中考初中数学精讲精练--几何题如何添加辅助线

初中几何常见辅助线作法歌诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。 圆

角平分线平行线，等腰三角形来添。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 三角形中两中点，连接则成中位线。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 三角形中有中线，延长中线等中线。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 四边形 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 平行四边形出现，对称中心等分点。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 平行移动对角线，补成三角形常见。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 斜边上面作高线，比例中项一大片。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

初中数学证明题辅助线典型训练

一些几何问题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的补形来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原题的本质得到充分显示。通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法我们称之为补形法。它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三解形、平行四边形、圆都可以作为补形对象。现举几例： 一、补成三角形： 1、补成三角形：

例1：如图1，已知：E 为梯形ABCD 的腰CD 的中点；

求证：△ABE 的面积等于梯形ABCD 面积的一半。

分析：延长AE 交底边AC 延长线于F ，构造等面积三

角形。这也是梯形常用的添加辅助线的方法。

证明：由题意得，AE ＝EF

A D ∵DE ＝EF ∠AED ＝∠CEF

∴△CFE ≌△DAE

E 故有，S △BFE ＝S △ABE

∵由图可知，梯形面积等于

△CBE ＋△ADE ＋△ABE B 即，△CBE ＋△CFE ＋△ABE

＝△BFE ＋△ABE 图 1

＝△ABE ＋△ABE

＝2△ABE

即△ABE 面积等于梯形面积的一半

2：补成等腰三角形，

例 2 如图 2. 已知∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠1＝∠2，CE ⊥BD ，

求证：BD ＝2CE

分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现 CF ＝2CE ，再证 BD ＝CF 即证△ABD ≌△ACF 即可。

证明：由题意得

∵∠AED 与∠ADB 同为∠1的余角

∴∠AED ＝∠ADB ①

F 且∠BAD ＝∠C AF ＝90° ②

又已知AB ＝AC ③ A 故由①②③可得 E

RT △ABD ≌RT △ACF

因此有BD ＝CF 即BD ＝CF ＝CE ＋FE ④

B C ∵△FBC 关于BE 对称

∴FE ＝CE 图2 故④可写为BD ＝2CE 证毕

3. 补成直角三角形

例 3. 如图 3，在梯形 ABCD 中，AD ‖BC ，∠B ＋∠C ＝90°，F 、G 分别是 AD 、BC 的中点，若 BC ＝18，AD ＝8，

求 FG 的长。 E

分析：从∠B 、∠C 互余，

考虑将它们变为直角三角 D 形的角，故延长 BA 、CD ， F

要求 FG ，需求 EF 、EG 。

解：

G B

图3

4. 补成等边三角形

例 4. 图 4，△ABC 是等边三角形，延长 BC 至 D ，延长 BA 至 E ，使 AE ＝BD ，连结 CE 、ED 。

求证：EC ＝ED

分析：要证明 EC ＝ED ，通常要证∠ECD ＝∠EDC ，但难以实现。这样可采 用补形法即延长 BD 到 F ，使 BF ＝BE ，连结 EF 。

二、补成特殊的四边形 1. 补成平行四边形

例 5. 如图 5，四边形 ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且 E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，

求证：EF 和 GH 互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边 形 GEHF 是平行四边形。

证明：

2. 补成矩形

例 6. 如图 6，四边形 ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝200m ，CD ＝100m ，

求 AD 、BC 的长。

分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角 形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

图6

3. 补成菱形

例 7. 如图 7，凸五边形 ABCDE 中，∠A=∠B ＝120°，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝ DE ＝4，

求其面积

分析：延长 EA 、CB 交于 P ，根据题意易证四边形 PCDE 为菱形。

解：

图7

4. 补成正方形

例 8. 如图 8，在△ABC 中，AD ⊥BC 于 D ，∠BAC ＝45°，BD ＝3，DC ＝2。 求△ABC 的面积。

分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果 从题设∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方 形的信息，那么问题立即可以获解。

解：

图8

5. 补成梯形

例 9．如图 9，已知： G 是△ABC 中 BC 边上的中线的中点，L 是△ABC 外的一条直线，自 A 、B 、 1 C、G 向 L 作垂线，垂足分别为 A1、B1、C1、G1。

求证：GG1＝ 4 (2AA1＋BB1 ＋CC1) 。

分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形 来加以解决比较恰当，故过 D 作 DD1⊥L 于 D1，则 DD1 既是梯形 BB1C1C 的中 位线，又是梯形 DD1A1A 的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破， 使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。

证明：图9

三、巩固练习

1、在△ABC 中，AC=BC，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延长线于 E ，又 2AE=BD

求证：BE 平分∠ABC 。

2、如图，已知：在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在 BC 、CA 上，并且 AP 、BQ 分别 是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，

求证：BQ+AQ=AB+BP

3、已知：∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE ⊥BD ，

求证：∠ADB=∠CDE

4、设正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是 BC 边上的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记为 S 和t ，

求：S 2 －t 2 的值。