南京金陵中学2012年高考数学预测卷2

南京金陵中学2011年高考数学预测卷2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．命题“若一个数是负数，则它的平方数正数”的逆命题是．

2．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，MU，ðUM＝{5，7}，则实数a＝ 3．某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为 a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则乙生产线生产了 4．若f(x)＝asin(x)＋3sin(x



4

4

)是偶函数，则实数a＝

5．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 ．

6．如右图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程为y＝－x＋5，则f(3)－f/(3)＝． 7．定义某种新运算：S＝ab的运算原理如图所示，则54－36＝



8．如图，四边形ABCD中，若AC

BD＝1，则(AB+DC)(AC+BD)＝ ．

9．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ． 10．若A，B，C为△ABC的三个内角，则

14＋的最小值为 ． ABC

x2y2

11．双曲线22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30的直线交双曲

ab

线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝．

12．在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |x2＋y2≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，3x－4y≥0}，

y1)∈A，y2)∈B}所表示的区域的面积为则点集Q＝{( x，y) |x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，(x1，(x2，

13．已知函数f(x)＝x3＋(a1)x2＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是 ．

14．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数， 如：[1.5]＝1，[1.3]＝－2．当

x∈[0，n)(n∈N)时，设函数f(x)的值域为A，记集合A中的元素个数为an，则式子

an90

的n

最小值为 ．

二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．

3

（1）若ABBC＝，b

a＋c的值；

2

（2）求2sinAsinC的取值范围． 16．（本小题满分14分）

如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD

． （1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求点E到平面ACD的距离．

17．（本小题满分14分）

如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函

)；

数y＝Asin(x)(A＞0，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高点为B(－1

＞0＜＜)，



2

． （1）求CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧DE

，的值和∠DOE的值；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路

AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE＝，求当“矩形草坪”的面积最大时的值．

18．（本小题满分16分）

在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为圆M．

（1）如果圆M的半径为1，l与圆M切于点C (

3

，1

)，求直线l的方程；

2

（2）如果圆M的半径为1，证明：当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一个三角

形；

（3）如果l的方程为x＋y－2

0，P为圆M上任一点，求PA2＋PB2＋PO2的最值．

（变式）已知圆心角为120的扇形AOB的半径为1，C为AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB

o

上。若CDCEDE

222

26

,则ODOE的最大值是9

解析：考查函数思想、最值问题解法，以及解三角形的知识。 设ODx,OEy，

（解法一）由余弦定理得CDx1x，CE2y21y，

2

2

B

DE2x2y2xy，

由CDCEDE

2

2

2

26822

得：2(xy)(xy)xy， A9988xy22

)，解得 ∴2(xy)(xy)3xy3(

992

442

0xy，所以xy时，xy的最大值为。

333

22226

（解法二）(ODOC)(OEOC)(OEOD)，

9

22882(ODOE)(|OD||OE|)|OD||OE|，2(x2y2)(xy)xy以下同解法一。

99，

822

（解法三，小题小做）以上同，2(xy)(xy)xy，由于x,y具有可交换性，当xy

9

4822

时，xy最大，即5x2x0,x。ODOE最大值是。

393

19．（本小题满分16分）

已知数列an满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N都有a2m1＋a2n1＝2amn1＋2(mn)2

（1）求a3，a5；（2）设bn＝a2n1－a2n1( n∈N)，证明：bn是等差数列； （3）设cn＝(an1－an)qn1( q≠0，n∈N)，求数列的前n项的和Sn．

20．（本小题满分16分）

对于函数y＝f(x)，x∈(0，)，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f(a)，f(b)，f(c)也是一个三角形的三边长， 则称函数f(x)为“保三角形函数”．

对于函数y＝g(x)，x∈[0，)，如果a，b，c是任意的非负实数，都有g(a)，g(b)，g(c)是一个三角形的三边长，则称函数g(x)为“恒三角形函数”．

（1）判断三个函数“f1(x)＝x，f2(x

)f3(x)＝3x2(定义域均为x∈(0，))”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；

x2kx1

（2）若函数g(x)＝2，x∈[0，)是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；

xx1

（3）如果函数h(x)是定义在(0，)上的周期函数，且值域也为(0，)，试证明：h(x)既不

是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

答案解析

1．若一个数的平方是正数，则它是负数．解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为：“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

2．8．解析：由a－5＝3，得a＝8．

3．1000．解析：因为a，b，c构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3000件，所以乙生产线生产了1000件产品．

4．－3．解析：由f(x)是偶函数可知，f(x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，即asin(x＋3sin(x

5．



4

)



)＝asin(x)＋3sin(x)，化简得2a＝－6，a＝－3．

444



1

．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5＝25种，数字之和恰5

1

好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，所以数字和恰好等于4的概率是P＝．

5

6．3．解析：函数y＝f(x)的解析式未知，但可以由切线y＝－x＋5的方程求出f(3)＝2，而f/3()＝k切＝－1，故f(3)－f/(3)＝3．

7．1．解析：由题意知54＝5×(4＋1)＝25，36＝6×(3＋1)＝24，所以54－36＝1． 8．2．解析：(AB+DC)(AC+BD)＝(AC+CB+DB+BC)(AC+BD) ＝(AC+DB)(AC+BD)＝(AC-BD)(AC+BD)＝ACBD＝2． 9．1︰2︰3．解析：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为它们的表面积之比为1︰2︰3．

10．



2



2

1

，从而

2

9



．解析：因为A＋B＋C＝，且(A＋B＋C)·(

1BCA4

＋)＝5＋4·＋≥5

ABCABC

＋1BCA49

9，因此＋≥，当且仅当4·＝，即A＝2(B＋C)时ABCABC

等号成立．

11

解析：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30，F1F2＝2c，

2c，MF2＝2ctan30

．

cos30

c

所以2a＝MF1－MF

2

，故e＝

a

所以MF1＝

12．18＋．解析：如图所示，点集Q是由三段圆弧

以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：

1

SOPQ＋SOABP＋SPCDQ＋SOFEQ＋＝×4×3＋(3＋4＋5)×1＋＝18＋．

2

13．(－3，－2)．解析：由题意知，三个交点分别为(1，0)，(x1，0)，(x2，0)，且0＜x1＜1＜x2． 由f(1)＝0可知b＝－a－3，所以f(x)＝x3＋(a1)x2＋3x＋b＝(x－1)(x2＋ax＋a＋3)，故x2

＋ax＋a＋3＝0的两根分别在(0，1)，(1，)内．

g(0)0，令g(x)＝x2＋ax＋a＋3，则得－3＜a＜－2．

g(1)0，

14．13．解析：当x∈[0，1)时，f(x)＝[x[x]]＝[x0]＝0；

当x∈[1，2)时，f(x)＝[x[x]]＝[x1]＝[x]＝1；

当x∈[2，3)时，再将[2，3)等分成两段，x∈[2，)时，f(x)＝[x[x]]＝[x2]＝[2x]＝4；x∈[，3)时，f(x)＝[x[x]]＝[x2]＝[2x]＝5．

类似地，当x∈[3，4)时，还要将[3，4)等分成三段，又得3个函数值；将[4，5)等分成四段，得4个函数值，如此下去．当x∈[0，n)(n∈N)时，函数f(x)的值域中的元素个数为an＝1＋1＋2＋3＋4＋„＋(n－1)＝1＋＝13或n＝14时，

52

52

a90n9111n(n1)1182，于是n＝＋－＝(n所以当n)－，

22222nnn

an90

的最小值为13． n

15．解析：（1）因为A，B，C成等差数列，所以B＝



3

3313

因为ABBC＝，所以accos(B)＝，所以ac＝，即ac＝3．

2222

因为b

b2a2c22accosB，所以a2c2ac＝3，即(ac)23ac＝3． 所以(ac)2＝12，所以a＋c

＝．

．

12

C)

sinC＝CsinC)

sinCC．

23

2

因为0＜C＜C

∈(．

3

所以2sinA

sinC的取值范围是(．

（2）2sinAsinC＝2sin(

16．解析：（1）连结OC．因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD．因为BO＝DO，CB＝CD，所以CO⊥BD．

在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO

AC＝2，所以AO2CO2＝AC2，所以∠AOC＝90，即AO⊥OC．因为BDOC＝O，所以AO⊥平面BCD．

（2）设点E到平面ACD的距离为h．因为VEACD＝VACDE，所以hSACD＝AOSCDE．

1313

1在△ACD中，CA＝CD＝2，AD

S

ACD＝

2

AO

SCDE1

22而AO＝1，

SCDE＝，所以h＝2SACD

所以点E到平面ACD

1

．

． T2

17．解析：（1）依题意，得A

＝＝2，因为T＝，所以＝，所以y

＝x)．

444

3

当x＝－1

时，

)＝，由＜＜，得＝，所以＝．

44422

又x＝0时，y＝OC＝3，因为CD

COD＝



6

，从而∠DOE＝



3

．

（2）由（1）可知OD＝OP

＝，“矩形草坪”的面积 S

＝)



2sin)＝cossin2)

＝11

2cos2

)＝) 226

其中0＜＜



3

，所以当2



6

＝



2

，即＝



6

时，S最大．

x．所以l：y

＝

＋1．

（2）设A(a，0)，B(0，b) (a＞2，b＞2)，则l：bx＋ay－ab＝0．由题可得M (1，1)．

18．解析：（1）由题可得k

MCk

l＝所以点M到直线l的距离d

1，整理得(a－2)(b－2)＝2，即ab－2(a＋b)＋2＝0．于

是ab＋2＝2(a＋b)

≥

2

，ab≥6

＋当且仅当a＝b＝2

ab＝6

＋

所以面积S＝ab≥3

＋AOB为直角边长为2

周长L＝a＋b

(2

≥(22＝6

＋，此时△AOB为直角边长为2

所以此时的△AOB为同一个三角形．

（3）l的方程为x＋y－2

0，得A(2

0)，B(0，2

)，M：(x1)2＋(y1)2

＝1，设P(m，n)为圆上任一点，则(m1)2＋(n1)2＝1，m2＋n2＝2(m＋n)－1，

1

2

(mn2)2

(m1)＋(n1)＝1≥，2

m＋n≤2

2

2

2

PA2＋PB2＋PO2＝3m2＋3n2－(4

＋m＋n)

＋2(22＝(9

＋)－

(－2)(m＋n)．

当m＋n＝2

(PA2PB2PO2)max＝(9

＋)－

(2)( 2

)＝17

＋时，m＝n＝1

当m＋n＝2

时，(PA2PB2PO2)min＝(9

＋)－

(2)( 2

)＝9

＋时，m＝n＝1

19．解析：（1）由题意，令m＝2，n＝1，可得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得a5

＝2a3－a1＋8＝20．

（2）当n∈N时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n3＋a2n1＝2a2n1＋8，于是[a2(n1)1－a2(n1)1]－(a2n1－a2n1)＝8，即bn1－bn＝8．所以bn是公差为8的等差数列．

（3）由（1）（2）可知bn是首项b1＝a3－a1＝6，公差为8的等差数列，则bn＝8n－2，即a2n1

－a2n1＝8n－2．另由已知(令m＝1)可得，an＝

a2n1

－(n1)2．那么 2

an1－an＝

a2n1a2n18n2

－2n＋1＝－2n＋1＝2n，于是cn＝2nqn1．

22

当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋„＋2n＝n (n＋1)．

当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋„＋2n·qn1，两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2

＋6·q3＋„＋2n·qn．上述两式相减，得

(1q)Sn＝2(1qqq

2n1

1qn1(n1)qnqn1n

－2nq＝2， )－2nq＝2

1q1q

n

nqn1(n1)q1

所以Sn＝2．

(q1)2

n(n1)，

综上所述，Sn＝nqn1(n1)qn1

22(q1)

q1，

q1.

20．解析：（1）对于f1(x)＝x，它在(0，)上是增函数，不妨设a≤b≤c，则f1(a)≤f1(b)≤

f1(c)，因为a＋b＞c，所以f1(a)＋f1(b)＝a＋b＞c＝f1(c)，故f1(x)是“保三角形函数”．

对于f2(x

)(0，)上是增函数，，不妨设a≤b≤c，则f2(a)≤f2(b)≤f2(c)，因为a＋b＞c，所以f2(a)＋f2(b

)

＝f2(c)，故

． f2(x)是“保三角形函数”

对于f3(x)＝3x2，取a＝3，b＝3，c＝5，显然a，b，c是一个三角形的三边长，但因为f3(a)＋

f3(b)＝3(3232)＜352＝f3(c)，所以f3(a)，f3(b)，f3(c)不是三角形的三边长，故f3(x)不

是“保三角形函数”．

(k1)x

（2）解法1：因为g(x)＝1＋2，所以当x＝0时，g(x)＝1；当x＞0时，g(x)＝1＋

xx1

k1

． x1

x

①当k＝－1时，因为g(x)＝1，适合题意．

k1②当k＞－1时，因为g(x)＝1＋≤1

k＋2，所以g(x)∈(1，k2]．从

x1x－1时，g(x)∈[1，k2]．由1＋1＞k＋2，得k＜0，所以－1＜k＜0． k1③当k＜－1时，因为g(x)＝1＋≥1

＝k＋2，所以g(x)∈[k2，1)，从

x1xk20，33

而当k＞－1时，所以g(x)∈[k2，1]．由得，k＞，所以＜k＜－1．

22(k2)(k2)1

3

综上所述，所求k的取值范围是(，0)．

2

(2xk)(x2x1)(x2kx1)(2x1)(k1)(x1)(x1)/

解法2：因为g(x)＝＝，

(x2x1)2(x2x1)2

①当k＝－1时，因为g(x)＝1，适合题意．

②当k＞－1时，可知g(x)在[0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，而g(0)＝1，g(1)＝k＋2，且当x＞1时，g(x)＞1，所以此时g(x)∈[1，k2]．

③当k＜－1时，可知g(x)在[0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，而g(0)＝1，g(1)＝k＋2，且当x＞1时，g(x)＜1，所以此时g(x)∈[k2，1]．

（以下同解法1）

（3）①因为h(x)的值域是(0，)，所以存在正实数a，b，c，使得h(a)＝1，h(b)＝1，h(c)＝2，显然这样的h(a)，h(b)，h(c)不是一个三角形的三边长．

故h(x)不是“恒三角形函数”．

n2m

②因为h(x)的最小正周期为T(T＞0)，令a＝b＝m＋kT，c＝n，其中k∈N，且k＞，

2T

则a＋b＞c，又显然b＋c＞a，c＋a＞b，所以a，b，c是一个三角形的三边长．

但因为h(a)＝h(b)＝h(m)＝1，h(c)＝h(n)＝2，所以h(a)，h(b)，h(c)不是一个三角形的三

而当k

边长．

故h(x)也不是“保三角形函数”．

（说明：也可以先证h(x)不是“保三角形函数”，然后根据此知h(x)也不是“恒三角形函数”．）