高中不等式知识点
不等式
①(对称性)a
③(可加性)a >b ⇔b >a ②(传递性)a >b , b >c ⇒a >c >b ⇔a +c >b +c
(同向可加性)a >b , c >d ⇒a +c >b +d
(异向可减性)a >b , c b -d
④(可积性)a >b , c >0⇒ac >bc a >b , c
a >b >0,0c d ⑤(同向正数可乘性)a >b >0, c >d >0⇒ac >bd (异向正数可除性)
n n ⑥(平方法则)a >b >0⇒a >b (n ∈N , 且
n >1) ⑦(开方法则)a >b >0n ∈N , 且n >1) a >b >0⇒
⑧(倒数法则)
2、几个重要不等式 1111a b a b
a 2+b 2
ab ≤. a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R )a =b 2①, (当且仅当时取" =" 号). 变形公式:
a +b ≥(a ,b ∈R +)2 , (当且仅当a =b 时取到等号). ②(基本不等式)
变形公式:
a +b ≥⎛a +b ⎫ab ≤ ⎪. ⎝2⎭ 2
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
a +b +c ≥+(a 、b 、c ∈R ) (当且仅当a =b =c 时3③
(三个正数的算术—几何平均不等式)
取到等号).
④a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (a ,b ∈R )(当且仅当a =b =c 时取到等号).
333a +b +c ≥3abc (a >0, b >0, c >0) (当且仅当a =b =c 时取到等号). ⑤
b a b a 若ab >0, 则+≥2若ab 0,m >0,n >0) a +m b +n b ,⑦a (其中
规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧当a >0x >a ⇔x 2>a 2⇔x a ; x
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
a -b ≤a ±b ≤a +b .
2a +b ≤≤≤+-1-1(a , b ∈R a +b 2①平均不等式:,当且仅当a =b 时取" =" 号).
(即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均).
222⎛a +b ⎫a +b (a +b ) 22ab ≤ ; a +b ≥. ⎪≤22⎝⎭2 变形公式: 2
②幂平均不等式:a 12+a 22+... +a n 2≥1(a 1+a 2+... +a n ) 2. n
③二维形式的三角不等式:
(x 1, y 1, x 2, y 2∈R ).
⑧排序不等式(排序原理):
设 a 1≤a 2≤... ≤a n , b 1≤b 2≤... ≤b n 为两组实数. c 1, c 2,..., c n 是b 1, b 2,..., b n 的任一排列,则a 1b n +a 2b n -1+... +a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+... +a n c n ≤a 1b 1+a 2b 2+... +a n b n . (反序和≤乱序和≤顺序和),当且仅当a 1=a 2=... =a n 或b 1=b 2=... =b n 时,反序和等于顺序和.
f (x ) , 对于定义域中任意两点x 1, x 2(x 1≠x 2), 有
f (x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) ) ≥. 22则称f(x)为凸(或凹)函数. ⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数f (x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) ) ≤或22
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;
其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法: 131(a +) 2+>(a +) 2; 242 ①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小), 1111, =⇒
如
>k ∈N *, k >1) 等.
5、一元二次不等式的解法
2ax +bx +c >0(或
(a ≠0, ∆=b 2-4ac >0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集.
规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f (x ) >0⇔f (x ) ⋅g (x ) >0g (x )
⎧f (x ) ⋅g (x ) ≥0f (x ) ≥0⇔⎨g (x ) “
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解
⑴⎧f (x ) ≥0>a (a >0) ⇔⎨2⎩f (x ) >a
⑵⎧f (x ) ≥0a (a >0) ⇔⎨2⎩f (x )
⎧f (x ) ≥0⎪0
⎪f (x )
⑶⎧f (x ) >0⎧f (x ) ≥0⎪>g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或
⎨⎪f (x ) >[g (x )]2⎩g (x )
⎧f (x ) ≥0⎪>⇔⎨g (x ) ≥0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩ ⑸
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法:
a ⑴当a >1时, f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x ) ⑵当0a g (x ) ⇔f (x )
10、对数不等式的解法
⑴当a >1时, ⎧f (x ) >0⎪log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0⎪f (x ) >g (x ) ⎩
⎧f (x ) >0⎪log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.
⎪f (x ) 规律:根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法:⎧a (a ≥0) a =⎨. f (x ) ≤g (x ) ⇔f 2(x ) ≤g 2(x ). -a (a
③
④x ≤a ⇔-a ≤x ≤a (a ≥0); ②x ≥a ⇔x ≥a 或x ≤-a (a ≥0); f (x ) ≤g (x ) ⇔-g (x ) ≤f (x ) ≤g (x ) (g (x ) ≥0) f (x ) ≥g (x ) ⇔f (x ) ≥g (x ) 或f (x ) ≤-g (x ) (g (x ) ≥0)
规律:关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:
规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
2ax +bx +c >0且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: 解形如
⑴讨论a 与0的大小;⑵讨论∆与0的大小;⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式ax 2+bx +c >0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当a =0时
2⎧a >0⇒⎨⇒b =0, c >0; ②当a ≠0时⎩∆
⎧a
⑶
⑷f (x ) a 恒成立⇔f (x ) min >a ; f (x ) ≥a 恒成立⇔f (x ) min ≥a .
15、线性规划问题
常见的目标函数的类型:
①“截距”型:z =Ax +By ; ②“斜率”型:z =y y -b z =; x 或x -a
22z =z =x +
y ③“距离”型:或
z =(x -a ) 2+(y -
b ) 2
或z =
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.