微积分上册综合练习1答案

《微积分》上册 综合练习题1

参考答案

一、填空题（每小题2分，共10分）： 1．

设f (x ) =

11

, g (x ) =, f [g -1(x )]=。 2

1+x 1+ln(x +1)

11

, f [g -1(x )]=2

1+x 1+ln(x +1)

解g -1(x ) =ln(x 2+1), f (x ) =

2．f (x ) =e x ，则lim

x →0

解 f '(x ) =2xe x ,lim

x →0

2

2

f (1-2x ) -f (1)

= -4e 。

x f (1-2x ) -f (1)

=-2f '(1)=-4e

x

e 2x -1

3．f (x ) =的可去间断点为x 0=；补充定义f (x 0) =

x (x -1)

时，则函数在x 0处连续。

e 2x -12x e 2x -12x

解lim =lim =-2,lim =lim =∞

x →0x (x -1) x →0x (x -1) x →1x (x -1) x →1x (x -1)

4．已知函数f (x ) =sin 3x -a cos x 在x =

f () 为极 小 值。 3

13

π

3

处取极值，则

a =

，π

=c o x s +3a 解

f ' (x )

x s =i n ⇒x =0

π

3

f x =, ⇒' (a ) =

3

当x

π

3

时, f '(x )

π

⎛π⎫

时, f '(x ) >0, ∴f ⎪是极小值 3⎝3⎭1

。 12

5．若⎰0

x 3-1

f (t ) dt =x ，则f (7) =

f 7）＝解 f (x 3-1)3x 2=1, ⇒当x =2时，（

1

12

二、单项选择（每小题2分，共20分）：

2x -12x -x 21． 函数f (x ) =arcsin 的定义域区间是（ C ）。 +

7ln(2x -1)

（A ）[ （B ）[ （C ）( （D ）( 2,1) (1,2]2,1) (1,2) 2,1) (1,2]2, 2]2. 函数f (x ) =x sin ，则f (x ) （ B ）。

（A ） 单调 （B ） 有界 （C ）为周期函数 （D ）

关于原点对称

x 2

3．曲线f (x ) =e ⋅arctan 2有（ B ）条渐近线。

x -x -2

x 1x

（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）

4

4. 在同一变化过程中，结论（ D ）成立。

(A) 两个穷大之和为无穷大 （B ）两个无穷大之差为无穷大

(C) 无穷大与有界变量之积为无穷大 （D ）有限个无穷大之积为无穷大

5．当x →0时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（ D ）。

1-cos x （C ）（A ）x 2 （B ）ln(1+x 2) （D ）x -tan x

6. 若f (x ) 为定义在(-∞, +∞) 的可导的偶函数，则函数（ A ）为奇函数。

（A ）f '(sinx ) （B ）f '(x )sin x （C ）f '(cosx ) （D ）[f (x )sin x ]'

7．已知函数f (x ) 任意阶可导，且f '(x ) =[f (x )]2，则f (x ) 的n （n ≥2）阶导数

。 f (n ) (x ) =（ B ）

（A ）n ! [f (x )]n （B ）n ! [f (x )]n +1 （C ） [f (x )]2n （D ）n ! [f (x )]2n

8. 若f (x ) 在x = a 处可微，则f '(a ) =(A ) 。

⎤

（A ）lim n ⎡f (a +) -f (a ) ⎥ （B ）lim h →0n →∞⎢

⎣

⎦

1

n

[f (a +h ) -f (a -h ) ]

h h

（C ）lim

h →0

[f (a -h ) -f (a ) ] （D ）lim [f (a +2h ) -f (a ) ]

h

h →0

9. 若f (x ) 的导函数是sin x ，则f (x ) 的一个原函数是（ C ）。 (A) 1+sin x （B ）1+cos x （C ）1-sin x （D ）1-cos x

10. 设f ' (x )在[1，2]上可积, 且f (1)=1, f (2)=-4, ⎰f (x ) dx =-2, 则⎰xf '(x ) dx =（ A ）.

1

1

2

2

(A ) -7 　　　　　(B ) 5 (C ) 1 (D ) -1

三、计算题（每小题7分，共56分）：

x -x 2ln(1+)]。 1. 求极限lim[

x →∞

1x

1t -ln(1+t ) ⎡11⎤

解 lim[x -x 2ln(1+)]=lim ⎢-2ln(1+t ) ⎥=lim

x →∞t →0t x t 2⎣t ⎦t →0

1

1-

t 1

=lim 1+t =lim =

t →0t →02t (1+t ) 2t 2

⎧x 2+ax +b

, x ≠2

2．已知函数f (x ) =⎪连续，求a ，b 。 x -2⎨

⎪5, x =2⎩

x 2+ax +b

解 f (2)=5=lim

x →2x -2

∴lim （x 2+ax +b ）=0⇒4+2a +b =0⇒b =-(4+2a )

x →2

x 2+ax -(4+2a ) x 2-4+ax -2a

lim =lim =lim(x +2+a ) =4+a =5

x →2x →2x →2x -2x -2 ⇒a =1, b =-6

3. 设方程 e xy +sin(x 2y ) =y 2，求dy x =0。 解e xy (ydx +xdy ) +cos(x 2y )(2xydx +x 2dy ) =2ydy

当x =0时，y =±1, 则dx =2dy , dy x =0=

1

dx 2

4．设函数f (x ) 任意阶可导，且f '(x ) =e -f (x ) , 求f (n ) (x ) 。

解

f '(x ) =e -f (x ) , f "(x ) =-f '(x ) e -f (x ) =-e -2f (x )

f "'(x ) =2f '(x ) e -2f (x ) =2! e -3f (x ) f (n ) (x ) =(-1) n -1(n -1)! e -nf (x )

5．设曲线f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 有一拐点（1，-1），且在x = 0处切线平行于直线y = x ，求a ，b ，c 及曲线方程。 解 (1, -1) 是曲线的拐点，

f '(x ) =3x 2+2ax +b , f "(x ) =6x +2a , f "(1)=6+2a =0⇒a =-3 （）＝f 1-1=1+a +b +c ⇒b +c =1, 又因为曲线平行与y =x , 则f '(0)=b =1, ⇒c =0∴曲线方程为f (x ) =x -3x +x .

3

2

6．计算不定积分⎰cos(lnx ) dx 。

1解 ⎰cos(lnx ) dx =x cos(lnx ) +⎰x sin(lnx ) ⋅⋅dx

x

1

=x cos(lnx ) +⎰sin(lnx ) dx =x cos(lnx ) +x sin(lnx ) -⎰x cos(lnx ) ⋅⋅dx

x

1

∴⎰cos(lnx ) dx =[x cos(lnx ) +x sin(lnx )]+C

2

7

．计算不定积分

解令x =sin t , dx =cos tdt =⎰

cos tdt dt 1-cos t

=t +⎰=t +⎰dt 2

1+cos t 1+cos t sin t

dt d sin t 1

=t +⎰2-⎰=t -cot t ++C 2

sin t sin t sin t

1

=arc sin x ++C .

x

8. 求函数f (x ) =⎰0(2-t ) e -t dt 在(-∞, +∞) 内的最大和最小值. 解 因f (x ) 为偶函数，则只需求f (x ) 在[0，+∞）内的最值.

令f '(x ) =2x 2(2-x 2) e -x =

0，则得驻点为x =.

2

x 2

且当00,

当x >时, f '(x )

故x = 为f (x ) 在[0，+∞]的极大值点，也是最大值点，且

max f (x ) =f =⎰(2-t ) e -t dt =-(2-t ) e -t

0+∞2

20－

⎰

2

e -t dt =1+e -2

+∞

-t

而 f (+∞) =lim f (x ) =⎰0(2-t ) e -t dt =-(2-t ) e -t +∞-e ⎰0dt =1 0x →+∞

f (0)=0

所以 m i n f x (=) f (=0)

四、应用题（本题8分）：

已知某商品的需求函数为x =125-5p ，成本函数为C (x )=100 + x + x 2,

若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。

解（）1L (x ) =R (x ) -C (x ) =px -100-x -x 2= =-1.2x 2+24x -100 L '(x ) =-2.4x +24=0⇒x =10 L "(x ) =-2.4

x ' px '

=, 当x =10时, p =23, 则ηx x

x =10＝

125-x

⋅x -100-x -x 2

5

23⨯(-5)

=-11.510

五、证明题：（本题6分）

证明：当x >0时, sin x >x -x 3。 证明 设 f (x ) =sin x -x +

f '(x ) =cos x -1+

13

x , f (0)=0 3! 13!

12

x , f '(0)=02

f "(x ) =-sin x +x >0, f '(x ) 单调增加，f '(x ) >0(x >0) f (x ) 单调增加， f (x ) >0(x >0), ⇒sin x

13

x (x >0) 3!