因式分解方法

因式分解的常用方法

一、 提公因式法. a2-b2=(a+b)(a-b)；

a2±2ab+b2=(a±b)2；

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

二、运用公式法. a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

三、分组分解法. an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-„+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；

an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-„+abn-2-bn-1)，其中n为偶数； an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-„-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：amanbmbn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(aman)(bmbn)

=a(mn)b(mn) 每组之间还有公因式！

=(mn)(ab)

思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：2ax10ay5bybx 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax10ay)(5bybx) 原式=(2axbx)(10ay5by) =2a(x5y)b(x5y) =x(2ab)5y(2ab) =(x5y)(2ab) =(2ab)(x5y)

练习：分解因式1、a2abacbc 2、xyxy1 （二）分组后能直接运用公式

22

例3、分解因式：xyaxay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(xy)(axay) =(xy)(xy)a(xy) =(xy)(xya) 例4、分解因式：a2abbc

22222

解：原式=(a2abb)c =(ab)c=(abc)(abc) 注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、xx9y3y 4、xyz2yz 综合练习：

223223

（1）xxyxyy （2）axbxbxaxab

（3）x6xy9y16a8a1 （4）a6ab12b9b4a （5）a2aa9 （6）4ax4aybxby （7）x2xyxzyzy （8）a2ab2b2ab1 （9）y(y2)(m1)(m1) （10）(ac)(ac)b(b2a) （11）a(bc)b(ac)c(ab)2abc（12）abc3abc

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

22

4322222

22

333

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：x25x6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：x25x6=x2(23)x23 =(x2)(x3) 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：x27x6

解：原式=x2[(1)(6)]x(1)(6) 1 -1

=(x1)(x6) 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)x214x24 (2)a215a36 (3)x24x5

练习6、分解因式(1)x2x2 (2)y22y15 (3)x210x24 （二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc 条件：（1）aa1a2 a1 c1

（2）cc1c2 a2c2 （3）ba1c2a2c1 ba1c2a2c1 分解结果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)

例7、分解因式：3x211x10

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

2

解：3x11x10=(x2)(3x5)

练习7、分解因式：（1）5x7x6 （2）3x7x2 （3）10x17x3 （4）6y11y10 （三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：a8ab128b

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

8b+(-16b)= -8b

222

解：a8ab128b=a[8b(16b)]a8b(16b) =(a8b)(a16b)

练习8、分解因式(1)x3xy2y(2)m6mn8n(3)aab6b （四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x7xy6y 例10、xy3xy2

1 -2y 把xy看作一个整体 -1 2 -3y -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x2y)(2x3y) 解：原式=(xy1)(xy2)

2

2

2

2

2

2

22

22

22

2222

练习9、分解因式：（1）15x27xy4y2 （2）a2x26ax8 综合练习10、（1）8x67x31 （2）12x211xy15y2 （3）(xy)23(xy)10 （4）(ab)24a4b3 （5）x2y25x2y6x2 （6）m24mn4n23m6n2 （7）x24xy4y22x4y3（8）5(ab)223(a2b2)10(ab)2 （9）4x24xy6x3yy210（10）12(xy)211(x2y2)2(xy)2 思考：分解因式：abcx

2

222

(abc)xabc

五、主元法.

例11、分解因式：

x2

3xy

10

y2x9解法一：以x为主元 解：原式=x2x(3y1)(10y29y2) =(x5y2)(x2y1) -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)

解法二：以y为主元 1 -1 解：原式=10y2y(3x9)=[10y2(3x9)y=2 (x-1)

==(2yx1)(5yx2) 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)

练习11、分解因式(1)x2y24x6y5 (2)x2xy2y2x7y6 (3)x2xy6y2x13y6 (4)a2ab6b25a35b36

六、双十字相乘法。

定义：双十字相乘法用于对AxBxyCy

2

2

DxEyF型多项式的分解因式。

条件：（1）Aa1a2，Cc1c2，Ff1f2

（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D 即： a1 c1 f1

a2c2f2

a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D

则AxBxyCy

22

DxEyF(a1xc1yf1)(a2xc2f2)

2

2

2

2

例12、分解因式（1）x3xy10yx9y2 （2）xxy6yx13y6 解：（1）x3xy10yx9y2

应用双十字相乘法： x 5y 2

x 2y 1

2xy5xy3xy，5y4y9y，x2xx

2

2

∴原式=(x5y2)(x2y1)

（2）x2xy6y2x13y6

应用双十字相乘法： x 2y 3

x 2

3xy2xyxy，4y9y13y，2x3xx

∴原式=(x2y3)(x3y2)

练习12、分解因式（1）x2xy2y2x7y6 （2）6x27xy3y2xz7yz2z2

七、换元法。

例13、分解因式（1）2005x2(2005

2

1)x2005

（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2 解：（1）设2005=a，则原式=ax2(a21)xa =(ax1)(xa) =(2005x1)(x2005)

（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x27x6)(x25x6)x2

设x25x6A，则x27x6A2x ∴原式=(A2x)Ax2=A22Axx2 =(Ax)2=(x26x6)2

练习13、分解因式（1）(x2xyy2)24xy(x2y2)

（2）(x23x2)(4x28x3)90 （3）(a21)2(a25)24(a23)2

例14、分解因式（1）2x4x36x2x2

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=x(2xx6

设x

22

2

1x

2



1x1

22

)=x

2

2

2(x2



1x

2

)(x

1x

)6

1x

t，则x

2

2t2)t6=x2tt10 ∴原式=x（

2

2

x

t2

=x

2

2t5t2=x22x



2

2

1

5x2 xx

=x·2x



2



122

5·x·x2=2x5x2x2x1 xx

4

3

2

=(x1)(2x1)(x2)

（2）x4xx4x1

11122

xx4x1= 22

xxxx

1122

设xy，则x2y2

xx

解：原式=x2x24x1

4



∴原式=x

2

y

2

4y3=x



2

y1y3

=x2(x

1x

1)(x

1x

22

3)=xx1x3x1



练习14、（1）6x47x336x27x6（2）x42x3x212(xx2)

八、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）x33x24

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=x313x23 原式=x33x24x4x4

=(x1)(x2x1)3(x1)(x1) =x(x23x4)(4x4) =(x1)(x2x13x3) =x(x1)(x4)4(x1) =(x1)(x24x4) =(x1)(x24x4) =(x1)(x2)2 =(x1)(x2)2

（2）x9x6x33

解：原式=(x91)(x61)(x31)

=(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x31) =(x31)(x6x31x311) =(x1)(x2x1)(x62x33)

练习15、分解因式（1）x39x8 （2）(x1)4(x21)2(x1)4 （3）x47x21 （4）x4x22ax1a2 （5）x4y4(xy)4 （6）2a2b22a2c22b2c2a4b4c4

九、待定系数法。

例16、分解因式x2xy6y2x13y6

分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3ym)(x2yn)

解：设xxy6yx13y6=(x3ym)(x2yn)

∵(x3ym)(x2yn)=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn ∴xxy6yx13y6=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn mn1

m2

对比左右两边相同项的系数可得3n2m13，解得

n3mn6



∴原式=(x3y2)(x2y3)

2

2

2

2

2

2

2

2

例17、（1）当m为何值时，多项式xymx5y6能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果xaxbx8有两个因式为x1和x2，求ab的值。

（1）分析：前两项可以分解为(xy)(xy)，故此多项式分解的形式必为(xya)(xyb) 解：设xymx5y6=(xya)(xyb)

则xymx5y6=xy(ab)x(ba)yab abma2a2

比较对应的系数可得：ba5，解得：b3或b3

ab6m1m1

2

2

2

2

2

2

22

32

∴当m1时，原多项式可以分解；

当m1时，原式=(xy2)(xy3)； 当m1时，原式=(xy2)(xy3)

（2）分析：x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。

解：设x3ax2bx8=(x1)(x2)(xc)

则x3ax2bx8=x3(3c)x2(23c)x2c

a3ca7

∴b23c，解得b14， ∴ab=21 2c8c4

练习17、（1）分解因式x23xy10y2x9y2 （2）分解因式x23xy2y25x7y6

（3）已知：x22xy3y26x14yp能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。 （4）k为何值时，x22xyky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。