第06讲 微分方程及其应用
第六讲 微分方程及其应用
考试内容
常微分方程的基本概念 变量可分离的方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉(Euler)方程 微分方程简单应用.
数3:差分与差分方程的通解与特解, 一阶常系数差分方程的简单应用.
考试要求
1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法.
3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换 解某些微分方程
4.会解可降阶方程:y ′′=f (x ), y ′′=f (x , y ′) 和y ′′=f (y , y ′) .. 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶
的常系数齐次线性微分方程。
7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它
们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程.
9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.
数3:了解差分与差分方程的通解与特解等概念, 一阶常系数差分方
程的求解.
6.1常微分方程的基本概念
z 微分方程:包含未知函数的导数或微分的方程式称为微分方程 z 微分方程的阶: 方程中最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶.
n 阶微分方程的一般表示: y (n )=f (x , y , y ′,..., y (n −1) )
z 微分方程的解: 满足微分方程的函数,称为该方程的解
z 通解: n 阶微分方程的包含n 个独立任意常数的解,称为其通解
n 阶微分方程y (n )=f (x , y , y ′,..., y (n −1) ) 的通解为:
显函数形式:y (x ) =ϕ(x , c 1, c 2,..., c n ) , 或隐函数形式 Φ(x , y , c 1, c 2,..., c n ) =0. 不是通解的微分方程的解, 称为微分方程的特解
z 初值问题: 对n 阶微分方程,附加n 个定解条件如下, 即
(n )(n −1) ⎧⎪y =f (x , y , y ′,..., y )
⎨(n −1)n −1
(x 0)=y 0⎪⎩y (x 0)=y 0, , y
称为初值问题, 这样的定解条件称为初值条件.
z 微分方程的可解类型: 其解可用固定方法求出,并用初等函数
或其积分表示的一类方程 z 线性线性方程:
所含未知函数y 及其各阶导数都是一次的方程, 称为线性微分方程, 否则称为非线性微分方程. n 阶线性常微分方程的一般形式为
d n y d n −1y dy
()()+a x +... +a x +a 0(x )y =f (x ) , 11n −n n −1
dx dx dx
其中系数a i (x ), i =0,1,..., n −1, 以及自由项f (x ) , 都是已知函数. 例6.1 下列四个函数: y 1(x ) =C 1e
−x 2
+1, y 2(x ) =C 2,
y 3(x ) =y 1(x ) +y 2(x ) , y 4(x ) =y 1(x ) +y 2(x ) −x ,
其中C 1, C 2为任意常数,是否是下列方程:
(1) y ′=2x (1−y ); (2) x y ′′−(1−2x ) y ′=0;
2
(3) x y ′′−(1−2x ) y ′=1−2x . 之解?若是解,是什么解?
解:根据解的概念,用直接代入验证可知:
22
y 1(x ) 是方程(1)的通解;
当C 2=1时,y 2(x ) 是方程(2)的一个特解;
y 1(x ) 和y 2(x ) 都是方程(2)的解,
y 3(x ) 是方程(2)的通解;y 4(x ) 是方程(2)的通解.
⎧y ′=x 3+xy 2
之解, 试确定y (x ) 的增减例6.2若y (x ) 是初值问题 ⎨
⎩y (0)=0
区间,极值点及凸凹区间。
⎧⎧y ′=x x 2+y 2⎧y ′≥0, if x ≥0⎪y ↑, if x ≥0
解:⎨⇒⎨ ⇒⎨
′y
y (x ) =y (0)=0⎧⎪Min x ∈R
; ⇒⎨
⎪⎩y (x )≥0, ∀x ∈R
()
⇒y ′′=x 2+y 2+x (2x +y y ′)=3x 2+y 2+x 4y +x 2y 3≥0,⇒是下凸的函数。
例6.3 设y 1=e
−x
, y 2=2x ,是微分方牲y ′′′+a y ′′+b y ′+cy =0
的两个解, 其中a , b , c 是常数,则a , b , c 的值分别为 . B A. a =2, b =1, c =0; B. a =1, b =0, c =0; C. a =1, b =0, c =1; D. a =−1, b =0, c =0.
−x
解1:y 1=e , y 2=2x 是解⇒⎨
⎧−1+a −b +c =0
⎩2b +2cx ≡0
⎧a −b +c =1
⇒a =1, c =0, b =0. ⇒⎨
c 0, b 0==⎩
解2:y ′′′+a y ′′+b y ′+cy =0是三阶线性常系数齐次方程.
y 1=e −x , y 2=2x 为其解⇒其3个特征根是: −1, 0, 0 ⇒其特征方程是: λ2(λ+1) =0 ⇒其微分方程是: y ′′′+y ′′=0
⇒a =1, c =0, b =0.
⎧x y ′′+3x y ′2=1−e x
例6.4已知函数y =y (x ) 满足条件⎨
⎩y (0) =y ′(0) =0
要使y (x ) ≤Ax , 解1: 要使y (x ) ≤Ax ,
22
∀x ≥0, 则A =?
∀x ≥0, 设f (x ) =Ax 2,
因y (0)=f (0)=0 和 y ′(0)=f ′(0)=0, 则只要 y ′′≤f ′′(x ) =2A . 即
1−e x 1−e x 2
−3y ′≤≤2A y ′′=x x
11−e x 1−e x
故只要 ≤2A . 而max =1, A =.
x ≥0x 2x
⎧x y ′′+3x y ′2=1−e x 1−e x 1−e x 2
⇒y ′′=−3y ′≤解2: ⎨
′x x ⎩y (0) =y (0) =0
⇒y (x ) =y (0)+y ′(0)x +
11
y ′′(ξ) x 2=y ′′(ξ) x 2 22
11−e ξ212
x ≤x . ⇒y (x ) ≤⋅
2x 2
解3: xy ′′+3xy ′=1−e 是高阶可降价方程: 设p (x ) =y ′(x ) , 原方程变为p ′+3p =(1−e ) /x . 该方程旡法求其通解
2
x
2x
6.2 一阶可解类型, 高阶可降价方程 (1) 变量可分离的方程 y ′=f (x )⋅g (y )
z 可分离变量方程 y ′(x ) =f (x ) ⋅g (y ) ⇒
dy
=f (x ) dx g (y )
两边积分
∫
dy
=g (y )
∫f (x ) dx +C
就是方程的隐式解, 其中C 是任意常数. 注意, 原方程还有平凡解
y =y 0, 其中y 0是函数g (y ) 的零点, 即g (y 0) =0.
(2) 零次齐次方程,可化成分离变量方程
z
⎛x ⎞y
y ′=f ⎜⎟令 u =, y ′=u +xu ′⇒u +xu ′=f (u ).
x ⎝y ⎠⎛ax +by ⎞
y ′=f ⎜⎟, y ′=
⎝cx +dy ⎠
⎛ax +by +k ⎞f ⎜⎟ ⎜cx +dy +l ⎟
⎠⎝
z
z
y ′=f (ax +by ) , 令u =ax +by .
(3) 一阶线性微分方程 y ′+p (x ) y =q (x )
令
u (x ) =e ∫
p (x ) dx
乘方程的两边 ,
p (x ) dx p (x ) dx p (x ) dx ⎞′p (x ) dx ⎛∫∫∫∫′e y +p (x ) y =q (x ) e ⇒y (x ) e =q (x ) e ()⎜⎟⎝⎠
⇒y (x ) e ∫
p (x ) dx
=∫q (x ) e ∫
p (x ) dx
dx +C
−p (x )dx −p (x )dx ∫p (x )dx dx ⇒y (x ) =Ce ∫+e ∫q (x ) e ∫
可化成一阶线性方程:伯努利方程
y ′+p (x ) y =q (x ) y α (α≠0,1)
z 用y 除以方程两端将其化为,
α
y −α
dy
+p (x ) y dx
α−1
=q (x ) ⇒y −α
dy
+p (x ) y α−1=q (x ) dx
1dy α−1
⇒+p (x ) y α−1=q (x ) , α−1dx
令u (x ) =y
α−1
⇒
1du
+p (x ) u =q (x )
α−1dx
这显然是关于u (x ) 的一阶线性方程.
(4) 可凑成全微分形式的方程、积分因子
x dy −ydx =0 的五个积分因子: 11111,,,, 222222
xy x +y x −y y x
如:
x dy −ydx ⎛y ⎞x dy −ydx ⎛==d d , ⎜⎟⎜arctan 222
x ⎝x ⎠x +y ⎝
y ⎞
⎟. x ⎠
(5)高阶可降阶类型方程的求解
y ′′=f (x , y , y ′) 的几种右端函数缺变量的情形进行讨论.
(i)y ′′=f (x ) 类型 (ii) y ′′=f (x , y ′) 类型: 令 p (x )=y ′, y ′′=p ′(x ),
方程变成: p ′=f (x , p ) , 这是一阶方程,有可能求解。 (iii) y ′′=f (y , y ′) 类型:
2
dp dy d y dp dy
==p p p y =() =令 , ,
dx dy d x 2dy dx dp
=f (p , y ) . 代入方程得 p dy
得到一个关于未知函数p (y ) 和自变量y 的一阶方程. 例6.5 求y ′=xy 的通解.
2
dy 1x 2
解: y ′=xy , 当y ≠0⇒2=xdx ⇒−=+c
y y 2
2
⇒y =
−2
; 另外y =0也是一解. 2
x +2c
2A
最后有 y =− .
Ax 2+2
的通解
=dx .
例6.6
求y ′=解:
y ′=
, 当y
≠0⇒
(x +C ) 2y >
0, =dx ⇒=x +C ⇒y =;
4y
⇒y =−;
4
另有一解 y =0.
例6.7 解方程:y −3x 解1: y −3x
(
22
)y ′+3xy =0.
2
2
(
22
)y ′+3xy =0⇒y ′=3x 3xy
−y
, 零齐方程.
令u =
y 3u , 则y ′=u +x u ′, u +xu ′=, x 3−u 2
(3−u 2) du dx u 3
⇒= 分离变量方程, xu ′=
u 3x 3−u 2⇒−
33x
−ln u =ln cx ⇒−=ln cy ⇒y e 2u 22y 2
2
3x 2
2y =c
解2: y −3x
(
22
)y ′+3xy =0⇒(y
2
−3x 2)dy +3xy dx =0
⇒x 2dy −xy dx =
122
y dy ⇒2x 2dy −y dx 2=y 2dy 3322
⇒2yx 2dy −y 2dx 2=y 3dy ⇒x 2dy 2−y 2dx 2=y 3dy
33
⎛x 2⎞2x 2dy 2−y 2dx 22dy
⇒=⇒−d ⎜2⎟=d (lny )
3y y 4⎝y ⎠3⇒−
3x
=ln cy ⇒y e 2
2y
2
3x 22y =c .
例6.8
dy x +y −3=, dx x −y +1
解1: 变成零齐方程
⎧x +y −3=0⎧x 0=1dy (x −1) +(y −2)
⇒= ⇒⎨⎨
−+==x y 10y 2−−−dx (x 1) (y 2) ⎩⎩0
⎧X =x −1dY X +Y Y
⇒=. 令u (X ) =, 得 ⎨=−Y y 2−dX X Y X ⎩
1+u 1+u 21−u dX u +Xu ′=⇒Xu ′=du ⇒=
1−u 1−u 1+u 2X 1
⇒arc tan u −ln(1+u 2) =ln CX
2
2
y −21⎛⎛y −2⎞⎞
⇒arc tan −ln ⎜1+⎜=ln C (x −1) . ⎟⎟⎜⎟x −12⎝⎝x −1⎠⎠
解2: 简单积分因子: 令 ⎨
⎧X =x −1dY X +Y
⇒=
⎩Y =y −2dX X −Y
原式⇒(X −Y ) dy =(X +Y ) dx
22
d X +Y () 1XdY −YdX 1=⇒XdY −YdX =(dX 2+dY 2)⇒
2X 2+Y 22X 2+Y 2
⇒d arctan
Y 1
=
d ln (X 2+Y 2)X 2
arctan
y −2
x −1
⇒arctan
Y
=
ln X
⇒=C e
例6.9x y ′=y (ln y −ln x ).
解1: x y ′=y (ln y −ln x )⇒y ′= ⇒
y y y =x u (x )ln ⎯⎯⎯⎯→u +xu =u ln u x x
du dx
=⇒ln ln u −=ln Cx ⇒y =xe 1+C x
u (lnu −1) x
x dy
=(ln y −ln x )dx y
ln y dx −x d ln y ln x dx
=22
x x
解2: x y ′=y (ln y −ln x )⇒
⇒ln y dx −x d ln y =ln xdx ⇒
ln y ln x 1⎛ln y ⎞ln x dx
⇒=++C ⇒−d ⎜=⎟2
x x x x x ⎝⎠⇒y =xe C x +1
解3: x y ′=y (ln y −ln x )⇒
dy dx =(ln y −ln x ) y x
⇒d (lny ) =(ln y −ln x )d ln x , 令u =ln y , t =ln x
则原方程变成
⎧y ′=f (ax +by )du
=u −t ⇒⎨型方程
′dt ⎩or y +p (x )y =q (x )
1sin x y =
x x sin x ∫x dx (C +∫e ⋅dx ) ,
x
1
例6.10 解方程 y ′+
−
解1: y (x ) =e
∫x dx
1
y (x ) =
11
(C +∫sin x ⋅dx ) =(C −cos x ) 。 x x
解2: u (x ) =e
∫x dx
1
=x , 对方两边同乘x ,得
x y ′+y =sin x ⇒(x y )′=sin x
两边积分:x y =sin x dx +C , y =例6.11解方程x y ′+xy =y . 解1:伯努利方程: 原式⇒
2
2
∫
1
(−cos x +C ) . x
y ′1−111−11−1
′+y =⇒−(y ) +y =2
x y 2x x 2x
11d ⎛u ⎞
⇒⎜⎟=−3 x dx ⎝x ⎠x
⎯⎯⎯→x u ′−u =−
u =y −1
⇒
u 111
=2+C ⇒=2+C x 2x xy 2x
2
2
y 2−xy 解2:x y ′+xy =y ⇒y ′=, 零齐方程. 2
x
例6.12 若 (x +2xy −y ) y ′+y =0 求一般解 .
2
2
∫dx 1+2y
=+x =1, u (y ) e 解: 对x 为线性方程,
dy y 2
乘方程两边得, y e
1+2y
dy y 2
=y e ,
2
−
1y
(
21/y
⋅x (y ) )′=y 2e 1/y
−1y
⇒y 2e 1/y ⋅x =∫y 2e 1/y dy +c ⇒x =−y 2+c y 2e
例6.13方程 y dx +(x −3x y ) dy =0.
解: y dx +(x −3x 3y 2) dy =0⇒y dx +xdy =3x y dy
4
2
2
2
⇒d (xy )=3x 4y 2dy ,两边同乘
1
(xy )
4
d (xy )3dy 1−1−1
⇒d −d =0 −=03432
y 3(xy ) (xy )y
⎛−13⎞−13
⇒d ⎜+=,通解为⇒+=C . 0⎟3
⎜3(xy )3y ⎟y 3(xy )⎝⎠
z 若方程改为 y dx −(x −3x y ) dy =0
42
⇒y dx −xdy =−3x 4y 2dy ⇒
y dx −xdy 2
=−3y dy 4
x
⎛y dx −xdy ⎞2
⇒d ⎜⎟=−3y dy .
x ⎝⎠
⎧2xdy −ydx =2y 2dy
例6.14解方程:⎨.
⎩y (0)=1
′⎛x ⎞dx 2x −2y
⎟解1:对x −x =−2y ⇒⎜=⇒=−2ln y 22⎜y 2⎟dy y y y ⎝⎠
解2:积分因子:2xydy −y dx =2y dy ⇒xdy −y dx =2y dy
2
3
2
2
3
⎛x ⎞xdy 2−y 2dx 2y 3dy
⎜d =d (2ln y ) ⇒=⇒−2⎟44⎟⎜y y ⎝y ⎠
解3:变换成零齐:
dy y 2ydy y 2dy 2y 2
=⇒=⇒=222
dx 2x −2y dx dx x −y x −y
令u =y ⇒
2
du u
=
dx x −u
⎧2xdy −ydx =2y 2dy
解4:伯努利方程 ⎨
()y 0=1⎩
121⎧−1′1−1⎧′1
y y y −=+=−y y ()⎪⎪
x 2x x . 2x ⇒⎨⇒⎨
⎪y (0)=1⎪y (0)=1
⎩⎩
例6.15解方程 x y ′′=y ′ln y ′. 解:令p (x )=y ′, 代入方程, 则 原方程化为 x
dp
=p ln p dx
c x
由此解出 p =e 1,于是原方程的通解为
y =∫pdx =
1c 1x
e +c 2 c 1
1+(y ′) 2
例6.16解方程y ′′=.
2y
dy d 2y dp dy dp
解: 令p =p (y ) ==p , 代入方程得到 , 2=
dx dx dy dx dy
dp 1+p 2p dp dy
p =, 即 , 两端积分得到=2dy 2y y 1+p
2
⎛dy ⎞
ln(1+p 2) =ln y +ln c 1. 即 1+⎜⎟=c 1y .
⎝dx ⎠
2
=±dx .
=±(x +c 2). 例6.17
解二阶微分方程的初值问题
2
⎧⎪cos y ⋅y ′′+sin y ⋅(y ′) =y ′
⎨
⎪⎩y (−1) =π/4, y ′(−1) =2
解:令u (y ) =y ′, y ′′=u
du
, dy
原方程化为 u cos y ⋅
du
+u 2sin y =u , dy
当u =0时,y =C 不复合初值条件,舍去。
⎧tan ydy 1⎪u ′+u tan y =1/cos y
, e ∫, 当u
≠0时,得⎨=
cos y ⎪⎩u (π/4) =2
y ⎛⎛u (y ) ⎞′1
dy ⇒∫⎜=2∫π/4⎜π/4cos y ⎟⎝⎠⎝cos
y
y
⎞
⎟dy y ⎠
u (y ) u (y ) y
=tan y ⇒u (y ) =y ′(x ) =sin y ⇒=tan y π/4⇒
cos y cos y π/4
⎧dy y x dy ⎪=sin y
⇒∫=∫dx 再解方程 ⎨dx
π/4sin y −1
⎪⎩y (−1) =π/4
⎛1−cos y ⎞1−cos y
ln 1x ⇒−ln ⇒⎜ln =+⎟
sin sin y y ⎝
⎠y =π/4
所求之解为
y
−1=x +1
)
1−cos y
=1) e x +1.
sin y
6.3 n 阶线性微分方程解的性质及解的结构定理
(1) n 阶线性微分方程解解的结构
d k
, 则 z n 阶线性微分方程的一般形式: 若记 D =k
d x
k
D n y +a 1(x ) D n −1y + +a n −1(x ) Dy +a n (x ) y =L (D ) y
其中 L (D ) =D +a 1(x ) D
n
n −1
+ +a n −1(x ) D +a n (x )
n 阶线性微分方程
d y d n y d n −1y
+a (x ) + +a (x ) +a n (x ) y =f (x ) 1n −1
d x d x n d x n −1
可简记为 L (D ) y =f (x )
其中a i (x ), i =1, 2,..., n 以 及f (x ) 是区间I 上的已知连续函数.
当f (x ) ≡0时, 上述方程称为齐次方程: L (D ) y =0 z 齐次线性常微分方程解的性质: (i) L (D ) y i =0, i =1, 2
⇒L (D ) (c 1y 1+c 2y 2)=c 1L (D ) y 1+c 2L (D ) y 2=0
齐次线性常微分方程的解的线性组合和仍为其解 (ii) L (D ) Y i =f (x ) , i =1, 2⇒L (D ) (Y 1−Y 2)=0
非齐次线性分方程两觧之差为相应齐次线性方程的解 (iii) 齐次线性常微分方程的解构成一个n 维线性空间.
若己知n 个线性无关的解y i (x ), i =1, , n , 则该齐次线性常微分方程的通解为 x ) =c 1y 1(x ) + c n y n (x ) (iv) 非齐次线性方程的通解: y =(x ) +Y (x ) .
例6.18判断下列方程中哪些是线性方程,
(i) y ′′+x y ′+2y =sin x ; (ii) y ′′+x y ′+2y =sin y (iii) y ′′+x y ′=−x y ; (iv) y ′′+x y ′=−x 答案: (i), (iii)为线性常微分方程.
例6.17求线性常微分方程使其有通解 y =c 1e +c 2xe
x
x
22
y
⎧y =c 1e x +c 2xe x ⎪x x x
解1: ⎨y ′=c 1e +c 2e +c 2xe , 消c 1, c 2得 y ′′−2y ′+y =0.
⎪′′x x x
2y c e c e c xe =++122⎩⎧y =c 1e x +c 2xe x ⎛1x
⎪⎜x x x
⇒⎜11+x 解2: ⎨y ′=c 1e +c 2e +c 2xe
⎪′′x x x ⎜12+x 2y c e c e c xe =++⎝122⎩
齐次方程有非零觧
ye −x ⎞⎛c 1⎞
⎟⎜⎟
y ′e −x ⎟⎜c 2⎟=0
⎜−1⎟y ′′e −x ⎟⎠⎝⎠
x
⇒1+x 2+x
ye −x x y ′e −x =0⇒1+x
2+x y ′′e −x
0y
y ′=0⇒1
2y ′′y
y ′=0 y ′′
⇒y ′′−2y ′+y =0
解3: y =c 1e +c 2xe 必是二阶常系数齐次方程的通解. 特觧e , xe 对应的特征根为重根λ1=λ2=1, 对应的特征方程为(λ−1) =λ−2λ+1=0, 对应的微分方程为y ′′−2y ′+y =0.
例6.18已知二阶线性齐次方程的两个为1, x , 求其满足初始条件
2
2
x x
x x
y x =1=1, y ′x =1=2的特解.
解: 该方程的通解为y =c 1+c 2x ,
⎧c 1+c 2=1
,得c 1=−1, c 2=2, 代入初始条件: ⎨
c =2⎩2
特解为y =2x −1.
例6.19若二阶线性非齐次微分方程的两个解为3+x ,e
2−x
+3+x 2,
且相应齐次方程的一解为x ,则该非齐次方程的通解为( ). 觧:3+x +C 1x +C 2e
2
−x
2
3
例6.20已知Y 1(x ) =x , Y 2(x ) =x , Y 3(x ) =x 为非齐次线性常微分方
程的三个解, 则其通解为( ). 觧:y (x ) =c 1(x −x ) +c 2(x −x ) +x
2
3
6.4 高阶常系数齐次线性微分方程的求解
(1) n 阶线性常系数齐次方程的解 y
(n )
+a 1y (n −1) +a 2y (n −2) +.... +a n y =0
其中a 1,..., a n 为实常数. 或记成 L n (D )y =0. z 特征方程和特征根 若L n (D )x =0有形如y =e L n (λ)=λ+a 1λ
n
n −1
λx
的解,则λ是代数方程
+... +a n −1λ+a n =0
之根。 称为微分方程L n (D )y =0的特征方程. 特征方程的根称为特征根.
z 特征根与方程L n (D )y =0解的对应关系. 1) λ是实单根, 对应一个特解: e
λx
;
2) λ是k 重实根, 对应k 个线性无关特解: e , x e , , x
λx
λx
k −1
e λx ;
3) λ=α+i β是复单根, 对应2个线性无关特解:
e αx cos βx , e αx sin βx ;
4) λ=α+i β是k 重复根, 对应2k 个线性无关特解:
e αx cos βx , xe αx cos βx , , x k −1e αx cos βx e αx sin βx , xe αx sin βx , , x k −1e αx sin βx ;
由欧拉公式e it =cos t +i sin t 得: e (α+i β)x =e αx (cosβx +i sin βx ) .
(2) n 阶线性常系数非齐次方程的解 z 考察方程
y ′′+ay ′+by =P n (x ) e αx (P n (x ) e αx sin βx , P n (x ) e αx cos βx )
z 如何确定形如 Y (x ) =Q (x ) e 将Y (x ) =Q (x ) e
αx
αx
Q (x ) 的次数和系数.
αx
代入方程L 2(D )y =P (x ) e
2
,得
Q ′′(x )+(2α+a ) Q ′(x ) +(α+a α+b ) Q (x ) =P (x ) (*) 下面分三种情形讨论.
(1) 当α≠λ, 即 α+a α+b ≠0,可设 Q (x ) =Q n (x ) . (2) 当α=λ1≠λ2,即α+a α+b =0, 2α+a ≠0 (*) 左端是次数与Q ′(x ) 相同的多项式, Q (x ) =x ⋅Q n (x ) . (3) 当α=λ1=λ2, 即α+a α+b =0 , 2α+a =0, (*) 左端是Q ′′(x ) . Q (x ) =x Q n (x ) . 例6.21设μ为实数,求方程y ′′+μy =0的通解. 解: 特征方程为λ+μ=0. 1) μ>0, λ=±i
2
2
2
2
2
μ ,个无关解 :cos μx , sin μx .
通解为 c 1cos x +c 2sin x (c 1, c 2∈R ) .
y 2=x ,
2). μ=0,二重根 λ=0. 无关解 y 1=1,
于是方程通解 y (x ) =c 1+c 2x . 3) . μ
方程通解为 y (x ) =c 1e 例6.22求方程y
(4)
−x
−μx
, e −
.
−μx
,
c 2e −
−x
−y =0 的通解.
4
解: 特征方程为λ−1=0. 它有四个单根λ1, 2=±1, λ3, 4=±i . 该方程有四个线性无关解e , e
x
−x
, cos x , sin x .
因此方程通解为 y (x ) =c 1e +c 2e
x −x
+c 3cos x +c 4sin x .
例6.23求方程y ′′′−3y ′′+3y ′−y =0通解.
32
解: 特征方程λ−3λ+3λ−1=0 有一个三重根λ=1 .
三个线性无关解e , xe , x e , x e ,
所以通解为 y (x ) =c 1e +c 2xe +c 3x e +c 4x e . 例6.24求方程x
4
x x 2x 3x
x x 2x 3x
(4)
+2x ′′+x =0通解.
2
2
2
解:特征方程λ+2λ+1=(λ+1) =0.它有一对二重复根±i . 方程有四个线性无关解 cos t ,sin t , t cos t , t sin t . 所以通解为 x (t ) =(c 1+c 3t ) cos t +(c 2+c 4t ) sin t . 例6.25求方程x ′′+x ′=2t +1的通解. 解: 方程写作 x ′′+x ′=(2t +1) e , α=0
2
因为λ=0是特征方程λ+λ=0的单根,所以应当寻找方程形如
0t
2
X (t ) =t (a t 2+bt +c ) e 0t =at 3+bt 2+ct
的特解.将这个解代入原方程得到
3a t 2+(2b +6a ) t +(c +2b ) =2t 2−3
⎧3a =2
2⎪
比较系数得到 ⎨2b +6a =0, 解得到 :a =, b =−2, c =1
3⎪c +2b =−3
⎩
从而得到原方程的一个特解 X (t ) =
23
t −2t 2+t 3
−t
又求得相应的齐次方程x ′′+x ′=0的通解 x (t ) =c 1+c 2e .
−t
所以方程通解为 x (t ) =c 1+c 2e +
232
t −2t +t 3
例6.26解方程x ′′−2x ′+x =4t e .
2
解: λ=1是特征方程λ−2λ+1=0的重根,
t
设特解为 X (t ) =t (at +b ) e , 得到 (6at +2b ) e =4t e
2t t t
比较系数得到 a =
22
, b =0.非齐次特解X (t ) =t 3e t . 33
t
相应地齐次方程的通解是 x (t ) =(c 1+c 2t ) e 原方程的通解为 x (t ) =(c 1+c 2t ) e +例6.27解方程 y ′′−y =4cos x . 解: 方程非齐次项 P n (x ) e
αx
t
23t
t e 3
中, n =0, α=0+i
设非齐次持解:Y =A cos x +B sin x , 代入方程, 比较sin x ,cos x 的系数, 得到 由此得到A =2, B =0.
Y (x ) =−2cos t 是题设的一个特解.
另外又求得相应的齐次方程x ′′−x =0的通解, x =c 1e +c 2e , 因此所求之的通解为 x =c 1e +c 2e
2
2t
t −t
t −t
−2cos t
例6.28求方程x ′′−x =t +1+t e 的一个特解. 解:考察以下两个方程: x ′′−x =t +1, x ′′−x =te 用比较系数法分别求出这两个方程的特解:
2
2t
t 4
Y 1=−t 2−2, Y 2=(−e 2t .
39
于是这两个解之和就是原方程的一个解:
t 4
Y =Y 1+Y 2=−t 2−2+(−) e 2t .
396.5 Euler方程:
d 2y dy
t +a t +a 2y =0 12
dt dt
2
d 2y dy
例6.29解方程t +2t +2y =0.
dt 2dt
2
dy 1dy
, 解:令x =ln |t |,则 =
dt t dx
d 2y 1dy 1d 2y
=−2+22 2
dt t dx t dx
d 2y dy
代入原方程即可以将其化为 2++2y =0
dx dx
于是方程通解为y (x ) =e
−
x 2
(c 1cos
x +c 2sin x ) ,
22
即 y (t ) =t
−
1
2
(c 1cos
ln |t |+c 2sin ln |t |) 22
6.6应用问题举例
例6.30, (140)上半平面上的光滑曲线过点(0,1),其上点M (x , y ) 处的法线在x 轴上的截距等于该点到原点的距离,求曲线方程y =y (x ) . 【解】(1) 列方程: 曲线y =y (x ) 在点(x , y ) 处
设法线在x 轴上的截距为x +
y y ′⎧⎪x +yy ′= . ⎨
⎪⎩y (0)=1, y ≥0
(2) 解方程:
解1:方程为零齐方程:
的法线方程为 −y =−
1
(−x ) , y ′
dx =dy
令u =
=
x
,方程进一步化为 y
du ==+u , dy 1+u 2
du =∫
1
dy , y
u +y ⋅
y ⋅
du
=+u 2, ∫dy
=ln y +C 0 (注意y >0) , u ++u 2=C y ,x +x 2+y 2=C y 2,
由x =0时y =1,得C =1, x +x 2+y 2=y 2,
x 2+y 2=y 2−x ,x 2+y 2=(y 2−x ) 2=y 4−2x ⋅y 2+x 2,
又y >0, 1=y −2x , y 2=2x +1, y =2x +1.
2
所求曲线方程为y =2x +1. 解
2:凑微分的方法:
⎧⎧⎪x +yy ′=⎪xdx +ydy = ⇒⎨⎨
⎪
⎪⎩y (0)=1⎩
y (0)=1⇒
=dx ⇒
d x 2+
y 2=dx ⇒
=dx
⇒x , y )0,1)
=x
0⇒
−1=x ⇒y =
x
【注】 几何:求曲线方程。通常这类方程含有定解条件。切线、法线、斜率、曲率、弧长、面积等几何量常常会出现在题中。
例6.31, ,曲线y =y (x ) 上任意点的曲率半径等于夹在该点与横轴之间的法线之长,若该曲线:(1) 向下凸;(2) 向上凸. 求曲线的方程. 【解】法线之长
y y ′2+y 2=y +y ′
2
z 列方程 (1)向下凸:
1+(y ′)=
y ′′
2=
1y +y ′
2
(2) 向上凸:
1+(y ′)y ′′−1y +y ′2
232
z 解方程 (1) 向下凸:
y ′′1
=, 2′y 1+y ,
令
p (y )=y ′
,
pdp dy =2
y 1+p 1
ln 1+p 2=ln (cy ), 2
()
dy
cy 2
−1
=±dx
2⎧ln ⎛cy +cy −1⎞⎜⎟=±(x −c 1)⎧cy +⎪⎝⎪⎠
, ⎨⎨
2⎛⎞⎪⎪ln ⎜cy −cy −1⎟=∓(x −c 1)cy −⎩⎠⎩⎝
1(x −c 1)−(x −c 1)1y =e +e =Sh (x −c 1)
2c c
cy 2−1=e ±(x −c )
2∓(x −c )cy −1=e
11
()
(2)向上凸:
−1y ′′2
(),曲线为 x +c +y 2=c 12 =22
y 1+y ′
例6.32,(143) 求曲线y =f (x ) ,在区间[0, x ]上(x >0) 该曲线的 弧长在数值上等于该曲线在x 点处的切线斜率,且f (0) =1, f ′(0) =0. 【解】 列方程:
依题意有y ′=
∫
. 两边对x 求导,
⎧⎪y ′′=. 得y ′′=
.即⎨
y ′=0⎪⎩y (0)=1, (0)
解方程:
解法1 : 看成不显含y 二阶可降价方程.令p (x ) =y ′, 方程化为
dp 1
=+p 2, ∫=∫dx ,
2dx +p
ln p ++p 2=x +C 0,p ++p 2=Ce x ,
由x =0时,p =0,得C =1. 1+p 2=(e x −p ) 2=e 2x −2e x ⋅p +p 2,
e 2x −1e x −e −x dy
p ===sh x , =sh x ,
2e x 2dx
y =ch x +C 1
又x =0时y =1,故C 1=0,y =ch x .所求曲线方程为y =ch x . 解法2 : 看成不显含x 的二阶可降价方程.令y ′=p ,方程化为
dp
⋅p =+p 2,∫dx
p +p 2
dp =∫dy ,+p 2=y +C 0,
由y =1时p =0得C 0=0,即+p 2=y , 1+p 2=y 2,p =±y 2−1,
dy
=±y 2−1, dx
∫
1y −1
2
dy =±∫dx +C 1,
ln(y +y 2−1) =arch y =±x +C 1,
由x =0时,y =1得C 1=0.故y =ch x =ch(−x ) .
22⎧⎪(y ′′)=1+(y ′)
解法3 : 化或高阶线性常系数方程: 原式⇒⎨
y ′=0⎪⎩y (0)=1, (0)
⎧y ′′′−y ′=0, y ′′≠0⎧2y ′′y ′′′=2y ′y ′′
⇒⎨⇒⎨
y ′=0, y ′′(0)=1⎩y (0)=1, (0)y ′=0, y ′′(0)=1⎩y (0)=1, (0)
⎧y =c 1e x +c 2e −x +c 3
. 利用初始条件得方程组: ⇒⎨
′′′y =0, y (0)=1⎩y (0)=1, (0)⎧c 1+c 2+c 3=1
⎧c 1=c 2=1/2⎪
. ⇒⎨c 1−c 2=0⇒⎨
⎩c 3=0⎪c +c =1
⎩12
e x +e −x
=c h x , 则所求之解为y =
2
【注】1. 几何:求曲线方程。通常这类方程含有定解条件。切线、法线、斜率、曲率、弧长、面积等几何量常常会出现在题中。 例6.33, 质量为m 一辆汽车在公路上高速行驶,遇情况急刹车,此时速度达v 0,刹车后滑行s 0后停下。刹车后滑行阻力f 为常数. 假设空气阻力与速度的平方成正比,比例系数为c 。试求f =?
2
⎧d 2s ⎛ds ⎞2
c v 0⎪m 2=−f −c ⎜⎟
解:(1) 列方程:⎨dt ) ⎝dt ⎠(f =2c s
0m ⎪s (0)=0, s ′(0)=v −1e 0⎩
dv f ⎧
=−dt ⎪2
c v f m 1+⇒ (2)解方程 【解1】原式⎨
⎪v (0)=v
0⎩
⎧⎞f
⎟=−(
t +c 1)⎪v (t ) =⎟m ⎪⎠
⇒⎨⇒⎞⎪⎛⎪
c =c ⎪tan ⎜⎪10⎟⎟⎜⎠
⎩⎩⎝⎞m ⎛s (
t )=ln ⎜t +c 1) ⎟+c 2
⎜⎟c ⎝⎠
⎞⎞m ⎛m ⎛
s
(0)=0⇒c 2=−ln ⎜1⎟⇒c 2=ln ⎜1⎟
⎟⎜⎟c ⎜c ⎝
⎠⎝⎠⎞s ′(
t )=tan t +c 1) ⎟
⎟⎝⎠
⎞t +c 1)⎟
⎟⎝⎠
⎞
s ′
(0)=v 0⇒tan =−v 1⎟⎟⎝
⎠⎞⇒sec 1⎟=⎟⎝⎠0=s ′(
)=; ⎞+c 1) ⎟
⎟⎝⎠
⎞⎞
⇒0=tan c 1) ⎟⇒sec +c 1) ⎟=1.
⎟⎟⎝
⎠⎝⎠⎞m ⎛
s 0=s (
)=ln ⎜c 1) ⎟+c 2
⎟c ⎜m ⎝
⎠⎞m ⎛
⇒s 0=c 2=ln ⎜1⎟
⎜⎟c ⎝⎠
m ⇒s 0=ln c 2
cv 0 ⇒f =2cs 0
e n −1
dv 2⎧dv ⎧
m f c v m v =−−=−f −c v 2()⎪⎪
【解2】 ⎨dt ⇒⎨ds
⎪⎪⎩v (0)=v 0⎩v (0)=v 0
⎧d (v 2)2c 2f 2c
s f f ⎪⎛⎞+(v 2)=−22m
v v e ⇒=+− ⇒⎨ds ⎜0⎟m m c c ⎝⎠⎪v (0)=v
0⎩
c 2c 2
s 0s 0⎛2⎞f c v 02m m
⇒f =2c v (s 0)=0⇒⎜e −1⎟=v 0⋅e
s 0c ⎝⎠e m −1
注意震动问题如何列方程?
质量为m 质点挂在一弹簧上,弹簧的弹性系数为k . 质点开始平衡不动,今向下拉使弹簧有伸长δ,然后突然松开让质点上、下震动. 假设一:空气阻力与速度成正比,比例系数为c .试求质点位移规律。 假设二:空气阻力与速度的平方成正比,比例系数为c 。试求质点位移规律。
列方程:先建坐标系,向上为正,平衡点为原点,位移为x (t ) .
⎧d 2x dx ⎪m 2=−k x −c
假设一:⎨dt dt ;
⎪x (0)=−δ, x ′(0)=0⎩
d 2x ⎛dx ⎞
假设二:向上运动时的方程:m 2=−k x −c ⎜⎟;
dt ⎝dt ⎠
d 2x ⎛dx ⎞
向下运动时的方程:m 2=−k x +c ⎜⎟.
dt dt ⎝⎠
例6.34, 一容器总高为H , 在高度为h 处的断面面积为S =S (h ), 在底部有一面积为s
022
v =μ2gh 问多久水将流尽? 【解】设y 轴方向为水深
z 列方程:微元平衡分析, t 到t +dt 水深变化dy 引起的水量变化 = dt 时间内流出的水量
⎧⎪−S (y )dy =μ2gy dt 即:⎨
⎪⎩y (0)=h
z 解方程:这里未知函数是y =y (t ),S (y )已知
−S (y )dy
y t =
1
y
=μ2g dt , ∫
h
h
−S (y )y
t
dy =∫μ2g dt ,
μ
∫2g
y
S (y )y
dy 。
V
,6
例6.35, 某湖泊水量为V ,每年入湖含污物A 的污水,入湖污水量入湖不含A 的水量为
V V
, 流出量。己知1999年底湖中有污物5m 0,63
超过国家标准。为治污从2000年初开始,限定入湖污水含A 浓度不超过
m 0
,问多少年后湖中含污物的量降至m 0。 V
【解】m (t ) 分别表示第t 年湖内污物A 总量,
t →t +dt 时段内,
污物A 的的增量 = 污物A 的排入量-污物A 的排出量,
⎧dm m 0V m V
=−m 0V m V ⎪
即:Δm =⋅Δt −⋅Δt ⇒⎨dt V 6V 3
V 6V 3⎪⎩m (0)=5m 0
−−m m 9
m =0−ce 3, m =0+m 0e 3, m =m 0, t =6ln 3.
222
t
t
6.7差分方程介绍
(1) 线性常系数差分方程 设未知数列y n , n =0. 1, 2, ,则 z
a n y n +1+b n y n =f n ,若f n ≠0,称为一阶线性非齐次差分方程; a n y n +1+b n y n =0, 称为一阶线性齐次差分方程,
若a n =a , b n =b 为常数,则称为一阶常系数线性齐次差分方程. z
a n y n +2+b n y n +1+c n =f n , 若f n ≠0,
称为二阶线性非齐次差分方程;
a n y n +2+b n y n +1+c n =0, 称为二阶线性齐次差分方程,
若a n =a , b n =b , c n =c 为常数,则称为二阶常系数线性齐次差分方程. 差分方程初始值问题
⎧a n y n +1+b n y n =f n ⎧a n y n +2+b n y n +1+c n =f n
, ⎨. ⎨
⎩y 0=α⎩y 0=α, y 1=β
(2) 一、二阶线性常系数齐次差分方程的解法
使差分方程成为关于n 的恒等式的数列y n , n =0. 1, 2, 称为相应差分方程之解。与微分方程类似,也有通解, 特解之说。
特别是对线性差分之程,有完全类似于线性微分方程解的结构理论。
⎧y n +1−py n =0⎧y n +1=py n (1) 一阶方程:⎨⇒y n =p n y 0. ⇒⎨
⎩y 0=y 0⎩y 0=y 0
(2) 二阶方程:⎨
⎧y n +2+py n +1+q =0k
.令y k =λ, 代入方程,
⎩y 0=y 0, y 1=y 1
得特征方程: λ+p λ+q =0, 设有二根λ1, λ2, 则一般解: y n =c 1λ1+c 2λ2.
n
n
2
⎧2y n +2−3y n +1+x n =0
. 例1解差分方程⎨
y =2, y =201⎩0
觧:特征方程: 2λ−3λ+1=0, (2λ−1)(λ−1)=0,
2
n
⎧c +c =1/21⎛1⎞
λ1=1, λ2=, y n =c 1+c 2⎜⎟. 由初始条件得⎨12
2⎝2⎠⎩c 1+c 22=13/20
4343⎛1⎞
⇒c 1=, c 2=−⇒y n =−⎜⎟.
510510⎝2⎠
例2 斐波拉契数⎨
n
⎧x n +2=x n +1+x n
⎩x 0=x 1=1
2
觧:特征方程: λ−λ−1=
0, λ1=
n
n
1+1−,
, λ2=
22
⎛1+⎞⎛1−⎞
x n =c 2⎜⎜2⎟⎟+c 2⎜⎜2⎟⎟.由初始条件得:
⎝⎠⎝⎠
⎧⎪c 1+c 2=1
. ⇒c =c =⎨12
+=c 1c 122⎪
⎩1
(
(n +1n +1
⎡⎤⎞⎛⎞⎛11+1−⎟⎥ ⎟−⎜⎢⎜ x n =⎜⎟⎜2⎟⎢⎝2⎠⎠⎥⎝⎣⎦
例3 银行实行贷款购房业务,A 贷元,月利r ,n 个月本利还清,
在这n 个月内按复利计息,每月连本带息还x 元。
(1) 求 x =f (A , n , r ) 的关系式; (2) 记n 个月的平均利息v =
n x −A v ,求lim .
n →∞r n
n
⎧(1+r )−1. n ⎪A i =A i −1(1+r )−x
觧:⎨, A n =A (1+r )−x
r ⎪⎩A 0=A ⎧x n +1+αx n =n +1
⎪
例4 己知差分方程⎨的解x n 满是条件:α
=x ⎪0(1+α) 2⎩
⎛1⎞
⎟lim ⎜1+⎟=2,求常数α=? 。 n →+∞⎜x n ⎠⎝
觧:由差分方程解得: x n =
n
n
n αα+n (1+α)
+=
1+α(1+α) 2(1+α) 2
2
n
(1+α) 2n
n →∞α+n (1+α) lim
⎛⎛1⎞(1+α) ⎞⇒lim ⎜1+⎟=lim ⎜1+⎟=e n →∞n →∞(1) ααx n ++⎝⎠n ⎠⎝⇒e
1
1+α
=e
11+α
=2⇒α=
1
−1. ln 2
6.9 2008,2009,2010的考题
例1,08-1,2(3) 以y =C 1e +C 2cos 2x +C 3sin 2x (C 1, C 2, C 3 为任意常数)为通解的微分方程是( D )。
(A )y ′′′+y ′′−4y ′−4y =0 (B) y ′′′+y ′′+4y ′+4y =0
x
(C) y ′′′−y ′′−4y ′+4y =0 (D) y ′′′−y ′′+4y ′−4y =0 【解】特征方程为(λ−1)(λ+4) =λ−λ+4λ−4=0, 例2,08-1(9)-3(12, ) 微分方程x y ′+y =0满足条件y (1) =1 的特解是y =( ) 。 【解1】分离变量求解,
2
3
2
dy dx dy dx
=−⇒∫=−∫ y x y x
c
,由条件y (1) =1得 x c 1
⇒ln1=ln ⇒c =1解是y =。
x 1
1
( 注意: y =是不对的,多解了 )
x ⇒ln y =ln
【解2】分离变量求解,
y dy x dx dy dx
=−⇒∫=−∫11y x y x
11
⇒ln y =ln ,解是y =。
x x
⎧′1
⎧xy ′+y =0⎪y +y =0
【解3】 ⎨, 这是一阶线性齐次方程,⇒⎨x
y (1)1=⎩⎪⎩y (1)=1, x >0
观察出一个解y =
1c
,其一般解为y =, x x
c 1
由条件y (1) =1得⇒1=⇒c =1, 解是y =。
x 1⎧xy ′+y =0⎧(xy ) ′=0
⇒⎨
⎩y (1)=1⎩y (1)=1
x
【解4】 ⎨
⇒(x y (x ) )1=0⇒xy −1=0,解是y =
1
。 x
⎧xy ′+y =0⎧xdy +ydx =0⎧d (xy ) =0
【解5】 ⎨ ⇒⎨⇒⎨
=y (1)1=y (1)=1y (1)1⎩⎩⎩
⇒(x y (x ) )1=0⇒xy −1=0,解是y =
例3, 08数-2(10)(y +x e 【解1】 原方程化为
−
x
1。 x
2−x
) dx −xdy =0的通解是( )。
dy 1
−y =xe −x , 一阶线性非齐次方程. dx x
1dx 1dy 1∫x
u =e −y =xe −x =e −ln x =,
x dx x
y ⎛y ⎞′
⇒⎜⎟=e −x ⇒=−e −x +c , 得到y =Cx +xe −x 。
x ⎝x ⎠
【解2】 原方程化为 ydx −xdy +x e dx =0
2−x
ydx −xdy x 2e −x dx y
0⇒(−d (e −x ) =0 ⇒+=d 22
x x x
积分得到
y
−e −x =C , y =Cx +xe −x . x
2
⎧x =x (t ) ⎪
例4. 08-2(16)设y =y (x ) 由参数方程⎨确定,t
y =∫ln(1+u ) du ⎪0⎩
⎧dx −x
d 2y ⎪−2t e =0
其中x (t ) 是初值问题 ⎨dt 的解,求 。 2
dx ⎪=(0)1x ⎩
【解】(1) 先求x =x (t ) : 由
x
dx
−2te −x =0得e x dx =2tdt , dt
2
2
积分并由条件x t =0=0,得 e =1+t ,即 x =ln(1+t )
dy ln(1+t 2) ⋅2t dt d 2y
(2)再求: y ′===(1+t 2)ln(1+t 2) 2
dx dx dt 1+t 2
222
d 2y dy ′d ((1+t ) ln(1+t ) )(2t ln(1+t ) +2t )dt
== =
2t dx 2dx d (ln(1+t 2) dt 21+t
=(1+t 2) (ln(1+t 2) +1).
例5. 08-2(19)(本题满分10分)设f (x ) 是区间[0, +∞) 上具有连续导数的单调增加函数,且f (0) =1,对任意的t ∈[0, +∞) ,直线
x =0, x =t ,曲线y =f (x ) 以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋
转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的
2倍,求函数f (x ) 的表达式。
【解】: (1) 列方程:设y =y (x ) =
f (x ) ,
t t
2⎧⎪2∫0πy (x ) dx =∫
02πy (x , ⎨
⎪⎩y (0)=1, y ′(x ) ≥0
⎧y 2(x ) =y (x ⎧y 2=1+(y ′) 2⎪
⇒⎨⇒⎨.
′y (0)1, y (x ) 0=≥⎪⎩⎩y (0)=1, y ′(x ) ≥0
(2) 解方程:
⎧y ′=y ⎧y 2=1+(y ′) 2⎪
解1:⎨⇒⎨⇒∫1′⎩y (0)=1, y (x ) ≥
0⎪
⎩y (0)=1⇒ln y +=x , ln y −=−x
=∫
dx
x
(
(
x ⎧e x +e −x ⎪y +=e
⇒y ==sh x . ⇒⎨
−x 2⎪⎩y =e
⎧y 2=1+(y ′) 2⎧2yy ′=2y ′y ′′⎧y ′′−y =0
解2:⎨ ⇒⎨⇒⎨
′′==y (0)=1, y (0)=0y (0)1, y (0)0′⎩⎩y (0)=1, y (x ) ≥0⎩⎧y =c 1e x +c 2e −x ⎧y =c 1e x +c 2e −x e x +e −x
⇒⎨. ⇒y =⇒⎨
2⎩y (0)=1, y ′(0)=0⎩c 1=c 2=1/2
e x +e −x
验证解:函数y ==sh x 是在[0, +∞) 上具有连续导数的
2
单调增加函数, 而满足题设几何条件是显然的.
例6. 08-3(19)(本题满分10分) 设银行存款的年利率r =0. 05, 并依年复利计算。某基金会希望通过存款A 万元实现第一年取出19万元,第二年取出28万元,第n 年取出(10+9n ) 万元,并能按此规律提取下去,问A 至少为多少万元?
【解】设A n 为用于第n 年提取(10+9n ) 万元的贴现值,则
A n =(1+r ) 故 A =
−n
(10+9n )
=200+9
n =1
∑A n =
∞
∞
n =1(1+r )
∑
∞
10+9n
n
n =1(1+r )
∑
∞
n
n
设 S (x ) =
n =1
∑nx n , x ∈(−1, 1)
∑x n ) ′=
∞
因为 S (x ) =x (
x (1−x )
2
x ∈(−1, 1)
n =1
所以 S (
11
) =S () =420(万元) 1+r 1. 05
故 A =200+9×420=3980(万元)。
例7. 09-1(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程y ′′+a y ′+by =0的通解为y =(C 1+C 2x )e , 则非齐次方程y ′′+a y ′+by =x 满足条
x
件y (0)=2, y ′(0)=0的解为 。y =−xe +x +2
x
【解】由y =(c 1+c 2x )e , 得二阶常系数线性齐次微分方程
x
y ′′+a y ′+by =0的特征值λ1=λ2=1, 故a =−2, b =1,
要求解的微分方程为y ′′−2y ′+y =x 。
设特解y 0=Ax +B 代入微分方程为y ′′−2y ′+y =x , 得出−2A +Ax +B =x , A =1, B =2,
故微分方程为的y ′′−2y ′+y =x 特解: Y =x +2, 通解为 y =(c 1+c 2x )e +x +2.
x
代入初始条件y (0)=2,y ′(0)=0,得c 1=0, c 2=−1, 要求的解为y =−xe +x +2。
例8. 10-2 (2) 设y 1, y 2是一阶线性非齐次微分方程
x
y ′+p (x ) y =q (x ) 的两个特解,若常数λ,μ使λy 1+μy 2是该方程
的解,λy 1−μy 2是该方程对应的齐次方程的解,则 【A】
1111,μ=. (B) λ=-,μ=-. 22222122
(C) λ=μ=. (D) λ=,μ=.
3333
(A )λ=
解:λy 1+μy 2是y ′+p (x ) y =q (x ) 的解⇒λ+μ=1;
λy 1−μy 2是y ′+p (x ) y =0的解 ⇒λ−μ=0,
⎧λ+μ=11⇒⎨⇒λ=μ=.
2⎩λ−μ=0
例9. 10-2 (9) 微分方程y ′′′−2y ′′+y ′−2y =0的通解为
y = C 1e 2x +C 2cos x +C 3sin x
解:y ′′′−2y ′′+y ′−2y =0
⇒λ3−2λ2+λ−2=0⇒(λ2+1)(λ−2) =0 ⇒λ=2, ±i ⇒C 1e 2x +C 2cos x +C 3sin x .
例10. 09-2(18)(本题满分10分)设非负函数y =y (x )(x ≥0) 满足微分方程x y ′′−y ′+2=0,当曲线y =y (x ) 过原点时,其与直线x =1及y =0围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。
【解】(1) 先由方程x y ′′−y ′+2=0求y =y (x ), (x ≥0)
解法一:x y ′′−y ′+2=0,x y ′′−x y ′+2x =0,
上述方程为Euler 方程,记x =e , t 2
dy 1dy d 2y 1d 2y 1dy 则 ,2=2, −=dx x dt dx x dt 2x 2dt
d 2y dy t 2t t 2−2=−2e , y =C +C e +2e =C +C x +2x 12122dt dt
为微分方程的通解,其中C 1, C 2为任意常数。
又y =y (x ) 通过原点时与直线x =1及y =0围成平面区域的面积为2, 于是可得C 1=0;
1222=∫1
0y (x ) dx =∫0(2x +C 2x ) dx =(x +C 231C x ) 0=1+2 33
2从而C 2=3。于是,所求非负函数y =2x +3x (x ≥0) 。
(2) 再利几何条件 (定解条件) 确定常数
又由y =2x +3x 可得,在第一象限曲线y =f (x ) 表示为2
1x =(+3y −1) ,于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为3
V =5π−V 1,其中
1252π=π⋅V 1=∫5x dy 1) dy 00∫
9
π39=∫5+−=π (23y dy 0918
395117V =5π−π=π=π 18186
解法二:x y ′′−y ′+2=0为可降阶二次方程,记p =y ′,则 x p ′−p +2=0,dp dx ,p =2+C 1x , =p −2x
y =C 1+C 2x 2+2x . 后面同解法一。
解法三:先观察出x y ′′−y ′+2=0有特解Y =2x . 则原方程之解y (x ) 是xy ′′−y ′=0的通解x ) , 与Y =2x 之和, 即y (x ) =+2x . xy ′′−y ′=0的通解(x ) :
xy ′′−y ′=0⇒y ′′11=⇒(ln y ′)′= y ′x x
⇒ln y ′=ln c x ⇒y ′=c x ⇒y =c 1x 2+c 2.
y =c 1x 2+c 2+2x
例11. 09-2(20)(本题满分12分)设y =y (x ) 是区间(−π, π) 内过点(−π
2, π
2的光滑曲线,当−π
线都过原点;当0≤x ≤π时,函数y (x ) 满足
y ′′+y +x =0。求y (x ) 的表达式。
⎧⎪y ′=−x y , −π
:⎨, ⎪⎩y (−=−⎧y ′+y +x =0, 0≤x
⎧⎪y ′=−x y ⇔ydy =−xdx 解方程:(1) 当−π
2
2=π2, 代入y =−x +c 得c =π,即有 x +y =π;
(2) 当0≤x
22222
齐次方程 y ′′+y =0的通解为 y =c 1cos x +c 2sin x 。
令非齐次方程的特解为 y 1=Ax +b ,则有0+Ax +b +x =0, 得A =−1, b =0,y 1=−x . y ′′+y +x =0的通解为
y =c 1cos x +c 2sin x −x 。
(1) 光滑连接条件:由于y =y (x ) 是(−π, π) 内的光滑曲线,
故y 在x =0处连续,于是由 y (0) =±π, −y (0+) =c 1, 可得 c 1=±π时,y =y (x ) 在x =0处连续;
′(0) =−又当−π
′(0) =c 2−1,当0≤x
′(0) =y ′由y −+(0) 得c 2−1=0,即c 2=1。
⎧⎪−2−x 2−π
⎧⎪2−x 2−π
因为曲线过点(−π/2, π/2), 所以曲线方程为:
⎧⎪2−x 2−π
例12. 09-3(19)(本题满分10分)设曲线y =f (x ) ,其中f (x ) 是可导函数,且f (x ) >0,已知曲线y =f (x ) 与直线y =0, x =1及x =t (t >1) 所围成的曲边梯形,绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt 倍。求该曲线方程。
【解】(1) 列方程:旋转体的体积为
V =∫πf (x ) dx =π∫f (x ) 2dx 11t 2t
曲边梯形的面积为:S =
t 2t ∫
t t 1f (x ) 2dx ,于是可得到 π∫f (x ) dx =πt ∫f (x ) 2dx . 11得积分方程:∫t
1f (x ) 2dx =t ∫f (x ) dx , 1
2两边对t 求导得 f (t ) =∫f (x ) dx +tf (t ) 1t
再求导得 2f (t ) f ′(t ) −f (t ) −t f ′(t ) =f (t ) ;
又在 f (t ) −tf (t ) =
22∫t 1f (t ) dx 中令t =1, 得到f (1) −f (1) =0,即得又f (t ) >0,
因此f (1) =1。微分方程及条件:
⎧dt 1t =1⎧(2f (t ) −t ) f ′(t ) =2f (t ) ⎪+⇒⎨dy 2y ⎨f (1)1=⎩⎪t (1)=1⎩
(2) 解方程
通解为 t =c ⋅y −1
2−221+y , 代入t =cy 2+y , 得c =, 3331
解为 t =11(+2y ) . 3y
该曲线方程为2y +1
y −3x =0. a =2。
x 例13. 10-1(15)(本题满分10分) 求y ′′−3y ′+2y =2xe 的通解。
解: 对应齐次方程y ′′−3y ′+2y =0, 特征根为r 1=1, r 2=2, 其通解为Y =C 1e +C 2e
设原方程的特解形式为 Y ∗′x 2x . =x (ax +b ) e x ,则
Y ∗′=(ax 2+(2a +b ) x ) e x ,
Y ∗′′=(ax 2+(4a +b ) x +2a +2b ) e x
代入原方程解得 a =−1, b =−2
故所求通解为 y =C 1e +C 2e x 2x −x (x +2) e x
例14,10-2(17)(本题满分11分) 设函数y =f (x ) 由参数方程
⎧x =2t +t 2, (t >−1) 所确定,其中ψ(t ) 具有2阶导数, ⎨⎩y =ψ(t )
d 2y 53=且ψ(1) =,ψ' (1)=6,已知,求函数ψ(t ). 2dx 24(1+t )
解: 因为 dy ψ′(t ) , =dx 2+2t
(2+2t ) ψ′′(t ) −2ψ′(t )
(1+t ) ψ′′(t ) −ψ′(t ) d 2y (2+2t ) 2
==324(1+t ) dx 2+2t
(1+t ) ψ′′(t ) −ψ′(t ) 3d 2y 3由题设 ,故 ==324(1+t ) 4(1+t ) 4(1+t ) dx
从而 (1+t ) ψ′′(t ) −ψ′(t ) =3(1+t ) , 2
1⎧′′ψ′(t ) =3(1+t ) (t ) −⎪即 ⎨ 1+t ⎪ψ(1)=5/2, ψ′(1)=6⎩
⎧′1u =3(1+t ) ⎪u −′设 u =ψ(t ) ,则有 ⎨ 1+t ⎪⎩u (1)=6
t t u ′1u (t ) ⎛u (t ) ⎞′=∫3dt ⇒−u =3⇒⎜⎟=3⇒1++1t (1+t ) (1+t ) 21t ⎝⎠t =1
⎧ψ′(t ) =u (t ) =3t (1+t ) u (t ) 6 ⇒−=3(t −1) ⇒⎨(1)5/2ψ=1+t 2⎩
t 3⇒ψ(t ) −5/2=∫3t (1+t ) dt ⇒ψ(t ) =t 2+t 3, (t >−1) 12