运动的合成与分解的基本原理

运动的合成与分解的基本原理 1、运动的独立性原理

任何一个分运动不会因其它运动而受到影响．

如：蜡烛在竖直方向上的速度不会因其水平速度的改变而改变，即只要竖直方向分速度vy不变，蜡块从底端到顶端的时间只由竖直速度决定．

如：小船渡河小船驶向对岸所用时间与水流速度大小无关，只由小船垂直流水方向驶向对岸的速度和河宽决定．

2、等时性原理：合运动与分运动同时发生，同时消失，合运动与分运动具有效时性．

3、等效性原理：分运动与合运动具有等效性． 四、两个直线运动的合成

①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动．

②一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动．

③两个初速为0的匀变速直线运动：.

④两个初速不为0的匀变速直线运动

运动的合成分解的应用 一、绳拉物体模型

例1、在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

命题意图：考查分析综合及推理能力，B级要求. 错解分析：

弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图所示分解，从而得出错解v物=v1=vcosθ

.

解法一：应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按如图所示进行分解

.

其中：v=v物cosθ，使绳子收缩.

v⊥=v物sinθ，使绳子绕定滑轮上的A点转动.

所以v物=

解法二：应用微元法

设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图所示.过C点作CD⊥AB，当Δt→0时，∠BAC极小，在△ACD中，可以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD，即为在Δt时间内绳子收缩的长度.

由图可知：BC=

①

由速度的定义：物体移动的速度为v物= ②

人拉绳子的速度v= ③

由①②③解之：v物=

例2、A、B质量均为m，且分别用轻绳连接跨过定滑轮，不计一切摩擦力．当用水平力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动过程中（ ）

A．物体A也做匀速直线运动

B．绳子拉力始终大于物体A所受重力 C．物体A的速度小于物体B的速度 D．地面对物体B的支持力逐渐增大 分析：

设物体B匀速速度为v，物体B的运动使绳子参与两种分运动：绳子沿定滑轮为圆心垂直于绳子转动，另一分运动是沿绳伸长的分运动，合运动就是物体以速度v向右匀速直线运动．

v1=vsinθ θ↓ sinθ↓ v1↓

vA=v2=vcosθ θ↓ cosθ↑ v2↑ 物体A作变加速运动 对B：Ty＋N=mg

开始时N

∴地面对物体B的支持力逐渐增大．

例3、两光滑环AB

用不可伸长的轻绳相连，当线与竖直方向夹角为vA=4m/s, 求B沿杆方向的速度．

时，此时

vBcos37°=vAcos53°

二、小船渡河模型

一条宽为d的河流，河水流速为v1，船在静水中速度为v2．

（1）要使船划到对岸时间最短，船头应指向什么方向？最短时间为多少？ （2）要使船划对对岸的航程最短，船头指向什么方向？最短航程是多少？ 解：

①设船头斜向上游与河岸成θ角，这时船速v船在y方向的分量为v2′=v船sinθ=v2sinθ，

渡河时间为.

可见，在河宽d和船速v2一定情况下，渡河驶向对岸的时间t随sinθ的增大而减

小．当θ=90°时，sinθ=1（最大），即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且tmin=．

②求航程最短问题应根据v1和v2的大小关系分成以下三种情况讨论：

（i）当v2>v1时，即船头斜向上游与岸夹角为θ，船的合速度可垂直于河岸，航程最短为d，此时沿水流方向合速度为零．

v2cosθ=v1

即船头斜指向上游，与河岸夹角，船航线就是位移d．

渡河时间

（ii）当v2

位移越靠近垂直河岸的方向，位移越短，，船头与水平方向

上游夹角，最短航程，所花时间．

例1、如图所示，排球场地长为18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m的线上（图中用虚线表示）正对网前跳起将球水平击出（空气阻力不计）．

（1）设击球点在3m线正上方2.5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不能触网也不越界？

（2）若击球点在3m线正上方小于某一个值，那么无论以多大速度击球，球不是触网就是越界．试求这个高度． 解：

若击球水平速度过小，球可能触网；若击球水平速度过大，球可能越界．

（1）若刚好不触网，设击球速度为v1，则水平位移为3m的过程中， 水平方向：x=v1tv1t=3 ①

竖直方向： 由①②得：

②

同理刚好不越界，设击球速度为v2，则

则球既不能触网也不越界的速度满足

（2）设击球高度为H时，击出的球刚好触网或落在边界线上． 刚好不触网时：v0t1=3 ③

④

此时也刚好到达边界：v0t2=12 ⑤

⑥

由③④⑤⑥得：H=2.13m

即当击球高度小于2.13时，无论水平速度多大，球不是触网就是越界．

例2、从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为2s，在A点正上方距地面高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为s．两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度．

例3、如图示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：

（1）AB间的距离；

（2）物体在空中飞行的时间；

（3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间距离最大？ 解：

（1）水平位移：

（2）物体在空中飞行时间

（3）当小球作平抛运动轨迹上某一点速度与斜面平行时，该点离斜面距离最远．

方法①：

方法②：由分运动的独立性，把平抛运动分解成垂直斜面方向的分运动和平行于斜面方向的分运动的合运动．

v⊥=v0sin30°=

a⊥=gcos30°=

垂直斜面作初速为，加速度为的匀减速直线运动

平行于斜面作v11=v0cos30°=，a11=gcos60°=的匀加速直线运动

当在垂直斜面方向速度减为0时距斜面最远：

例5、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是（ ）

A．在B位置小球动能最大 B．在C位置小球动能最大

C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

解析：

小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。

从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。 A、D两位置动能均为零，重力做的正

例7、如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相平，当略有扰动时铁链一端下落，则铁链脱离滑轮的瞬间，其速度为多大？

图1 图2

解析：应用第一种表达式，取初态时铁链重心（即两段铁链中点）所在平面为零势能面。

由机械能守恒定律知

应用第二种表达式，铁链重心下降，减少的重力势能，而铁链增加的

动能

由机械能守恒定律得

例3、如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？解析：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。

注意：由于这里说的是光滑斜面，所以容易错认为物块本身机械能就守恒。这里要注意：（1）由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向

已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。

（2）由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。

运动的合成和分解里面的典型问题 （一）绳子拉船的问题

例5、如图所示，纤绳以恒定的速率v，沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是( )

A．v0＞v B．v0＜v

C．v0=v D．以上答案都不对

分析：首先要分析小船的运动与纤绳的运动之间有什么样的关系，即哪个是合运动，哪个是分运动． 解：设某一时刻船的瞬时速率v0与纤绳的夹角为θ，根据小船的实际运动方向就是合速度的方向可知，v0就是合速度，所以小船的运动可以看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它

不改变绳长，只改变角度θ的值．这样就可以将v0按如图所示方向进行分解，得：。

可见，小船向岸行驶的瞬时速度为，所以答案应选A。

答案：A

（二）船过河问题

例6、一条宽度为L的河流，水流速度为Vs,已知船在静水中的速度为Vc，那么： （1）怎样渡河时间最短？

（2）若Vc>Vs,怎样渡河位移最小？

（3）若Vc

分析与解：（1）如图甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河

岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：.

可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90 °时，sinθ=1,所以，当船头与

河岸垂直时，渡河时间最短，.

(2)如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0.

所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。 （3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.

船漂的最短距离为：.

此时渡河的最短位移为：.

（三）求解绳联物体的关联速度问题

对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。

例7、如图1所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2。

分析与解：如图2所示，甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1

圆周运动中的临界问题：

（1）如下图所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：

①临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用。由得。

注意：如果小球带电，且空间在在电、磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 ②能过最高点条件： ③不能过最高点条件：

（当

时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）．

（实际上球还没到最高点就脱离了轨道，脱离时绳、

轨道和球之间的拉力、压力为零）．

（2）如下图所示的有物体支撑的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的临界条件：

v＝0（有物体支承的小球不会脱落轨内，只要还有向前速度都能向前运动） （3）如上图（a）的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v=0时，N＝mg．（N为支持力，方向和指向圆心方向相反） ②当 0＜v＜ ③当v＝ ④当v＞

时，N随v增大而减小，且mg＞N＞0（N仍为支持力） 时，N=0．

时，N随v增大而增大，且N＞0（N为拉力，方向指向圆心）

注意：若是上图（b）的小球，此时将脱离轨道作平抛运动，因为轨道对它不能产生拉力

7、处理圆周运动的动力学问题时需要注意的两个问题：

在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：

（1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向．

例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如下图所示．小球做圆周运动的圆心O在与小球同一水平面上的O ′点，不在球心从也不在弹力FN所指的PO线上．

（2）向心力是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力 圆周运动的临界专题 （1）细线系球模型

细线系着小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，小球在最高点，受拉力T和重力G作用，即T+G=mv2/r，在T=0时，速度v最小为

，即此模型中最高点的速度v≥

。

与此模型等效的是小球在圆轨道内侧做圆周运动，如图5-5。如果在最高点速度小于

，重力提供此速度的向心力多了，小球将脱离轨道运动，其实小球在达最高点之

前就已经脱离了轨道。

（2）杆系球模型

轻杆连着小球在竖直面内做圆周运动，如图1所示，小球在最高点时的受力与速度的大小有关： A． v= B．v＞C．v＜

，重力正好作此速度的向心力，小球不受杆的其它作用力。 ，重力作此速度的向心力少了，小球受杆的拉力补充重力的不足。 ，重力作此速度的向心力多了，小球受杆的支持力，抵消多余的重力

图1 图2 与此等效的模型是小球在圆管内作圆周运动，如图2所示。

例2、如图所示，0.5米长的轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，m=1kg，不计一切摩擦，求

（1）最低点速度为4m/s时，球能否上升到最高点，如能，则小球受到的杆的作用力为多大？ （2）最低点速度为

m/s，物体在最低点和最高点受杆力的大小和方向个为多大？

（3）最低点速度为6m/s，物体在最高点受杆的作用力为多大？

解析：要判断质点能否达最高点的方法是：假设能到最高点，求其速度，如有不为0的解，则假设正确；如有为0的解，说明刚好达最高点；速度无解，说明不能达最高点。 设初速度为v0，最高点速度为v，由动能定理得：

①

代入数据v无解，说明到不了最高点 用①表达式，可解得：在初速度为 而此速度小于

=

m/s，

m/s时，最高点速度为v=

m/s，

说明小球受到支持力N=14N

（3）用①表达式，可解得：在初速度为6m/s时，最高点速度为4m/s，

此速度比=m/s大，说明小球受到拉力作用。 T=22N

例3、（1997·全国）一内壁光滑的环型细圆管，位于竖直平面内，环的半径R（比细管的半径大得多），在圆管内有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量m1,B球质量m2，经过最低点的速度均为v0，设A球运动到最底时，B球恰好运动到最高点，若此时两球作用于圆管的合力为0，那么m1、m2、R和v0应满足的关系式为什么？

解析：由圆周运动的知识可知：A对轨道的作用力一定向下，为了使A和B对轨道的作用力合力为零，所以B对轨道的作用力一定向上，A和B的受力如图所示。

A：Na-m1g=mv0/R B：Nb+m2g=mv/R2

而对B：由动能定理得

2

-mg2R= 又有

mv2-

mv02

解得（m1-m2）+(m1+m2)g=0

注意：本题的关键在于正确对A和B进行受力分析，其次要综合应用动能定理（或机械能守恒）牛顿第二定律。

例4、(1999年全国高考题)．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是

A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力

解析：a处一定为拉力．小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向圆心O，向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力，而重力方向竖直向下，故杆必定给球向上的拉力．小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力，即小球的重力恰好提供向心力，设此时小球速度为vc，则mg＝m·vc2/R，当小球在最高点的速度v＞vc时，所需向心力F＞mg，杆对小球有向下的拉力；若小球的速度v＜vc，杆对小球有向上的推力，故正确选项为A、B．

例5、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）

A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C．物体所受弹力和摩擦力都减小了 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变

解析：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN、和筒壁对它的摩擦力F1（如图所示）。其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F1大小等于其重力。而根据向心力公式，

，当角速度

较大时

也较大。故本题应选D。

例6、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？

解析：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：

要使列车能通过圆形轨道，则必有v>0,解得。

离心运动：

（1）离心现象条件分析

①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如下图所示，

②当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示．

③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，F′＜mrω2，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中B示．

汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡增大向心力．

说明：若合外力大于所需的向心力，物体离圆心将越来越近，即为近心运动。