等价无穷小求极限
等价无穷小求极限
摘 要: 极限的计算方法多样灵活, 计算巧妙. 等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一. 在求和、差形式的函数极限, 1型函数的极限, 积分上限函数的极限等方面, 等价无穷小的替换具有很好的作用, 掌握并充分利用好它的性质, 往往会使一些复杂的问题简单化, 起到事半功倍的效果.
关键词:等价无穷小; 函数的极限; 级数收敛
Equivalent Infinitesimal in limit research
Abstract : The limits of the calculation methods are various flexible, clever calculation. Equivalent infinitesimal replacement is one of the important methods for limit. In sum, poor function limit, type function limit, the limit of integral upper limit function and so on, the equivalent infinitesimal replacement with good properties, grasp and make full use of the good properties, tend to make some complex problem is simplified, have twice the result with half the effort.
Keywords : Equivalent infinitesimal, The limit of the function, Replace, The series converges.
目 录
引言 .................................................... 1 1乘积因子等价无穷小的替换 . .............................. 2 2变上限积分的极限 ...................................... 3 3极限中含加减因子的等价无穷小替换 ....................... 4 41 型不定式极限的替换 ................................... 9 5级数敛散性的等价无穷小替换 . ........................... 11 6用洛必达法则求极限 ................................... 12 6.1 对非不定式极限使用洛必达法则 ............................... 13
6.2 过分依赖洛必达法则的优越性 ................................. 15 6.3洛必达法则与等无穷小替换的结合 ............................. `16 6.4 洛必达法则是充分条件而非必要条件............................ 15
7小结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16 8参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 17 9致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18
引 言
等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一,由于其便利快
捷,化繁为简, 它现在已经成为很多行业进行研究分析的一种重要工具。而且, 随着科学技术的迅速发展, 等价无穷小已经参与到越来越多的领域。
在高等数学中等价无穷小的性质虽然仅仅在“无穷小的比较”中出现过。但是, 在判定广义积分、级数的敛散性时,无穷小也表现出了很好的性质,这说明等价 无穷小量的性质正在逐步推广。
目前, 随着技术的进步及迅速发展, 社会各个领域中等价无穷小量的作用越来越突出,我们相信, 在不久的将来, 等价无穷小量将会延伸到更多领域, 并且会对我们人类产生更深远的影响。
虽然人们对等价无穷小量的研究范围逐渐扩大,研究形式日益广泛,研究内容日益深入,研究成果不断出新,但仍然存在许多问题等待我们新时期的学术爱好者去共同探讨, 一起解决,因此,对等价无穷小在求函数极限中的应用及推广的意义和作用还需要我们更加深入的去探讨去学习去研究。 理论和实际意义:
一、理论意义:(1)等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一,同时又是高等数学的重要组成部分,因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。(2)研究等价无穷小量在求极限中的应用, 有助于人们更系统,更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。(3) 等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法, 用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题, 达到化繁为简目的。
二、实际意义:(1)生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换, 从而简化计算。(2)等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式,从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。(3)用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具,它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。
等价无穷小求极限理论
1乘积因子等价无穷小的替换
定理1.1设f (x ) ﹑g (x ) ﹑h (x ) 是某一变化过程中的无穷小量, 极限
lim
g (x ) h (x )
,lim 都存在且不为零, 则当且仅当g (x ) 与h (x ) 为等价无穷小量时, 有 f (x ) f (x )
lim
g (x ) h (x )
=lim . f (x ) f (x )
g (x )
=1, h (x )
证明 :当g (x ) 与h (x ) 为等价无穷小量时, 即lim 则
lim
g (x ) g (x ) h (x ) h (x )
=lim ⋅=lim . f (x ) h (x ) f (x ) f (x )
反之, 若
lim
g (x ) h (x )
=lim =M (M ≠0), f (x ) f (x )
则有
lim
g (x ) h (x ) 11
=lim ⋅=M ⋅=1. h (x ) f (x ) M
f (x )
即g (x ) 与h (x ) 为等价无穷小量. 例1 lim
arctan x x 1
=lim =.
x →0sin 2x x →02x 2
定理 1.2 f (x ) ﹑f 1(x ) ﹑g (x ) ﹑g 1(x ) 是某一变化过程中的无穷小量, f (x ) ~f 1(x ), g (x ) ~g 1(x ) , 且极限lim
h (x ) g (x )
存在, 则 f (x )
h (x ) 1g (x ) h (x ) g (x )
l i . =l f 1(x ) f (x )
证明 :lim
h (x ) g 1(x ) h (x ) g 1(x ) f (x ) g (x )
=lim
f 1(x ) f 1(x ) f (x ) g (x )
h (x ) g (x ) f (x ) g 1(x )
⋅⋅
f (x ) f 1(x ) g (x ) g (x ) h (x ) g (x ) f (x )
⋅lim ⋅lim 1
f (x ) f 1(x ) g (x )
=lim
=lim
h (x ) g x ()
=l i .
f (x )
例2 求极限 lim
x →0
x ln(1+x )
. 2
sin x
解 :由于ln(1+x ) ~x ,sin 2x ~x 2, 则
x l n (+1x ) x ⋅x
=l i =. 1 l i 2x →0x →0x 2s i n x
2变上限积分的极限
常用的变上限积分的等价无穷小有:
⎰
x
tdt ~⎰
x
x 2
tan tdt ~⎰arcsin tdt ~⎰arctan tdt ~⎰ln(1+t ) dt ~⎰(e -1) dt ~
00002
x
x
x
x
t
x 3
⎰0(1-cos t ) dt ~6
x
⎰⎰
x
0x
⎡(1+x )α-1⎤dt ~αx 2⎣⎦2(a t -1) dt ~
12
x ln a 2
其中a >0, a ≠1
上述等式可以用洛比塔法则直接证明,证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小,由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小,即是:
'(→0, f x 存) 在,F (x ) →0, G (x →定理3 若当x →0, f (x ) )
,0, F x () ~G x (则
⎰
f (x )
F (t ) dt ~⎰
f x ()
G (x ) dt
.
⎰证明:lim ⎰
x →0
f (x ) f (x )
00
F (x ) dt G (t ) dt
=lim
f (x ) →o
⎰⎰
f (x )
0f (x ) 0
F (x ) dt G (x ) dt
=lim
F [f (x ) ]f '(x ) F [f (x ) ]
=lim =1
f (x ) →0G f (x ) f '(x ) f (x ) →0G f (x )
由此定理还可以得出如下结论,例如:
⎰⎰
tan x
0f (x )
sin t 2dt ~⎰
tan x
1
t 2dt =tan 3x (x →0)
3
f (x )
⎡(1+t )α-1⎤dt ~
⎰0⎣⎦
x 2
αtdt =
α
2
⎡⎤f (t ) (x →0, f (x ) →0) ⎣⎦2
⎰例10 求lim
x →0
(e t -1) 2dt
sin x o
⎰
t dt
2
3
⎰解 原式=lim
⎰
x →0
x 2
0sin x
t dt
04x 6
=lim =lim 4=0 x →01x →03x 3
t dt (sinx ) 4
4
16x 例 11
求x →0
1⎰0(1+t ) dt ln(1+x 6) x 6
解 原式=lim =lim =lim =48 2x →0x →011x →01-cos x t 1136
∙(1-cos x ) ∙x dt ⎰022368
x 6
3极限中含加减因子的等价无穷小替换
设α, α1, β, β1均为同一变化过程中的无穷小量. 定理3.1设α~α1, β~β1, 且lim (1)当m ≠1时, α-β~α1-β1; (2)当m ≠-1时, α+β~α1+β1. 证明 : (1)若有
α
=m , 若 β
αα-1
α-ββαβ
=lim β⋅=lim lim =m (m ≠1), lim
11α1-β1β-1β1⋅β1αβ又因为
β
.
β⋅-11β1
⋅
-1
⎛ααβ⎫
lim 1⋅⋅-1⎪=m -1≠0(m ≠1), ⎝αββ1⎭
于是有
lim
α-βm -1
=lim ⋅1=1,
α1-β11⋅m ⋅1-1
所以
α-β~α1-β1.
(2)若有
αα
+1
α+ββαβ
=lim β⋅=lim l i =m (m ≠-1), lim
11α1+β1β+1β1⋅β1αβ又因为
⎛ααβ⎫
lim 1⋅⋅+1⎪=m +1≠0(m ≠-1), ⎝αββ1⎭
β.
β⋅+11β1
⋅
+1
于是有
lim
α+βm +1
=lim ⋅1=1,
α1+β11⋅m ⋅1+1
所以
α+β~α1+β1.
推论3.1设α~α1, β~β1, γ~γ1, μ~μ1, 且lim
a αc γ
≠±1,lim ≠±1, a , b , c , d 为b βd μ
常数, 则当lim
a α1±b β1
存在时, 有
c γ1±d μ1
lim
a α±b β1a α±b β
=lim 1.
c γ±d μc γ1±d μ1
证明 :因为lim
⎛a α⎫⎛a α⎫a αa α
=lim 1≠±1⇒lim ±1⎪=lim 1±1⎪≠0 b βb β1⎝b β⎭⎝b β1⎭
⎛a α
l i m b β±⎝ ⇒
⎛a α1l i m ± ⎝b β1所以有
a αa α
±1~1±1. b βb β1
⎫
⎪1⎭=1 ⎫⎪1⎭
同理可证
c γc γ
±1~1±1. d μd μ1
从而有
a α1a α
±1±1
b βb βa α±b β1a α±b βb βb β
lim =lim ⋅=lim 1⋅1=lim 1.
c c c γ±d μc γ1±d μ11
±1d μ±1d μ1d μd μ1
例6 求极限
x →0
22
sin 2x 22x 22
=lim 2=≠1, 由定理3.1得
解 :因为lim
x →0sin 3x 2x →03x 3
x →0
22
2x 2-3x 2
=lim =-1. x →0x 2
例7 求极限 lim
1+sin x -cos x
.
x →0e 2x -1
1+sin x -cos x sin x +(1-cos x )
=lim
x →0x →0e 2x -1e 2x -1
x 2x x +1+
=lim =1 =lim
x →0x →02x 22
解 :lim
(α)定理3.2 α, β为同一变化过程中的无穷小量, 且β=ο, 则α±β~α.
βα±ββ
=0, 则 l i =l (i m ±) ααα
α±ββ
=lim (1±) =lim =1 αα
(α)证明:因为β=ο, 所以lim
即 α±β~α.
定理3.2说明了在求无穷小量代数和的极限时, 可以将阶数较高的无穷小量舍去, 从而能够简化计算.
注:两无穷小量代数和与较低阶无穷小量等阶. 可将此结果扩展为多个无穷小量, 如果有多个无穷小量都是比其中一个无穷小量高阶的无穷小量, 则他们的代数和与其中这个无穷小量等阶.
推论
3.2 若x →x 0时,
f (x ), g (x ), h (x ) 都是无穷小量, 且
f (x ) =ο(g (x )), g (x ) ~h (x ), 则
g (x ) ~[h (x ) +f (x ) ](x →x 0) .
证明 :因为f (x ) =ο(g (x )), g (x ) ~h (x ), (x →x 0) , 于是
lim
f (x ) h (x )
=0, lim =1.
x →x 0g (x ) g (x )
x →x 0
则
h (x )
+f (x ) h (x ) f (x )
=lim +lim =1+0=1.
x →x 0x →x 0g (x ) x →x 0g (x ) g (x ) lim
34例8 (1)求极限.
x →0
解:arcsin 3x ~x 3, ln (1+x 4) ~x 4
11
当x →0时 , tan 3x ~3x
1=-1~(cosx -1) ~x 2.
24
显然arcsin 3x 与ln (1+x 4)均为比2x 高阶的无穷小,
1为比tan 3x 高阶的无穷小量, 由定理易知:
2x +arcsin 3x -ln (1+x 4)~
2x 1+tan3x ~tan 3x ~3x
则
342x 2
=lim =. x →x →03x 3(2)求极限 lim
x →0
tan x -sin x
. 3
x
解 :在求此极限时, 不能用等价无穷小量sin x ~x , tan x ~x , 在求极限时, 只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代. 而在极限式的和、差运算中应用等价无穷小量代换时, 经常会丢失高阶无穷小量, 而引起错误.
解法一 :由泰勒公式可知:
1
tan x =x +x 3+ο(x 3)
31
sin x =x -x 3+ο(x 3)
6
这里ο(x 3) 是比x 3高阶的无穷小量, 于是
tan x -sin x =
13
x +ο(x 3) . 2
于是
x 3
tan x -sin x tan x -sin x =1. lim =lim =lim x →0x →0x →→0x 3x 3x 32
解法二: 当x →0时, 有tan x ~x ,1-cos x ~
12
x , 于是 2
2
x ⋅x tan x -sin x tan x (1-cos x ) =1. lim =lim =lim
x →0x →0x →0x 3x 3x 32
解法二说明了求“”型的极限时, 分子或分母是连乘或连除的形式时, 可以
0把分子或分母的某个函数用其等价无穷小来代换, 证毕.
注 定积分的本质上是和式的极限. 所以对一些和式的极限问题, 我们可以转化成求定积分的问题.
1⎛1
例9 求极限lim n 2+2+2n →∞
⎝n +1n +21⎛1
解 :令x n =n 2+22+
⎝n +1n +2
+1⎫
. 2⎪2n ⎭
11+⎫
1⎪+2⎪
⎪1+⎭
⎛
11⎫1
+2⎪=
2n ⎭n 1+⎝
2
+
2
+
(于是有
⎛
1 1
lim x n =lim
x →∞n n →∞
1+⎝=⎰
1
2
+
11+2
+
⎫
1⎪+2⎪
⎪1+⎭
(1π1
dx =arctan x |=. 001+x 24
1
例10 求极限lim ⎡(n +1)(n +2)x →∞n ⎣1解: 令x n =⎡(n +1)(n +2)⎣n ln x n =
(2n )⎤⎦
1
n
1n
.
(2n )⎤⎦
, 取对数得
1
ln (n +1)+ln (n +2)++ln 2n ⎤-ln n ⎡⎣⎦n 1
l n (n +)1-l n +(l n + =⎡)2-n l n +⎣n
+n l n 2-⎤⎦ n l n
=于是有
1⎡⎛1⎫2⎛⎫l n 1++l n + ⎪ ⎪+n ⎢n n ⎭⎝⎭⎣⎝
+
⎛n ⎫⎤
n 1 l +⎪⎥. n ⎦⎝⎭
lim ln x n =⎰ln (1+x )dx =x ln (1+x )|10-⎰
x →∞
1
x
=2ln 2-1 01+x
1
所以
1lim ⎡(n +1)(n +2)x →∞n ⎣
(2n )⎤⎦
1
n
=e 2ln 2-1=
4. e
4 1∞型不定式极限的替换
定义 重要极限lim(1+n ) n =e , 此类极限可归结为1∞型不定式极限.
x →∞
定理4.1假设lim u (x ) =0, 以及lim v (x ) =0, 并且lim
x →0
x →0
ln [1+u (x ) x →0
(x )
=M , 则有
lim [1+u (x ) ]
x →0
1v (x )
=e M .
证明 :由于函数ƒ(x ) =e x 在(-∞, +∞) 内连续, 因此得:
lim [1+u (x ) ]
x →0
1v (x )
=lim e
x →0
ln(1+u (x )) v (x )
=e
ln(1+u (x )) x →0v (x ) lim
=e M .
ln(e +e sin 2x ) ⎦例11 求极限 lim ⎡
x →0⎣
解 :将极限式做恒等变形:得
lim ⎡⎣ln(e +e sin 2x ) ⎦
x →0
2
x
1-cos x ⎤
.
2
x
⎤1-cos x
x
=lim ⎡1+ln (1+e sin 2x ) ⎤x →0
⎣⎦
,
由于当x →0时, 有ln(1+e sin 2x ) ~e sin 2x ~2ex , 又1-cos x ~x 2, 因此可得
2
lim ⎡ln(e +e sin 2x ) ⎦⎣
x →0
x
⎤x
=lim (1+2ex ) x
x →0
2ex ⋅x
=e x
=e 4e .
定理4.2如果在给定的x 的趋向下, u (x ) , v (x ) , α(x ) , β(x ) 都是无穷小, 并且
u (x ) ~α(x ) , v (x ) ~β(x ) , 则在x 的这种趋向下, 极限:
lim [1+u (x ) ]
证明 :由于
1. lim [1+u (x ) ]
1v (x )
1v (x )
=lim [1+α(x ) ]
1
β(x )
.
ln [1+u (x ) ]
=lim e
v (x )
=e
lim
ln [1+u (x ) ]v (x )
. (1)
又由于u (x ) ~α(x ) , v (x ) ~β(x ) , 有:ln [1+u (x ) ]~u (x ) ~α(x ) ~
ln [1+α(x ) ],
于是
e
l n (+u 1x (l i ) )
=e
+αl n x (1l () )
=lim ⎡⎣1+α(x ) ⎦
1
⎤(x )
. (2)
有(1)(2)两式, 定理得证.
推论4.1 如果在给定的x 的趋向下, u (x ) , α(x ) , β(x ) 都是无穷小, 且u (x ) ~
α(x ) , 则在x 的这种趋向下, 极限
11
lim [1+u (x ) ]β(x ) =lim [1+α(x ) ]β(x ) .
推论4.2 如果在给定的x 的趋向下, v (x ) , α(x ) , β(x ) 都是无穷小, 且
v (x )~β(x ), 则在x 的这种趋向下, 极限
11
lim [1+α(x ) ]v (x ) =lim [1+α(x ) ]β(x )
推论4.3 当x →0时, 下列条件成立: u (x )~ax α, v (x )~bx β, w (x )~cx γ, 其中
a , b , c 是非零常数, α, β, γ是正实数, 而且α+γ=β, 极限
lim ⎡⎣1+u (x )⎤⎦
例12 求极限lim tan n (π4+n ) .
n →∞
w (x )
v x =e .
ac b
解 :考虑到当n →∞时, n ~n , 应用推论1得:
n
⎛1+n ⎫n lim tan (π4+n ) =lim ⎪ n →∞n →∞1-n ⎝⎭
lim (1+n )
===e 2. 1lim(1-n ) n →∞n →∞
n →∞
lim(1+n ) n
n
n →∞
例13 求极限lim(sin
x →∞
21
+cos ) x . x x
11
解 :由于x →∞, 则→0, 做变量替换:t =, 则原式变为:lim(sin2t +cos t ) .
t →o x x
1
因为当t →0时, sin 2t ~2t ,cos t -1~-t 2, 则
2
cos t -1+sin 2t lim
t
1
-t 2+2t lim t
lim(sin2t +cos t )
t →0
=e =e =e 2.
5级数敛散性的等价无穷小替换
定理5.1设f (x ), g (x ) 为x →∞时的同号无穷小量, 且f (x ) ~g (x ), 则当
x →∞时, 级数∑f (n ) 与∑g (n ) 有相同的敛散性.
n =1
n =1
∞∞
证明: (1)当∑f (n ) 为正项级数时, 且f (x ) ~g (x ), f (x ) ~g (x ) ⇒lim
n =1
∞
x →∞
f (n )
=1⇒g (n )
对ε=
f (n ) 1
N 时, 有1-ε
g (n ) 2
∞∞
g (n ) 3g (n )
敛散性.
(2)当∑f (n ) 为负项级数时, 则有
n =1∞
f (n ) f (n ) f (n )
为正的, 即, 同(1)也=g (n ) g (n ) g (n )
可以得出具有相同的敛散性.
例14
求极限lim ∑
n +nk
.
k →∞k =13
n ∞
解: 令f (n , k ) =n +
nk , g (n , k ) =
1n 3+
~
1
(k →∞, n →∞) , 3n
于是
∞∞∞
n +nk n +nk 1k 11
lim ∑=lim ∑=lim +lim =0+= ∑∑322k →∞k →∞k →∞k →∞n n n 223k =1k =1k =1k =1
n +
∞
6用洛必达法则求极限
再求" "型的极限时,如果分子、分母是连乘、连除的形式时,可把分子或
0分母的某个函数用其等价无穷小来代 换,以简化计算过程;如果分子、分母是几个函数和、差的表达式时,我们不能元条件地对其中的某个函数进行代换。这时, 需要根据不同情况。从下边的方法中选择一种进行变形:一是把分子、分母进行整体代换;二是通过恒等变形把分子、分母转化为乘积,然后对其中的某个函数进行代换;三是按照下边 的定理进行计算;
6.1对非不定式极限使用洛必达法则.
e cos x
例15求极限lim .
x →0ln 1+sin x cos x
e e cos x
=lim 错解:lim
x →0x →0ln 1+sin x cos x
1+sin x
(-sin x )=0
.
∞0
洛必达法则只适用于" " 型与" " 型不定式, 而此例中分子的极限
∞0
lim e cos x =e , 不是不定式, 故不能使用洛必达法则.
x →0
(1+sin x )0ln (1+sin x )limln x →0
正解 :因为lim ===0. cos x cos x x →0e lim e e
x →0
e cos x 所以lim =∞.
x →0ln 1+sin x 6.2 过分依赖洛必达法则的优越性.
洛必达法则在求极限时有其优越性, 但如果不结合其他求极限的方法, 也会使某些极限的计算陷入复杂, 得不到结果, 至出现错误.
例16求极限lim
x →
π
2
x tan x
. tan 3x
∞
错解: 由于该题型为" " 型, 于是有
∞
x tan x x tan x +x sec 2x 2sec 2x +2x sec 2x tan x lim =lim =lim 2πtan 3x ππ3sec 3x 18sec 23x tan 3x x →x →x →
2
2
2
sec 2x +x sec 2x tan x =lim =2π9sec 3x tan 3x x →
2
.
因此,在使用洛必达法则求函数极限时,除了要逐步验证条件外,还要根据所求极限的特点,结合其它的极限求法,. 利用恒等变形, 使用洛必达法则, 并结合乘法法则, 可以得到, 保证计算的简捷性与准确性。 正解 :lim
x →
π
2
x tan x x sin x cos3x x sin x cos3x
. =lim =lim ⋅lim
tan3x x →πsin3x cos x x →πsin3x x →πcos x
2
2
2
上式中, 极限lim
x →
π
2
x sin x πcos3x
, 根据乘法法=-是存在的, 只需要求极限lim
πsin 3x 2cos x x →
2
则, 可得结果. lim
x →
π
2
cos3x 0
是" " 型极限, 可用洛必达法则, 故 cos x 0
'
cos3x )(x tan x x sin x cos3x x sin x π3π
lim =lim =lim ⋅lim =-⋅-3=. ()' πtan 3x πsin 3x cos x πsin 3x π22x →x →x →x →(cos x )
2
2
2
2
6.3洛必达法则与等无穷小替换的结合. 例17求极限 lim
x →0
(sin x -sinsin x )sin x .
x 4
解: lim
x →0
(sin x -sinsin x )sin x =lim (sin x -sinsin x )x
x 4
x →0
x 4
⎛1⎫cos x sin 2x ⎪
sin x -sinsin x )cos x (1-cossin x )(2=1. =lim =lim =lim
x →0x →0x →03x 26x 33x 2
对于一些函数求极限, 洛必达法则和等价无穷小结合运用, 往往能简化运算. 6.4洛必达法则是充分条件,而非必要条件 .
极 限
f '(x )
lim g 'x x →∞
存 在只 是
f (x )
lim g x x →∞
存 在的 充分 而非 必要 条件 ,极限
f '(x )
lim g 'x x →∞
不存在 ,不能 断定极 限
f (x )
lim g x x →∞
也 不存在.
x ±sin x
lim
x 例18: x →∞
x ±sin x
lim lim (1±cos x )x x →∞错解 : =x →∞,故原 极限 不存在 。 ∞
分析:本题虽是“∞”型不定式,但由于导数比的极限
x ±sinx )'(lim =lim
x →∞
x '
x →∞
(1±cosx )
x
不存在,故不能使用洛必达法则求 解.
lim
正解:
x →∞
(x ±sinx )=lim ⎛1±sinx ⎫=1±lim sinx =1
x →∞
⎝⎪x ⎭
x →∞
x
故,原极 限不存在。
分析:本题虽然注意到了验证法则的条件,但由于导数比 的极限是否存在无法判定,从而确认原极限不存在,这是错误的. 例19:
e x -e -x e x +e -x e x -e -x lim x -x =lim x -x =lim x -x x →∞e +e x →∞e -e x →∞e +e e x -e -x e x -e -2x
lim x -x =lim =1x →∞e +e x →∞1+e -2x
正 解 :
在求极限过程中,初学者往往对问题直接计算,造成计算量大,甚至死路一条,若平时学习注意积累一些必要的素材,对极限问题按所掌握的素材进行构造性的转换,利用等价无穷小进行化简,再结合洛比达法则,就很容易得答案了。从而有效地提高学生思维的开放性,增强其解决复杂问题的信心,激发学生学习高等数学的兴趣。
综上所述,我们看到等价无穷小的应用非常广泛,但还是要具体情况具体分析,同时结合洛比达法则,选择合理恰当的方法进行求解。
小 结
本文主要讨论了等价无穷小求极限的若干方法, 通过这些方法的研究,我们发现等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一, 在求和、差形式的函数极限, 1型函数的极限, 积分上限函数的极限等方面, 等价无穷小的替换具有很好的作用, 掌握了并充分利用好它的性质, 并给出了适当的证明和例题的验证。但是, 由于作者本人学术有限, 给出的性质及其证明在应用的范围方面肯定会有点窄, 还需要进一步研究和推广。
由于本人能力有限, 文中难免会出现一些错误, 望各位老师和同学多多指教。
致 谢
从开始进入论文的开课到论文的顺利完成, 整整经过了四个多月的时间. 在这几个月里, 有很多老师、同学、朋友给了我无数的帮助, 在这里我真心的谢谢他们!
首先感谢北方学院四年来对我的培养, 是我们的老师们教会了我学习的方法、锻炼了我思考的能力, 指明了我未来奋斗的方向, 使我进一步明确了人生的目标。
其次, 我要感谢我的指导老师张艳红老师, 她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样;张老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪. 在撰写整个毕业论文的过程当中, 张老师为我们考虑到了每一个细节, 为我们做好每一步的细心指导,对此, 我表示衷心地感谢. 没有祁老师, 我的论文也不可能这么顺利的完成。
最后, 我要感谢每一位给过我帮助的老师和同学, 在我撰写论文的过程当中同样给了我大量有益的建议, 在此向他们表示衷心地感谢, 感谢他们对我的支持和帮助。
参考文献
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