薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

课程设计

指导教师： 孙秦 学 院： 航空学院 姓 名： 程云鹤 学 号： 2011300092 班 级： 01011105

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结

1、弹性力学中的基本假定

（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。 （2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。 （4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。 （5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。 2、平衡微分方程

在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。根据平衡条件即可建立方程。

(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程

∑M =0，可证明切应力的互等性：τyz =τzy , τzx =τxz , τxy =τyx

(2)分别以x 轴、y 轴、z 轴为投影轴，列出投影的平衡方程∑F x =0，∑F y =0，

∑F z =0，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下

∂σx +∂τyx +∂τzx +f =0⎫

x ⎪∂x ∂y ∂z ⎪

⎪∂σy ∂τzy ∂τxy

+++f y =0⎬ ∂y ∂z ∂x ⎪

⎪∂σz ∂τxz ∂τyz

+++f z =0⎪∂z ∂x ∂y ⎭

(1-1)

dz

dx

dy

图1-1

3、物体内任一点的应力状态

现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 试求经过P 点的任一斜面上的应力。σx ，σy , σz , τyz =τzy , τzx =τxz , τxy =τyx 为已知，

为此，在P 点附近取一个平面ABC ，平行于这一斜面，并与经过P 点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC ，如图1-2所示。当四面体PABC 无限减小而趋于P 点时，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。

dz

dy

dx

图1-2

命平面ABC 的外法线为n ' ，则其方向余弦为

cos (n ' , x )=l , cos (n ' , y )=m , cos (n ' , z )=n

三角形ABC 上的全应力在坐标轴上的投影用p x , p y , p z 代表. 根据四面体的平衡条件进行推到，可以得出

p x =l σx +m τyx +n τzx , ⎫

⎪

p y =m σy +n τzy +l τxy , ⎬

⎪

p z =n σz +l τxz +m τyz . ⎭

(1-2)

设三角形ABC 上的正应力为σn ，则σn =lp x +mp y +np z ，将式1-2代入，并分别用τyz , τzx , τxy 代替τzy , τxz , τyx ，即得

σn =l 2σx +m 2σy +n 2σz +2mn τyz +2nl τzx +2lm τxy

2

2

(1-3)

2

2

2

设三角形ABC 上的切应力为τn ，则由于p 2=σn +τn =p x +p y +p z ，得 τn 2=p x 2+p y 2+p z 2-σn 2

(1-4）

由式1-3和1-4可见，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC 是物体上受面力作用的边界面s σ，则p x , p y , p z 成为面力分量

f x , f y , f z ，于是由式1-2得空间问题的应力边界条件

(l σ+m τ+n τ)=f

(m σ+n τ+l τ)=f (n σ+l τ+m τ)=f

x

yx

zx s

y

zy

xy s

z

xz

yz s

, ⎫⎪⎪

, y ⎬ ⎪. z ⎪⎭

x

(1-5)

应力状态有三种表示方式如下: (1)如图1-2, 在图中表示 (2)应力状态矩阵

⎡σx τxy τxz ⎤

⎢⎥[σ]=⎢τyx σy τyz ⎥

⎢τzx τzy σz ⎥⎣⎦该矩阵为一对称阵。 (3)应力向量

σ=[σx , σy , σz , τxy , τyz , τzx ]T

4、物体内任一点的应变状态

过空间一点P 所有方向上的线应变和角应变的集合称为P 点的应变状态，通

过该点作三个相互垂直的线元。该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了P 点的应变状态。三个线应变为εx , εy , εz ，三个角应变为：γxy , γyz , γzx .

应变状态的表示方式如下: (1)向量形式

ε=[εx , εy , εz , γxy , γyz , γzx ]

(2)矩阵形式

⎡⎢εx ⎢1[ε]=⎢γyx

⎢2⎢1γ

zx ⎢⎣2

1

γxy 2

1⎤γxz 2⎥1⎥γyz ⎥ 2⎥εz ⎥⎥⎦

εy

1

γzy 2

5、几何方程和物理方程 （1）空间问题的几何方程

εx =

∂u ∂v ∂w ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u ，εy =，εz =，γyz =+，γzx =+，γxy =+ （1-6） ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

几何方程的矩阵形式为ε=Lu （在V 内），其中L 为微分算子

⎡∂⎢∂x ⎢⎢0⎢⎢⎢0L =⎢∂

⎢⎢∂y ⎢⎢0⎢⎢∂⎢∂z ⎣

0∂

∂y 0∂∂x ∂∂z 0

⎤0⎥⎥0⎥⎥∂⎥∂z ⎥ ⎥0⎥⎥∂⎥⎥∂y ⎥∂⎥⎥∂x ⎦

（2）空间问题的物理方程，在材料力学中根据胡克定律导出如下

εx =

111

σx -μ(σy +σz )，εy =σy -μ(σz +σx )，εz =σx -μ(σx +σy )， E E E

[]

[][]

γyz

∂u ∂w ∂w ∂v ∂v ∂u

+=+，γzx =，γxy =+ ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y

(1-7)

1-2μ

其中θ=εx +εy +εz 为体应变，Θ=σx +σy +σz 为体积Θ，

E

1-2μ

应力，Θ与θ间的比例常数称为体积模量，可推得物理方程的另一种形式

E

根据关系θ=

σx =

⎫⎫⎫E ⎛μE ⎛μE ⎛μθ+ε，σ=θ+ε，σ=θ+ε ⎪ ⎪ x ⎪y y ⎪z z ⎪ 1-2μ 1-2μ⎪1+μ 1-2μ1+μ1+μ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

(1-8)

E E E

τyz =γyz ，τzx =γzx ，τxy =γxy

21+μ21+μ21+μ物理方程的矩阵形式为σ=D ε或ε=C σ，其中D 为弹性矩阵，C 为柔度矩阵，两矩阵为互逆关系。

⎡

⎢1⎢⎢μ⎢1-μ⎢μ⎢

E (1-0μ) ⎢1-μD =

(1+μ)(1-2μ) ⎢0

⎢⎢⎢0⎢⎢⎢0⎣4、边界条件

μ1-μ1

μ1-μ

0001-2μ21-μ00

00001-2μ21-μ0

μ1000

μ1-μ000

1-μ

⎤⎥⎥0⎥

⎥⎥0⎥

⎥ 0⎥

⎥⎥0⎥

⎥1-2μ⎥

⎥

21-μ⎦0

（1）根据物体内任一点的应力状态可得空间问题的应力边界条件，即式1-5 (2)空间问题的位移边界条件为

(u )s =u , (v )s =v , (w )s =w

5、按位移求解空间问题

(1-9)

按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程，再将该弹性方程代入平衡微分方程得按位移求解时所需用的基本微分方程。 6、按应力求解空间问题

按应力求解空间问题，是取应力分量为基本未知函数。对空间问题来说就是，就是要从15个基本方程中消去位移分量和形变分量，得出只包含6个应力分量方程，进行求解。

二、板弯问题基本概念及微分方程

1、有关概念

(1)在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，或简称板，如下图所示。这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。两个板边之间的厚度δ称为板的厚度，而平分厚度δ的平面称为板的中间平面，或简称为中面。如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b ，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。

(2)当薄板受有一般载荷时，总可以把每个载荷分解为两个分载荷，一个是平行于中面的所谓纵向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。对于纵向载荷，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以按平面应力问题进行计算。横向载荷将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。

(3)于中面方向的位移，称为挠度。这里只讨论薄板的小挠度弯曲理论。 2、薄板弯曲问题的计算假定

为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假定外，还补充提出了3个计算假定。

(1)垂直于中面方向的线应变，即εz 可以不计。

取εz =0，则又几何方程中的

∂w

=0，从而得w =w (x , y ) 。即横向位移w 只∂z

是x ，y 的函数，不随z 而变。因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。

(2)应力分量τxz , τyz 和σz 远小于其余3个应力分量，因而是次要的，它们所引起的变形可以不计（注意：这三个次要应力分量本身都是维持平衡所必需的，不能

不计）。

因为不计τxz 及τyz 所引起的形变，所以有γzx =0，γyz =0。于是由几何方程1-6可以得

∂u ∂w ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂w

+=0, +=0。从而得=-=- ∂z ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y

(2-1)

由于εz =0, γzx =0, γyz =0，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。

在上述计算假定中虽然采用了εz =0, γzx =0, γyz =0，但在以后考虑平衡条件时，仍然必须计入3个次要的应力分量τxz , τyz 和σz 。因此，在薄板的小挠度弯曲理论中，放弃了关于εz , γzx 和γyz 的物理方程。因为不计σz 所引起的形变，所以薄板的物理方程成为

1

(σx -μσy ), ⎫⎪E

⎪

1⎪εy =(σy -μσx ), ⎬

E ⎪2(1+μ) ⎪γxy =τxy ⎪

E ⎭

εx =

(2-2)

(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即(u ) z =0=0, (v ) z =0=0。

因为εx =

∂u ∂v ∂v ∂u

, εy =, γxy =+，所以由上式得出中面内的形变分量均为∂x ∂y ∂x ∂y

零，即(εx ) z =0=0, (εy ) z =0=0, (γxy ) z =0=0

(2-3)

也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy 面上的投影形状却保持不变。

3、将纵向位移，各应变分量和应力分量分别都用挠度w 来表示

薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度w =w (x , y ) 作为基本未知函数。

(1)将纵向位移u ，v 用挠度w 表示。

由

∂u ∂w ∂v ∂w ∂w ∂w =-=-z +f 1(x , y ), u =-z +f 2(x , y ) 由计算假定得v =-∂z ∂x ∂z ∂y ∂y ∂x

(1-3)，得f 1(x , y ) =0, f 2(x , y ) =0。于是纵向位移表示为 u =-

∂w ∂w z , v =-z ∂x ∂y

(2)将主要应变分量εx , εy , γxy 用w 表示。把①中所得的u,v 代入几何方程中的对应

∂u ∂2w ∂v ∂2w ∂v ∂u ∂2w

项得εx ==-2z , εy ==-2z ，γxy =+=-2z

∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

(a)

(3)将主要应力分量σx , σy , τxy 用w 表示。由薄板的物理方程2-2求解应力分量得

σx =

E E E

(ε+με), σ=(ε+με), τ=γxy x y y y x xy

1-μ21-μ22(1+μ)

(b)

把式a 中所得应力分量代入上式得

Ez ∂2w Ez ∂2w ∂2w Ez ∂2w ∂2w

(2-4) σx =-(2+μ2), σy =-(2+μ2), τxy =-22

1+μ∂x ∂y 1-μ∂x ∂y 1-μ∂y ∂x

(4)将次要应力分量τxz , τyz 用w 表示。可以应用平衡微分方程的前两式进行求解，且因为不存在纵向载荷，体力分量f x =0, f y =0，由此得

∂τ∂τ∂σ∂τ∂τzx ∂σ

=-x -yx , zy =-y -xy ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x

把的表达式2-4代入得

∂τzx Ez ⎛∂3w ∂3w ⎫Ez ∂2

⎪=+=∇w 32⎪2

∂z 1-μ2 ∂x ∂x ∂y 1-μ∂x ⎝⎭

∂τzy

Ez ⎛∂3w ∂3w ⎫Ez ∂2

⎪=+=∇w 2 32⎪2

∂z 1-μ⎝∂y ∂y ∂x ⎭1-μ∂y

2

∂2∂2

其中引用记号∇=2+2。将上两式对z 积分，得

∂x ∂y

Ez 2∂2Ez 2∂2

，τzx =∇w +F （x , y ) τ=∇w +F （1zy 2x , y ) 22

2(1-μ) ∂x 2(1-μ) ∂y

其中F 1(x , y ), F 2(x , y ) ，可根据薄板的上、下板面的边界条件来求出，即

(τzx )

z =±

δ

2

=0，(τzy )

z =±

δ

2

=0应用这两个边界条件求出F 1(x , y ), F 2(x , y ) 以后，即得

τxz , τyz 的表达式

⎛2δ2⎫∂2⎫E

z -⎪τzx =∇w , ⎪2 ⎪2(1-μ) ⎝4⎭∂x ⎪

⎬ 2

⎛2δ⎫∂2⎪E

z -⎪τzy =∇w ⎪2 ⎪2(1-μ) ⎝4⎭∂y ⎭(5)将更次要应力分量σz 用w 表示。

(2-5)

应用平衡微分方程1-1的第三式，取体力分量为0，得

∂τ∂σz ∂τ

=-xz -yz (c) ∂z ∂x ∂y

如果体力分量f z ≠0, 可以把薄板的每单位面积内的体力和面力都归入到上板面的面力中去，一并用q 表示，即q =f z

)

z =-

δ

2

+f z

)

z =

δ

2

+⎰

δ/2

-δ/2

f z dz (d)

这只会对最次要的应力分量σz 引起误差，对其它的应力分量则没有影响。

注意τxz =τzx , τyz =τzy ，将这两个应力分量的表达式代入式(c)，得

⎛δ2∂σz E 2⎫4

⎪=-z ⎪∇w ∂z 2(1-μ2) 4⎝⎭

⎛δ2E z 3⎫4

z -⎪对z 进行积分，得到σz =(e) ∇w +F 3(x , y ) 2 ⎪2(1-μ) ⎝43⎭其中待定函数F 3(x , y ) 可以由薄板的下版面的边界条件来确定，即(σz )z =δ=0

2

将式(e)代入，求出F 3(x , y ) , 再代回式(e)，即得σz 的表达式

2

⎡δ2⎛E δ⎫1⎛3δ3⎫⎤4E δ3⎛1z ⎫⎛z ⎫4

⎪σz =z --z -∇w =--1+ ⎪ ⎪ ⎪∇w ⎢2⎪⎥2(1-μ2) ⎣4⎝2⎭3 86(1-μ) 2δδ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦

(2-6)

4、推导弹性曲面的微分方程

现在导出w 的微分方程。由薄板的上板面的边界条件(σz )z =-δ=-q ，其中q

2

是薄板每单位面积内的横向载荷，包括横向面力及横向体力，将σz 的表达式代入得

E δ3

∇4w =q 2

12(1-μ)

(2-7)

或

D ∇4w =q ,

(2-8)

E δ32-2

L MT 其中的D =，方程2-8称为2

12(1-μ)

薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲微分方程。

三、矩形薄板弯曲问题的求解

1、泛函和变分的概念

(1)假想函数y(x)的形式发生改变而成为新的函数Y(x)。如果对应于x 的一个定值，y 具有微小的增量δy =Y (x ) -y (x ) ，则增量δy 称为函数y(x)的变分。可以证明导数的变分等于变分的导数，因此微分的运算和变分的运算可以交换次序。 (2)如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量I 有一个值和它对应，则变量I 称为依赖于函数y(x)的泛函，记为I=I[y(x)]。简单地说，泛函就是函数的函数。

(3)基于能量原理的变分法是一种近似法，所谓变分问题，就是泛函求极值的问题。

2、弹性体的应变能

弹性体单位体积的应变能为

U 1=

1

(σx εx +σy εy +σz εz +τxy γxy +τyz γyz +τzx γzx ) 2

(3-1)

也可以称为应变比能。

整个弹性体的应变能为U =⎰⎰⎰U 1d Ω，其中Ω为弹性体的体积, 将其代入式

Ω

3-1得U =

1

(σx εx +σy εy +σz εz +τxy γxy +τyz γyz +τzx γzx ) d Ω 2⎰⎰⎰Ω

(3-2)

可以将应变能表示为用应力或应变表达的形式，可以证明弹性体的应变比能对于任一应力分量求导就等于相应的应变分量，弹性体的应变比能对于任一应变分量的偏导数就等于相应的应力分量。 3、虚位移原理

Y ，Z ) 作用下设有一弹性体在外力（包括体力分量X,Y ,Z 和一部分面力分量X ，

处于平衡状态。假如有一组位移分量u,v,w ，既能满足用位移表示的平衡方程，

又能满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。设想在弹性体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小的变化，即所谓的虚位移或位移变分

δu , δv , δw ，得到一组新的位移u ' =u +δu , v ' =v +δv , w ' =w +δw

此时外力在虚位移上所做的功，即虚功为

δA =⎰⎰⎰(X δu +Y δv +Z δw ) d Ω+⎰⎰(X u +Y v +Z w ) dS

Ω

S p

（3-3）

其中Ω为弹性体的全部体积，S 为弹性体的全部表面积，S p 为给定外力的表面，

S u 为给定位移的表面。假定弹性体在虚位移的过程中没有温度和速度的改变，

即没有热能和动能的改变。按照能量守恒定律，应变能在虚位移上的增量δU 应当等于外力在虚位移所做的虚功δA ，即δU =δA

得位移变分方程

δU =⎰⎰⎰(X δu +Y δv +Z δw ) d Ω+⎰⎰(X u +Y v +Z w ) dS

Ω

S p

（3-4）

按照变分原理δU =δ⎰⎰⎰U 1d Ω=⎰⎰⎰δU 1d Ω

Ω

Ω

其中δU 1为单位体积应变能的增量。把应变比能看作应变分量的函数，由上式得

⎛∂U 1⎫∂U 1∂U 1∂U 1∂U 1∂U 1

δU =⎰⎰⎰ δεx +δεy +δεz +δγxy +δγyz +δγzx ⎪ ⎪Ω∂ε∂ε∂ε∂γ∂γ∂γy z xy yz zx ⎝x ⎭

=⎰⎰⎰(σx δεx +σy δεy +σz δεz +τxy δγxy +τyz δγyz +τzx δγzx )d Ω

Ω

将式3-4代入得

⎰⎰⎰(X δu +Y δv +Z δw )d Ω+⎰⎰X u +Y v +Z w )dS

（3-5）

=⎰⎰⎰(σδε+σδε+σδε+τδγ+τδγ+τδγ)d Ω

Ω

S p

Ω

x

x

y

y

z

z

xy

xy

yz

yz

zx

zx

这就是虚位移原理的表达式，也可称为虚功方程。由此，弹性体的虚位移原理可叙述为：设一弹性体在已知体力和面力作用下处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体所积累的虚应变能。 4、最小势能原理

根据式3-4，由于虚位移是微小的，在虚位移过程中，外力的大小和方向可以认为保持不变，所以式3-4右边的积分号内的变分记号δ可提到积分号前并整理得

δ⎡U -⎰⎰⎰(Xu +Yv +Zw ) d Ω-⎰⎰(X u +Y v +Z w ）dS ⎤=0 ⎢⎥

⎣

Ω

S p

⎦

取A=⎰⎰⎰(Xu +Yv +Zw ) d Ω+⎰⎰(X u +Y v +Z w ）dS ，显然A 为外力在实际

Ω

S p

位移u,v,w 上所做的功。假设外力是势力场中的力，则（-A ）应等于外力的势能，用记号V 表示。弹性体的应变能和外力势能之和，称为弹性系统的总势能，用记号∏表示，得

δ∏=δ（U +V ) =0

得最小势能原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能称为极值。当考虑二阶变分时，可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是最小值。 5、求解薄板弯曲问题

(1)存在于弹性体中的应变能为

U =

1

(σx εx +σy εy +σz εz +τxy γxy +τyz γyz +τzx γzx ) d Ω 2⎰⎰⎰Ω

(3-6)

根据薄板弯曲问题中的有关假设σz , γxz , γyz 是为次要应力分量，在式3-6中略去有关的项，利用物理方程消去应变分量得

U =⎰⎰⎰

1⎡21+μ2⎤2

σ+σ-2μσσ+τxy ⎥d Ω x y x y

Ω2E ⎢2⎣⎦

()

将式2-4代入上式，得用位移w 表示的应变能为

2222⎧⎡⎤⎫⎛⎫2E ∂w ∂w ∂w ⎪2⎪2

⎪()⎢⎥U =z ∇w -21-μ-⎨⎬dxdydz 2⎰⎰⎰22 ⎪2(1-μ) ∂x ∂y ⎝∂x ∂y ⎭⎥⎪⎢⎪⎣⎦⎭⎩

()

将上式对z 积分并整理得等厚薄板的应变能U 可表达为

2222⎧⎡⎛⎫D ⎪22∂w ∂w ∂w ⎤⎫⎪⎪⎥U =⎰⎰⎨∇w -2(1-μ) ⎢22- ⎬dxdy ⎪2⎪∂x ∂y ⎝∂x ∂y ⎭⎥⎪⎢⎣⎦⎭⎩

()

(3-7)

对于板边全部固定的任何形式的板和板边w=0的矩形板，可对式3-7进行化简，用分部积分可得

∂2w ∂2w ∂2w ∂w ∂w ∂2w ∂2w ∂w

⎰⎰∂x ∂y ∂x ∂y dxdy =s ∂x ∂y ∂x dx -⎰⎰∂x ∂x ∂y 2dxdy =s ∂x ∂y ∂x -∂w ∂w ∂w ∂w

+s ∂y 2∂x ⎰⎰∂x 2∂y 2dxdy

2

2

2

其中s 为薄板的边界

⎡∂2w ∂2w ⎛∂2w ⎫2⎤

⎪对于固定边，不论边界形状如何可得⎰⎰⎢2⎥dxdy =0，在该- 2 ⎪∂x ∂y ⎝∂x ∂y ⎭⎥⎢⎣⎦

D ⎛∂2w ∂2w ⎫

+2⎪情况下薄板应变能表达式为U =⎰⎰ 2⎪dxdy 2 ∂x ∂y ⎝⎭

2

(3-8)

(2)薄板弯曲问题中的边界条件

设图中OA 边是固定边，OC 边是简支边，AB 边和BC 边是自由边。 沿着固定边OA(x=0),薄板的挠度w 等于零，弹 性曲面的斜率

∂w

（即转角）也等于零，所以边界 ∂x

⎛∂w ⎫

条件是(w ) x =0=0, ⎪=0

⎝∂x ⎭x =0

沿着简支边OC(y=0)，薄板的挠度w 等于零，弯矩M y 也等于零，所以边界条件是(w ) y =0=0, (M y ) y =0=0

用挠度w 表示为(w ) y =0

⎛∂2w ∂2w ⎫=0, ∂y 2+μ∂x 2⎪⎪=0

⎝⎭y =0

∂2w

如果前一个条件得到满足，即挠度w 在整个边界上都等于零，则2在整个

∂x

边界上也等于零，所以简支边OC 的边界条件可以简写为(w ) y =0

6、薄板弯曲问题中Ritz 法

⎛∂2w ⎫=0, ∂y 2⎪⎪=0

⎝⎭y =0

薄板中总势能为∏为挠度w 的泛函，设定一组包含若干待定系数的挠度的级数形式的表达式，其中每一分量均满足问题中的边界条件，根据最小势能原理，求解使总势能∏取最小值的待定系数，即可求得挠度的表达式，这是求解薄板弯曲问题的Ritz 法。

7、四边简支矩形薄板的重三角级数解

求解薄板的小挠度弯曲问题，首先要在板边的边 界条件下，由弹性曲面微分方程求出挠度w 。

当无支座沉陷时，对于四边简支的矩形薄板， 边界条件是

⎫⎛∂2w ⎫

⎪(w ) x =0=0, 2⎪=0⎪⎝∂x ⎭x =0⎪

⎪⎛∂2w ⎫⎪(w ) x =a =0, ∂x 2⎪⎪=0⎪

⎝⎭x =a ⎪

⎬ (a) 2

⎛∂w ⎫⎪⎪(w ) y =0=0, =0 ∂x 2⎪⎪⎝⎭y =0

⎪

2⎪⎛∂w ⎫

(w ) y =b =0, ∂x 2⎪⎪=0⎪

⎪⎝⎭y =b ⎭

取挠度w 的表达式为如下重三角级数w =∑∑A mn sin

m =1n =1

∞∞

m πx n πy

(b) sin

a b

其中的m 和n 是正整数，代入式(a)，可见全部边界条件都能满足，为了求出系数A mn ，将式(b)代入微分方程得

⎛m 2n 2⎫m πx n πy 4

⎪πD ∑∑ +A sin sin =q (x , y ) a 2b 2⎪mn

a b m =1n =1⎝⎭

∞

∞

2

将式右边的载荷q(x,y)展开成重三角级数，即

q (x , y ) =∑∑a mn sin

m =1n =1∞

∞

m πx n πy

(c) sin

a b

式中的a mn 可以按三角级数的通常确定方法进行求解，解得

a mn =

4a b m πx n πy

q (x , y ) sin sin dxdy ⎰⎰00ab a b

得系数A mn =

4⎰

a b

m πx n πy

sin ⎰0

(f) 22⎛m n ⎫π4abD a 2+b 2⎪⎪

⎝⎭q sin

当薄板受横向均布载荷时，q 成为q 0，式(f)中的积分式成为

⎰⎰

a b 0

q 0sin

m πx n πy q 0ab

sin =2 a b πmn (1-cos m π)(1-cos n π)