大学高等数学上册竞赛试卷与答案
命题人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A
高等数学竞赛（第一组） 试 卷
专业：
班级：
姓名： 学号：
一、选择题（40分）
1. 设x n ≤z n ≤y n ，且lim (y n -x n ) =0，则lim z n （ ）
n →∞
n →∞
(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在.
2. 设f (x ) 在x=a的某个邻域内有定义，则f (x ) 在x=a处可导的一个充分条件是 （ ）
1f(a+2h)-f(a+h)
存在
h →+∞h →0h h f(a+h)-f(a-h)f(a)-f(a-h)
存在 （D ）lim 存在 （C ）lim
h →0h →02h h
（A ）lim h [f (a +) -f (a )]存在 （B ）lim
3. 设ξ为f (x ) =arctan x 在[ 0, b ]上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则
lim
b →0
(A) 1 (B) 4. 若f '(x ) =
2
ξ2
b = （ ）
111 (C) (D) . 234
1
, (x >0) ，且f (1)=2，则f (x ) = （ ） x
1ln x +2 (C) (D) 2 (A) 2x (B)
2
2
2
5. 设D :x +y ≤a ，则I =
⎰⎰= （ ）
D
a 44
(A) 0 (B) (C) a
2
6. 若f (x ) 的二阶导数存在，且f ''(x ) >0, f (0)=0，则F (x ) =
(D) πa
4
f (x )
在0
(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值
7. 设L 是曲线y =x 2与直线y =x 所围成区域的整个边界曲线，f (x , y ) 是连续函数，则
曲线积分(A) (B) (C)
(D)
⎰
L
f (x , y ) ds = （ ）
1
⎰⎰⎰
1
01
f (x , x 2) dx +⎰f (x , x ) dx
2
10
01
f (x , x ) dx +⎰f (x , x
f (x , x 2+⎰f (x , x
01
01
⎰
-1
[f (x , x 2f (x , x dx
⎧x +3y +2z =-1
8. 设直线L ：⎨，平面π：4x -2y +z =2，则它们的位置关系是 （ ）.
2x -y -10z =-3⎩
（A ）L //π （B ）L 在π上 （C ）L ⊥π （D ）L 与π斜交
9. 设函数f (x ) 与g (x ) 在[0,1]上连续，且f (x ) ≤g (x ) ，则对任何c ∈(0,1)，有 （ ）
(A) (C)
10. 设f (x ) 为不恒等于零的奇函数，且f '(0)存在，则函数g (x ) =
(A) 在x =0处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点x =0
(C) 在x =0处右极限不存在 （D ）有可去间断点x =0
二、(10分）已知数列U n >0, 且U n =U n -1+U n -2，如果数列X n = c
12
f (t ) dt ≥1g (t ) dt
2
c
(B)
c
12
f (t ) dt ≤1g (t ) dt
2
c
⎰
1
c
f (t ) dt ≥⎰g (t ) dt (D)
c
1
⎰
1
c
f (t ) dt ≤⎰g (t ) dt
c
1
f (x )
（ ） x
U n
，且lim X n =A 存在，求A
n →∞U n +1
三、（10分）设f (x ) =lim
n →∞
x 2n -1+ax 2+bx
x
2n
+1
(n ∈N ) ，试确定a 、b 的值，使lim f (x ) 与lim f (x ) 都存在.
x →1
x →-1
四、（10分）设f (x ) 连续且
五、（10分）设A =2a +b , B =ka +b ，其中 （1）k 为何值时，A ⊥B ；
（2）k 为何值时，以A 和B 为邻边的平行四边形面积为6。 212
tf (2x -t ) dt =arctan x f (1)=1，已知，求⎰0⎰1f (x ) dx 2x
a =1, b =2, 且a ⊥b ，问：
六（10分）设函数z =f (x , y ) 在点（1，1）处可微，且f (1,1)=1,
∂f ∂f
=2, =3, ϕ(x ) =f (x , f (x , x )) ，求
d 3
dx ϕ(x ) x =1
七（10分）计算I =
⎰⎰(x 2c o αs +y 2c o βs +z 2c γo s d ，∑
cos α,cos β,cos γ是此曲面的外法向量的方向余弦。
∂x (1,1)∂y (1,1)
其中∑是x 2+y 2=z (2
0≤z ≤h ) s ) ,
命题人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A
高等数学竞赛 试 卷
专业：
班级：
姓名： 学号：
一、选择题（40分）
1. 设x n ≤z n ≤y n ，且lim (y n -x n ) =0，则lim z n （ C ）
n →∞
n →∞
(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在.
2. 设f (x ) 在x=a的某个邻域内有定义，则f (x ) 在x=a处可导的一个充分条件是 （ D ）
1f(a+2h)-f(a+h)
存在
h →+∞h →0h h f(a+h)-f(a-h)f(a)-f(a-h)
存在 （D ）lim 存在 （C ）lim
h →0h →02h h
（A ）lim h [f (a +) -f (a )]存在 （B ）lim
3. 设ξ为f (x ) =arctan x 在[ 0, b ]上应用拉格朗日中值定理的“中值”
，则 lim
b →0
(A) 1 (B) 4. 若f '(x ) =
2
ξ2
b = （ C ）
111 (C) (D) . 234
1
, (x >0) ，且f (1)=2，则f (x ) = （ C ） x
1ln x +2 (C) (D) 2 (A) 2x (B)
2
2
2
5. 设D :x +y ≤a ，则I =
⎰⎰= （
B ）
D
a 44
(A) 0 (B) (C) a
2
6. 若f (x ) 的二阶导数存在，且f ''(x ) >0, f (0)=0，则F (x ) =
(D) πa
4
f (x )
在0
(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值
7. 设L 是曲线y =x 2与直线y =x 所围成区域的整个边界曲线，f (x , y ) 是连续函数，则
曲线积分(A) (B) (C)
⎧x +3y +2z =-1
8. 设直线L ：⎨，平面π：4x -2y +z =2，则它们的位置关系是 （ C ）.
2x -y -10z =-3⎩
⎰
L
f (x , y ) ds = （ D ）
1
⎰⎰⎰
1
01
f (x , x 2) dx +⎰f (x , x ) dx
2
10
01
f (x , x ) dx +⎰f (x , x
f (x , x 2+⎰f (x , x
01
01
(D)
⎰
-1
[f (x , x 2f (x , x dx
（A ）L //π （B ）L 在π上 （C ）L ⊥π （D ）L 与π斜交
9. 设函数f (x ) 与g (x ) 在[0,1]上连续，且f (x ) ≤g (x ) ，则对任何c ∈(0,1)，有 （ D ）
(A) (C)
10. 设f (x ) 为不恒等于零的奇函数，且f '(0)存在，则函数g (x ) =
(A) 在x =0处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点x =0
(C) 在x =0处右极限不存在 （D ）有可去间断点x =0
二、(10分）已知数列U n >0, 且U n =U n -1+U n -2，如果数列X n =
c
12
f (t ) dt ≥1g (t ) dt
2
c
(B)
c
12
f (t ) dt ≤1g (t ) dt
2
c
⎰
1
c
f (t ) dt ≥⎰g (t ) dt (D)
c
1
⎰
1
c
f (t ) dt ≤⎰g (t ) dt
c
1
f (x )
（ D ） x
U n
，且lim X n =A 存在，求A
n →∞U n +1
解：X n =
U n U n 11
===， U n +1U n +U n -11+n -11+X n -1
U n
12
，即A +A -1=0，
1+A
两边取极限得A =
解得A =
，
所以A =
三、（10分）设f (x ) =lim
n →∞
x 2n -1+ax 2+bx
x
2n
+1
(n ∈N ) ，试确定a 、b 的值，使lim f (x ) 与lim f (x ) 都存在.
x →1
x →-1
解：当|x |
n →∞
n →∞
当|x |>1时，f (x ) =
1
x
x →-1-
⎧1
x
⎪⎪
f (x ) =⎨ax 2+bx , -1
⎪1⎪, x >1, x ⎪⎩
lim f (x ) =-1,
x →-1+
lim f (x ) =a -b , a -b =1
x →1-
lim f (x ) =a +b ,
x →1+
lim f (x ) =1, a +b =1
所以 a =0，b =1。
四、（10分）设f (x ) 连续且
212
tf (2x -t ) dt =arctan x f (1)=1，已知，求f (x ) dx ⎰0⎰12x
解：令t =2x -s ，则
⎰
x
tf (2x -t ) dt =⎰(2x -s ) f (s )(-ds ) =2x ⎰
2x
x 2x
x
f (s ) ds -⎰sf (s ) ds
x
2x
已知条件化为 2x 求导并化简得 2
⎰
2x
x
f (s ) ds -⎰sf (s ) ds =
x
2x
1
arctan x 2， 2
x
f (s ) d +s 2x [2f (2-x ) f (-x ) ]⋅[2x 2f -(x 2) x ，) ] ⎰x
1+x 4
2x x
+xf (x ) 。 即 2⎰f (s ) ds =4x 1+x 2213
令 x =1，再利用f (1)=1，得 2⎰f (s ) ds =+1，即⎰f (x ) dx =
1124
2x
五、（10分）设A =2a +b , B =ka +b ，其中 （1）k 为何值时，A ⊥B ；
（2）k 为何值时，以A 和B 为邻边的平行四边形面积为6。 解：（1）为使A ⊥B ，则A ⋅B =0，即
a =1, b =2, 且a ⊥b ，问：
(2a +b )(ka +b ) =2k a +kb ⋅a +2b ⋅a +b
=2k a +k |b ||a |cos
2
22
π
2
=2k +k ⋅2+2⋅2+4=4k +8=0
+2|b ||a |cos
π
2
+b
2
所以 k =-2
S =|A ⨯B |=|(2a +b ) ⨯(ka +b ) |=|2k (a ⨯a ) +k (b ⨯a ) +2(a ⨯b ) +(b ⨯b ) |
（2）
=|(k -2)(b -a ) |=|k -2||b ||a |sin =2|k -2|=6
π
2
解得 k =5或k =-1
六（10分）设函数z =f (x , y ) 在点（1，1）处可微，且f (1,1)=1,
∂f ∂f
=2, =3, ∂x (1,1)∂y (1,1)
ϕ(x ) =f (x , f (x , x )) ，求
d 3
ϕ(x ) dx x =1
解：由题设ϕ(1)=f (1,f (1,1))=f (1,1)=1，
d 3d ϕ
ϕ(x ) =3ϕ2(x ) dx dx x =1
x =1
=3[f 1'(x , f (x , x ) +f 2'(x , f (x , x )(f 1'(x , x ) +f 2'(x , x ))]x =1 =3[2+3（2+3）]=51
七（10分）计算I =
222
(x c o αs +y c o βs +z ⎰⎰∑
2
c γo s d ，s ) 其中∑是x 2+y 2=z (0≤z ≤h ) ,
cos α,cos β,cos γ是此曲面的外法向量的方向余弦。
解：方法一：
⎰⎰x
∑
2
cos αds =⎰⎰x 2dydz =
∑
∑前
⎰⎰x dydz +⎰⎰x dydz
∑后
22
=⎰⎰(z 2-y 2) dydz -⎰⎰(z 2-y 2) dydz =0
D yz
D yz
；
同理
2
y ⎰⎰cos βds =0； ∑
所以 I =
⎰⎰z
∑
2
cos γds =⎰⎰z 2dxdy =-⎰⎰(x 2+y 2) dxdy
∑
D xy
=-
2
x +y 2≤h 2
⎰⎰(x 2+y 2) dxdy =-⎰d θ⎰r 3dr =-
2πh
π
2
h 4
方法二：利用高斯公式，添加平面z =h ，因x 2+y 2≤h 2，取上侧。 I = =
∑+∑1
⎰⎰
Ω
x 2dydz +y 2dzdx +z 2dxdy -⎰⎰ x 2dydz +y 2dzdx +z 2dxdy
∑1
2
(2x +2y +2z ) dv -z ⎰⎰⎰⎰⎰dxdy
∑1
=2
⎰⎰⎰zdv -h ⎰⎰dxdy =2⎰
Ω
∑1
2
2π
d θ⎰rdr ⎰zdz -h 2⋅πh 2
r
h h
π
2
h 4-πh 4=-
π
2
h 4。