

三、计算题

1．设某地旅游者日消费额服从正态分布N (μ, σ2) ，且标准差σ=12，今对该地

旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2（元），问至少需要调查多少人？

解：由于总体为正态分布, 且标准差σ(=12) 已知, 又由1-α=0.95, 即α=0.05,

查表可得U 1-α

2=U 0.975=1.96，

误差小于2

即U α

21-138.2976， 故至少要调查139人。

2．设某种清漆的干燥时间服从正态分布N (μ, σ2) 。现有该清漆的9个样本，干燥时间分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。试求该种清漆平均干燥时间的置信度为95%的置信区间。

解：据题意，要求μ的置信度为95%的置信区间，且方差未知。

2由样本得：n =9，=6，s n -1=0. 33，查t 分布表得t 0. 975(8) =2. 06

则μ的置信度为95%的置信上下限为

±t 0. 975(8) ⋅

s n -1n =6±2. 06⨯0. 33=6±0. 44 即该种清漆平均干燥时间的置信度为95%的置信区间为(5. 56, 6. 44) 。

3．某厂生产一批圆形药片，已知药片直径X ~N (μ, σ2) ，随机抽取16粒药片，测得样本均值x =4.87mm ，样本标准差s =0.32mm ，求总体的方差σ2在置信水平为0.95下的置信区间。

解：由样本值得s =0.32, n =16，α=0. 05，自由度为n -1=15。

22查表得χ0) =27. 488。所以， . 025(15) =6. 262，χ0. 975(15

15⨯0. 322

==0. 0559, 227. 488χ0. 975(15)

15⨯0. 322

==0. 2453. 26. 262χ0(15) . 025(n -1) S 2(n -1) S 2

]。 , 0. 2453即σ2的置信水平为0.95的置信区间为：[0. 0559

第二十二次作业

一．填空题：

1．假设检验的基本思想是基于

2. 选择原假设最重要的准则是_________含有等号_____________

3. 假设检验可能犯的错误是___和___4. 假设检验的基本步骤是_ __ __

二. 选择题：

1. 假设检验中分别用H 0和H 1表示原假设和备择假设，则犯第一类错误的概率是指 ( C ) 。

A. P {接受H 0|H 0为真} B. P {接受H 0|H 0不真}

C. P {拒绝H 0|H 0为真} D. P {拒绝H 0|H 0不真}

2. 一个显著性的假设检验问题，检验的结果是拒绝原假设还是接受原假设, 与之有关的选项中, 正确的( D )

A. 与显著性水平有关 B. 与检验统计量的分布有关

C. 与样本数据有关 D. 与上述三项全有关

3. 一个显著性水平为ɑ的假设检验问题，如果原假设H 0被拒绝, 则( B )

A. 原假设H 0一定不真 B. 这个检验犯第一类错误的概率不超过ɑ

C. 这个检验也可能会犯第二类错误 D. 这个检验两类错误都可能会犯

4. 显著性水平为ɑ的假设检验，关于原假设H 0的拒绝域, 错误的选项是 ( A )

A. 与样本观测值的大小有关 B. 与显著性水平ɑ有关

C. 与检验统计量的分布有关 D. 是H 0接受域的补集

三. 计算题：

1．已知在正常生产情况下某厂生产的汽车零件的直径服从正态分布

N (54, 0. 752) ，在某日生产的零件中随机抽取10件，测得直径（cm ）如下：

54.0 ，55.1 ，53.8，54.2 ，52.1 ，54.2，55.0 ，55.8，55.1，55.3

如果标准差不变，在显著水平α=0. 05情况下, 能否认为该日生产零件直径的 均值与标准值54cm 无显著差异？

解：由样本观测值计算, 得=54.46，本问题相当于要检验

H 0:μ=54.46, H 1:μ≠54.46，

考虑到总体服从正态分布N (54,0.752) , 故采用双侧U 检验法，

ˆ===1.9395， 取检验统计量的测试值为U 由水平α=0.05, 查表得U 1-α

2ˆ

故接受H 0，即该日生产得零件直径的均值与标准值没有显著差异。

2．从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下：

3.25 3.24 3.26 3.27 3.24

设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为3.25（显著水平α=0. 05）。

解:由样本观测值计算, 得=3.252, S n -1=0.013，本问题相当于要检验

H 0:μ=3.25, H 1:μ≠3.25

考虑到总体服从正态分布N (μ, σ2) , 其中方差σ2未知, 故采用双侧t 检验法，

ˆ===0.3440， 取检验统计量的测试值为T 由水平α=0.05，查表得t 1-α

2(n -1) =t 0.975(4)=2.776， ˆ

即可以认为这批矿砂中的镍含量得平均值为3.25。

3．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度7次。测得温度（˚C ）： 112.0， 113.4， 111.2，112.0，114.5，112.9，113.6

而用某精确办法测得温度为112.6（可看作温度真值），试问热敏电阻测温仪的间接测量有无系统偏差？ （显著水平α=0. 05）。 解：由样本观测值计算，得=112.8, S n -1=1.1358，

本问题相当于要检验H 0:μ=112.6, H 1:μ≠112.6，

考虑到方差σ2未知，故采用双侧t 检验法。

ˆ===0.4659， 计算检验统计量的值为T 由水平α=0.05，查表得t 1-α

2(n -1) =t 0.975(6)=2.4469， ˆ

即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差.

4. 某工厂生产的铜丝的折断力（N ）服从标注差为40的正态分布，某日抽取 10 根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：

2830，2800，2795，2820，2850，2830，2890，2860，2875, 2785

在显著性水平α=0. 05情况下, 能否认为该日生产的铜丝折断力的标准差无显 著性改变？ 2解：由样本观测值计算，得=2833.5, S n -1=1228.0556，

本问题相当于要检验H 0:σ2=402, H 1:σ2≠402，

考虑到均值μ未知，故采用双侧χ2检验法， 取检验统计量的测试值为χ=

由水平α=0.05，查表得

222χ2

α(n -1) =χ0.975(9)=19.023, χα(n -1) =χ0.025(9)=2.700， 1-22∧22(n -1) S n -12σ0=9⨯1228.0556=6.9078 240

由于χ

20.0252(9)