材料力学(柴国钟.梁利华)第3章

材料力学第三章答案

3.1 试求图示各杆

1-1、2-2、3-3截面的扭矩并作扭矩图。

解：

(a)

(b)

(c)

3.2 薄壁钢管外径为114mm，受扭矩8kN⋅m作用，用薄壁圆管的近似公式确定所需的壁厚t值。设容许切应力[τ]=100MPa。

TT8⨯106

≤[τ]⇒t≥==3.92mm，取t=4mm。 解：τ=

2πr2t2πr2τ2π⨯572⨯100

3.3 如图所示为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上的切应力分布图。

解：

3.4 直径为d=50mm的圆轴受力如图所示，求：(1)截面上处A点的切应力；(2)圆轴上的最大切应力。 T1⨯106

⋅12

.5=20.

4

MPa 解：τρ=ρ=

Ip4

⨯5032

τmax

T1⨯106===40.7MPa Wtπ⨯503

3.5 图示圆轴的直径d=100mm，l=500mm，M1=7kN.m，M2=5kN.m，已知材料G=82GPa。试求：（1）轴上的最大切应力，并指出其所在位置；（2）C截面相对于A

截面的相对扭转角。

解：扭矩图如下

τmax

Tmax5⨯106===25.5MPa，发生在BC段外表面。 Wtπ⨯1003T1lT2l2⨯106⨯5005⨯106⨯500

=+=-=-0.0019rad=-0.11 。 3434

GIP1GIP282⨯10⨯π⨯10082⨯10⨯π⨯100ϕAC=ϕAB+ϕBC

3.6 图示阶梯形圆轴ABC，其中AB段为直径为d1的实心轴，BC段为空心轴，其外径D2=1.5d1。为了保证空心段BC的最大切应力与实心段AB的最大切应力相等，试确定空心段内径d2。

TTππ

(D24-d24)=Wt2 =⇒Wt1=d13=解：τmax=

Wt1Wt21616D2

3

⇒d2=D2D2-d13=1.37d1=0.92D2

3.7 图示AB轴的转速n=120rmin，从B轮输入功率=P=44.13kW，功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴II，另一半由水平轴I输出。已知D1=600mm，D2=240mm，d1=80mm，d2=60mm，d3=100mm，

[τ]=20MPa。试校核各轴的扭转强度。

解：T3=9.55⨯

P44.13

=9.55⨯=3.51kN⋅m n120P/222.065

T1=9.55⨯=9.55⨯=1.76kN⋅m

n120P/222.065

T2=9.55⨯=9.55⨯

n⋅D1/D2120⋅600/240

=0.70kN⋅mT11.76⨯106

τmax1===17.5MPa

Wt1π⨯803τmax2

T3T20.7⨯1063.5⨯106

===16.6MPa；τmax3===17.9MPa Wt2π⨯603Wt3π⨯1003

3.8 三个皮带轮安装在阶梯轴上，其相关尺寸示于图中。中间皮带轮为主动轮，输入功率为40kW，左、右各有一只从动轮，其输出功率分别为15kW和25kW。已知轴的转速为180rmin，轴材料的许用应力为

[τ]=80MPa。试校核轴的强度。

解：MA=9550⨯

PA15=9550⨯=795.8N⋅m n180P40

MB=9550⨯B=9550⨯=2122.2N⋅m

n180P25

MC=9550⨯C=9550⨯=1326.4N⋅m

n180

MC1326.4⨯103T1MA795.8⨯103T2

τmax1====63.3MPa≤[τ]；τmax2====31.3MPa≤[τ]

Wt1Wt1π⨯403Wt2Wt2π⨯603所以，该轴满足强度要求。

3.9 由厚度δ=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D=200mm。接缝处用铆钉铆接（如图所示）。若

铆钉直径d1=20mm，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σbs]=160MPa，筒的两端受扭转力偶矩Me=30kN⋅m作用，试确定铆钉之间允许的最大间距s。 解：考虑无接缝的圆筒，其纵向切应力

2MeT

τ'=τ==

2πr2δπD2δ

假设整个圆筒长度为l，则整个长度上形成的剪切合力为

2Mel

F=τ'lδ=

πD2

考虑有接缝的圆筒，剪切合力应由铆钉（假设共有n个，则s=压力为

l

）承担，每个铆钉承受的剪力或挤n

Fs=Fbs=

F2Mel2Me

==⋅s nπD2nπD2

由剪切条件：

Fs8Me⋅s[τ]π2D2d1260⨯π2⨯2002⨯202

τs==≤[τ]⇒s≤==39.5mm

AsπD2⋅πd128Me8⨯30⨯106

由挤压条件：

[Fbs2Me⋅sσbs]πD2d1δ160⨯π⨯2002⨯20⨯8

σbs==≤[σbs]⇒s≤==53.6mm

AbsπD2⋅d1δ2Me2⨯30⨯106故铆钉之间允许的最大间距s为39.5mm。

3.10 图示为外径D及壁厚t的圆杆，左端A为固定端，承受载荷集度为m的均布力偶作用。设该圆轴的扭转刚度GIp为常数，试求自由端B的扭转角ϕ。 解：任意x位置截面的扭矩为

T(x)=m(L-x)

T(x)dϕ(x)=dx GIp

故ϕB=ϕAB=⎰

L0

Lm(L-x)T(x)mL2

dx=⎰dx=

0GIpGIp2GIp

3.11 直径d=50mm，长度为5m的实心铝制圆轴，最大切应力为40MPa，铝的剪切弹性模量G=26.3GPa。求轴两端的相对扭转角。

τWl2τl2⨯40⨯5000TTl

=maxt=max==0.304rad=17.4 解：τmax=；ϕ=3

WtGIpGIpGd26.3⨯10⨯50

3.12 图示实心圆轴ABC，转速为420rmin，传递的总功率为300kW。假设许用单位长度扭转角m，剪切弹性模量G=80GPa。试确定AB段的直径d及BC段的直径D。

P80

解：MA=9550⨯A=9550⨯=1819.0N⋅m

n420P220

MC=9550⨯C=9550⨯=5002.4N⋅m

n420

[ϕ']=0.5

TAB32TAB32⨯1819.0⨯103

(rad/mm)ϕ'==AB=

GIpπd4Gπ⨯d4⨯80⨯103

32⨯1819.0⨯103180=⨯⨯1000

/m≤[ϕ']⇒d≥71.8mm43

π⨯d⨯80⨯10π

()

TBC32TBC32⨯5002.4⨯103

'=(rad/mm)ϕBC==443

GIpπDGπ⨯D⨯80⨯10=

32⨯5002.4⨯10180

⨯⨯1000 /m≤[ϕ']⇒D≥92.4mm43

π⨯D⨯80⨯10π

3

，取[d]=72mm；[D]=93mm。

()