一类二元函数方程的常微分方程解法
70高等数学研究12,No. 4 Vol. STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS J ul. ,2009
一类二元函数方程的常微分方程解法
王喜斌 (湖南机电职业技术学院
摘 湖南 长沙 410151) 3要中图分类号 O175. 1关键词 ; 文献[1]f () =x -y f (x ) -f (y ) (1)
的实值连续函数的一种求法, 但过于复杂. 本文将给出该问题的另一种解法.
引理 对于一类二元函数方程:
f (W (x , y ) ) =R (f (x ) , f (y ) ) , (2)
假设
(ⅰ) W (x , y ) 和R (u , v ) (其中u =f (x ) , v =f (y ) ) 分别在I ×I 和J ×J 内存在偏导数, 这里I 表示区间(a , b ) , J 表示区间(c , d ) ;
(ⅱ) 存在W , R , 其中W (x ) 在I 连续, W (x ) ≠0; R (u ) 在J 内连续, R (u ) ≠0, 使得
/=, 9x 9y W (y ) /=, 9u 9v R (v )
且两等式的右边取相同的符号. 则函数方程(2) 在某区间上的逐段严格单调的可微的形式解f 为:
-1f (x ) =F (c W (x ) d x +c 1) . 其中, F (u ) =R (u ) d u 只表示R (u ) 的一个原函数, 常数c 或c 1由所求得的可微的形式解f (x ) 代入函数方程(2) 确定.
证明 令u =f (x ) , v =f (y ) , 对函数方程(2) 的两边关于x 和y 分别求偏导数, 有
(W ) f ′(W ) =, f ′=. 9x 9u d x 9y 9v d y (3)
由于只考察某区间上严格单调的、可微的未知函数f , 故总可假定f ′≠0. 这是因为, 若在某些个别点处有f ′=0, 那就可以这些点将原区间划分成几个子区间, 在每一个子区间上, f 是严格单
) 、(ⅱ) , 将(3) 中的左右两式相除, 可得调的, 且f ′≠0. 再由条件(ⅰ
=W (x ) d x W (y ) d y
考虑到x 与y 的任意性, 从上式即能得到关于u =f (x ) 的可分离变量方程
3收稿日期:2007-03-15.
第12卷第4期王喜斌:一类二元函数方程的常微分方程解法71
(4) =c . W (x ) d x
因R (u ) ≠0, W (x ) ≠0, 又u =f (x ) 是严格单调的可微函数, 故方程(4) 中的c 是不为零的常数. 将方程(4) 分离变量, 得到R (u ) d u =cW (x ) , (c ≠0. ) (5)
由于R (u ) 与W (x ) 分别是I 与J 内的连续函数, (5) 式的两边分别对u 和x , 即得
R (u ) d u =cW (x ) d x +c (c . 11
不妨设R (u ) d u 与W (x ) d x (u ) x , 并记
F (u ) =R (u ) d u , 这样, F (u ) =c W (x ) d x +c 1.
(u ) =R (u ) ≠0, 根据隐函数存在定理可知, 上式确定了I 上的一个隐函数由于在J 内, F ′
-1u =F (c W (x ) d x +c 1) . 显然u =F -1(c W (x ) d x +c 1) 是微分方程(4) 的解, 从而
-1f (x ) =F (c W (x ) d x +c 1) (c 1为任意常数) (6)
) 、(ⅱ) 的函数方程(2) 的严格单调的、是满足条件(ⅰ可微的形式解.
方法 由上述原理, 这类二元函数方程(2) 的解法步骤可归纳如下:
) 和(ⅱ) , 写出R (u ) 与W (x ) ; 第一步 验证(2) 中的W (x , y ) 和R (u , v ) 是否满足(ⅰ
第二步 构造关于u =f (x ) 的可分离变量方程(5) . 解此方程得到形式解(6) .
第三步 将形式解(6) 代入函数方程(2) 以确定c 或c 1, 从而得到严格单调的可微解f (x ) . 注 所求得的可微解f (x ) 的定义域应该是使f (x ) 严格单调且可微的一个或几个区间. 由于初等函数(除去常函数) 是逐段严格单调的、可微的, 因此根据上述方法求得的函数方程的可微解与用其他方法求得的连续解常常是同一个函数. 例1 求解函数方程(1) .
) 和(ⅱ) , 这里解 容易验证函数方程(1) 满足条件(ⅰ
W (x , y ) =, R (u , v ) =. x -y u -v
从而有:
=-9y
) 内W (x ) =在(-∞, 0) 或(0, +∞x , =-y 9v u v . ((≠0) 和R (u ) =≠0) 都是连续的.
根据前述方法, 构造并解关于u =f (x ) 的可分离变量方程
u d u =d x (c ≠0) , x
72高等数学研究 2009年7月可得方程(1) 的逐段严格单调、可微的形式解为:
c u =f (x ) =c 1x , (c 1为任意常数) .
将其代入方程(1) , 得:
c ) . c c =c 1(x -y x -y c c
若令x =1, y =0, 立得c 1=1. 这样就有:
c ) . c c =(x -y c c
若再令x =2, y =1, 又得到3c (c 1=2c +-1) (c 1) -2=0.
容易证明, c =. , c =1显然是上式的解; 另外,
当c >1时, 3c -1>2, 2c -1>1, 故(3c -1) (2c -1) -2>0;
当0≤c
例2 文[2]在推导随机变量的指数分布函数时, 曾遇到函数方程
F (t +s ) =1-[1-F (t ) ][1-f (s ) ]
) 上是单调增函数, 且0≤F (t ) ≤1. 试解该方程. 其中F (t ) 是分布函数, 当然在(0, +∞(7)
解 不难发现:
W (t , s ) =t +s , R (u , v ) =1-(1-u ) (1-v ) =u +v -uv .
) 上连续, 分别在R ×R 和J ×J 内存在偏导数, 其中J =(0, 1) ; 另外W (t ) =1(≠0) 在(0, +∞
且R (u ) =1-u (≠0) 在J 上连续.
解关于u =F (t ) 的可分离变量方程:
1-u d u =λd t (λ≠0) ,
得函数方程(7) 的严格单调的、可微的形式解为
u =F (t ) =1-c 1e -λt (c 1为任意常数) .
λ-t 将其代入(7) , 比较可得c 1=c 2. 另考虑1. 由于只求严格的单调解, 故c 1=1. 从而有F (t ) =1-e
) 上单调增函数, 所以这里λ>0. 到F (t ) 是(0, +∞
例3 解函数方程
f () =f (x ) +f (y ) . 1+xy (8)
解 W (x , y ) =
另外, W (x ) =1-x 2和R (u , v ) =u +v 分别在(-1, 1) ×(-1, 1) 和R ×R 内存在偏导数; 1+xy (≠0) 在(-1, 1) 内连续, R (u ) =1(≠0) 在R 上连续.
解关于u =f (x ) 的可分离变量方程:d u =1-x 2d x (c ≠0) ,
得函数方程(8) 的可微的形式解为
u =f (x ) =ln 2+c 1(c 1为任意常数) . x -1
第12卷第4期王喜斌:一类二元函数方程的常微分方程解法73将其代入函数方程(8) , 比较可得c 1=0. 若令α=2≠0, 就得到函数方程(8) 的严格单调的可微解:
x -1. f (x ) =αln
例4 解函数方程
f (x +y ) =. 1-f (x ) f (y )
1(9) 解 不难发现:W (x , y ) =x +y , R u 分别在R ×R 和{(u , v ) |>0或u 0}; 另外W (x ) =1在R 内连
) (-, 0) 内连续. 依上述的方法, 解关于u =f (x ) 的可分续, R (u ) =≠0(+12
离变量方程:
d u =c d x (c ≠0) , 1+u 2
得函数方程(9) 的逐段严格单调的可微的形式解为
u =f (x ) =tan (cx +c 1) (c 1为任意常数) .
将此代入方程(9) 有:
tan [c (x +y ) +c 1]=. 1-tan (cx +c 1) tan (cy +c 1)
π(为n 整数) , 当取n =0时, 得c 1=0. 当令x =y =0, 就有tan c 1=tan (2c 1) , 从而有2c 1=c 1+n
这样函数方程(9) 的可微解为:
f (x ) =tan cx.
参考文献
[1]孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和解题方法[M ].长沙:湖南科学技术出版社,1981:383-384.
[2]Tom M. Apostol , Calcul us (Vol. II ) [M ],2ed. John Wiley &Sons Inc. , 1969:533-535.
(上接第53页)
2(b -a )
f W (w ) =3(w -3a ) 2, 3a ≤w
2(b -a )
0, 3(6wb +6wa -12ab -3a 2-3b 2-2w 2) , 2a +b ≤w
这与文[2]的结果也是完全一致的.
综上, 我们得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式, 此公式应用起来比较简便, 有一定的实际利用价值. 另外, 本文所举的例子均是三个独立随机变量的情形, 其实对于三个不独立也不同分布的随机变量和的概率密度函数, 定理同样适用, 就不再一一举例赘述了.
参考文献
[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M ].北京:高等教育出版社,2001:106.
[2]李国玉. 三个服从于同一均匀分布的独立随机变量和的分布的一种简单求法[J].伊犁教育学院学刊,996,5:22-24.
[3]李瑞阁, 黄尧. 服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式[J].南阳师范学院学报,2007,6:18-20.
[4]王泽晖. 含参变量积分求导的推广[J].大学数学,2005,21:104-105.