一元函数极值问题求解的几种初等方法
一元函数极值问题求解的几种初等方法
王淑红 指导老师:宋宗林
(河西学院数学与应用数学专业2010级5班64号, 甘肃张掖 734000)
摘要 在生活实践中, 我们经常遇到在一定条件下, 如何做到用料最省、质量最好、成本最低、效率最高这一类问题, 相应的用面积一定的铁皮, 做成怎样尺寸和形状的罐头盒, 其容积最大？这又是最大的问题, 在数学上称为极值问题. 在不少情况下可以用初等方法求出, 所谓初等方法, 是指不用到微积分知识, 而只用初等数学的知识来求出极值的方法, 限于初等数学的范围及中学教材对极值问题的要求, 以下归纳几种关于求函数极值问题求解的初等方法. 关键词 极大值；极小值；初等数学 中图分类号
（一） 基本概念
1设一元函数f (x ) 定义在区间[a , b ]上, f (x ) ∈(a , b ) , 如果存在δ>0, 当
x 0-δ
如果对于满足x 0-δ
f (x ) 的一个极小值, x 0称为f (x ) 的极小点.
2设x 0∈[a , b ], 若对于一切x ∈[a , b ]均有：
f (x ) ≤f (x 0) （或f (x ) ≥f (x 0) ）
则f (x 0) 就称为：f (x ) 在[a , b ]上的最大值或最小值, 记为f max (x ) 或f min (x ) . 必须明确：函数的极值未必是函数的最大值或最小值, 由上述定义, 我们不难看到, 函数的极大（小）值f (x 0) 只是在极大（小）点x 0附近的一个局部范围内, 函数f (x ) 的最大（小）值, 因而函数f (x ) 在[a , b ]的极值不一定是唯一的, 而且某一极大值可能小于另一极小值, 如图（1）, f (x 2)
（1）
（二）求极值的几种初等方法 1配方法
考察二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 直接配方可得：
b 24ac -b 2
f (x ) =a (x +) +
2a 4a
从而对于一切x ∈(-∞, +∞) 有:
4ac -b 2b 2⎧≤0当a
f (x ) -=a (x +) ⎨
4a 2a ⎩≥0当a >0时
b
时成立, 所以在整个实数轴(-∞, +∞) 上讨论的话, 二次函数2a
b b
f (x ) =ax 2+bx +c 在x =-时, 若a
2a 2a
b
若a >0有最小值f min (x ) =f (-) 而无最大值, 这里f (x ) 在(-∞, +∞) 上最大（小）
2a
值且有唯一的极值, 事实上, 由极值的定义也可直接得出这一点, 至于在任一区间[α, β]上讨论时, 我们知道二次函数的图形是一条抛物线, 若顶点不在[α, β]内, 则极值不存在, 而最大（小）值在端点达到, 若顶点在开区间(α, β) 内, 则极大（小）值存在且在顶点处达到, 此时, 极大（小）值也是最大（小）值, 这不难从二次函数的图形上看出.
等号当且仅当x =-
例1 求函数y =x 2-4x +7的极值 解 配方得：
y =(x -2) 2+3(a >0)
当x =2时, y min =3.
配方的实质：在于利用了实数范围内平方项的非负性, 灵活应运这一点, 不难将配方法推广到任意一元函数的情形, 而不仅局限于二次函数, 实际上, 对于任意函数f (x ) , 只要能化成
f (x ) =A +g 2(x ), 其中A 是常数
则在g (x ) =0的点x 处f (x ) 有f min (x ) =A , 若能化成
f (x ) =B -h 2(x ), 其中B 是常数
则在h (x ) =0的点x 处f (x ) 有f max (x ) =B
当然, g (x ) 与h (x ) 必须在f (x ) 的定义域内有零点, 且零点还应较容易求得（否则这一方法用起来会显得比较繁杂）
例2 考察函数f (x ) =6+2sin x -(sinx ) 2的极值 解 配方得：
f (x ) =7-(sinx -1) 2
当sin x -1=0, 即x =2n π+2三角函数法
三角函数法是针对三角函数或在y =f (x ) 中含有三角函数式的这样一类函数的极值问题, 它主要利用正弦函数和余弦函数的有界性来求极值. 正弦函数y =sin x , 当x =2n π+当x =2n π+
π
2
(n ∈Z ) 时, f max =7.
π
2
(n ∈Z ) 时, 有y max =7
3π
(n ∈Z ) 时, 有y min =-1. 2
余弦函数y =cos x , 当x =2n π(n ∈Z ) 时, 有y max =1 当x =(2n +1) π(n ∈Z ) 时, 有y min =-1.
正切、余切函数在定义域内是无界函数, 没有极值. 例3 求函数y =4sin x -cos 2x -5的最大值和最小值 解
y =4sin x -cos 2x -5=4sin x -[1-2(sinx ) 2]-5=2(sinx ) 2+4sin x -6=2[(sinx ) 2+2sin x +1]-8=2(sinx +1) 2-8
当sin x =1时, y max =0 当sin x =-1时, y min =-8.
3应用n 个正数的算术平方数≥n 个正数的几何平均数这个基本不等式来处理 例4 当x 为何值时, 函数y =9x 2+6+
4
. 4x
分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系, 尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理
144
∵(9x 2+4) ≥9x 2⋅4=6 2x x ∴9x 2+
9x 2+
4
≥12 4x
4
+6≥18 (1) 4x
(1)式两边皆为非负数, 分别取算数平方根得
y =9x 2+6+
4
≥=32 x 4
6. 3
∴y min =32, 即得x =±4用判别式来处理
已知△ABC 的边a 、b 、c 满足关系式, 如图（2）, 若p 是△
ABC 外接圆的劣弧BC 上一动点, 且BC=2,求2BP+CP的最大
值
.
图(2)
分析：把条件中的等式去分母整理后所得bc =b 2+c 2-a 2 ∴a 2=b 2+c 2-bc
b 2+c 2-a 21
= ) 由余弦定理得 cos A =
2bc 2
BP 2+PC 2-BC 21
=- (2) ∴∠A =60, cos ∠BPC =cos(180-∠A ) =
2BP ⋅PC 2
o
o
欲求2BP +CP 的最值, 此时仍然茫然, 再观察（2）式分子与目标有所接近, 不妨
设BP =x 、BC =y , 则（2）式变成：
x 2+y 2-41
=
2xy 2
化简得：x 2+y 2+xy =4 (3)
再令2BP +CP =k , 即2x +y =k , y =k -2x
把y =k -2x 代入（3）式, 整理得3x 2-3kx +k 2-4=0这是一个关于x 的一元二
次方程, 因x ∈R +
故∆=(-3k ) 2-12(k 2-4) =-3k 2+48≥0
即k 2-16≤0 解得-4≤k ≤4
∴k max =4, 即(2BP +CP ) max =4 5导数法
各种类型的函数求极值的问题都可以用导数作为有力的工具解决
5.1：函数的单调性判定定理, 若对∀x ∈(a , b ) , f ' (x ) >0或（f ' (x )
5.2：稳定点概念, 若对定义在(a , b ) 上的可导函数f (x ) , 对∀ξ∈[a , b ], 使f ' (ξ) =0的点ξ叫做f (x ) 的稳定点. 5.3：求函数极值的步骤 5.3.1：求函数f (x ) 的导数；
5.3.2：令f ' (x ) =0, 解出稳定点x 1, x 2, , x n ；
5.3.3：判别x i (i =1, 2, , n ) 两侧的符号, 找出局部极值点；
5.3.4：计算函数各局部极值和定义域两端点的极值, 进行比较后, 最大者即为极大值, 最小者即为极小值; 例6 求函数y=
的最大值和最小值
解 y/==
令y /=0得：x(x2+3)=0,解得x=0 函数的定义域为(-∞, +∞) , 列表如下：
∴y min =f (0) =
, y max 不存在. 2
13
x -4x +4的极值 3
例7 求函数f (x ) =解 f (x ) =
13
x -4x +4, 3
f ' (x ) =x 2-4=(x -2)(x +2)
令f ' (x ) =0, 解得x =2或x =-2 下面分两种情况讨论：
（1）当f ' (x ) >0, 即x ＞2, 或x ＜-2时； （2）当f ' (x )
当x 变化时, f ' (x ) , f (x ) 的变化情况如下表：
f (-2) =
28； 3
当f ' (x ) 时, f (x ) 有极小值, 并且极小值为
f (2) =-
4 3
以上讨论了极值的五种求法, 中学生出现的极值问题, 一般从以上的五个方面完全能解决, 但也有一些特殊题型用其他方法更能迅速灵活的把问题解决.
参 考 文 献
[1] 人民版高级中学代数指导丛书[M]
[2] 人民教育出版社, 普通高中课程标准实验教科书, 选修2—2 [3] 赵正民, 中学数学解题教学研究[M] [4] 李万云, 初等函数极值求法探究 [5] 陈慧珍, 关于一元函数的极值问题 [6] 薛婷, 关于一元函数极值点求法的几点考虑 [7] 陈忠玉, 浅谈解析法求函数极值问题