n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法
2009年12月 广西师范学院学报(自然科学版)
第26卷第4期 Journal of Guangxi Teachers Education University (Natural Science Edition )
dec . 2009Vol . 26No . 4
文章编号:1002-8743(2009) 04-0097-04
n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法
杨 芳, 吴小欢
(广西师范学院数学科学学院, 广西南宁530001)
摘 要:归纳介绍了求n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种方法, 通过具体例子分析比较各种方法的优缺点, 并小结各种方法的适用条件, 供教学中参考.
关键词:n 阶常系数非齐次线性微分方程; 特解; 算子法中图分类号:O175. 1 文献标识码:A
1 引 言
形如
+a n x =f (t ) +a 1+…+a n -1
d t d t d t
的方程称为n 阶常系数非齐次线性微分方程, 这里a 1, a 2, …,a n 为常数, f (t ) 为连续函数.
对于方程(1) , 可用多种方法求特解, 如比较系数法、常数变易法、算子法等. 因为算子法要先将方程(1) 化成算子形式, 再利用算子的性质进行求解, 对初学者来说, 要求相对较高, 相比之下, 比较系数法和常数变易法要求相对较低, 只需进行代数运算和积分运算即可, 所以一些常微分教材中并未介绍算子法; 然而算子法却具备比较系数法与常数变易法无法具有的应用条件, 有适用面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点, 在求方程(1) 特解的过程中发挥着巨大的作用.
因此, 本文在研究文献[1～3]的基础上, 先归纳总结求方程(1) 特解的三种方法-比较系数法、常数变易法与算子法, 详细介绍算子法的定义、性质, 再通过具体例子分析比较各种方法的优缺点, 最后小结各种方法的适用条件, 供教学中参考.
n
n -1
(1)
2 求方程特解的几种方法
2. 1 比较系数法
仅当方程(1) 右端的f (t ) 为两种特殊类型时, 才能用比较系数法求其特解, 具体类型及求解过程见文献[2], 这里略.
2. 2 常数变易法
此方法对方程(1) 右端f (t ) 的形式未作要求, 但要先求出方程(1) 对应的齐次线性微分方程的基本解组, 再利用常数变易法代入方程(1) 求解, 关于常数变易法的思想及具体求解过程见文献[2], 这里也略.
收稿日期:2009-05-11
基金项目:广西师范学院青年科研基金项目(0709B010)
, ,
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广西师范学院学报(自然科学版) 第26卷
2. 3 算子法
n n
用D (微分算子) 表示对t 求导的运算, 把记作D x , 把记作D x , 从而把方程(1) 记作D x
d t d t d t +a 1D
n -1
n
x +…+a n -1D x +a n x =f (t ) , 记
L (D )=D +a 1D
n
n -1
+…+a n -1D +a n , (2) (3)
则方程(1) 可化为
L (D ) x =f (t ) .
称(2) 为算子多项式, 称(3) 为方程(1) 的算子表示式.
下面1) 、2) 的内容见文献[1].
1) 算子多项式L (D ) 的性质
(1) L (D ) (c 1x 1+c 2x 2) =c 1L (D ) x 1+c 2L (D ) x 2;
(2) 若L (D ) =L 1(D ) L 2(D ) =L 2(D ) L 1(D ) , 则L (D ) x =L 1(D ) [L 2(D ) x ]=L 2(D ) [L 1(D ) x ]; (3) 若L (D ) =L 1(D ) +L 2(D ) , 则L (D ) x =L 1(D ) x +L 2(D ) x =L 2(D ) x +L 1(D ) x ; 2) 算子多项式L (D ) 的逆算子(1) 逆算子的定义对于表达式(3) , 把x L
-1
f (t ) 记作它的任一个解, 则称为算子L (D ) 的逆算子, 也可记为L (D ) L (D )
(D ) . (2) 逆算子
1
的性质L (D )
①L (D f (t ) =f (t ) ; L (D ) ②③
f (t ) f (t ) ][f (t ) ];
L 1(D ) L 2(D ) L 1(D ) L 2(D ) L 2(D ) L 1(D ) f 1(t ) +f 2(t ) ]f 1(t ) f (t ) ; L (D ) L (D ) L (D ) 2
kt
(3) 逆算子的运算法则
1kt 1
f (t ) =e ; L (D ) L (k )
kt kt ②若f (t ) =e , 且L (k ) =0, 则f (t ) =e ;
L (D ) L (D +k ) ①若f (t ) =e , 且L (k ) ≠0, 则
按t 的升幂展开为级数时, 前③设f (t ) 为m 次多项式, L (0) ≠0(即中的常数项a n ≠0) , 又L (t ) 面的m 次多项式记为Q (t ) , 则
f (t )=Q (D ) f (t ) ; L (D )
④若f (t ) =e φ(t ) , 则
kt f (t ) =e φ(t ) . L (D ) L (D +k )
下节通过具体的例子说明上面三种方法在求方程(1) 特解中的作用.
kt
3 例子
例1 求方程x ″-x =t sin t 的特解.
解法1(比较系数法) 原方程右端f (t ) =t sin t 2
2
, 对f 1(t ) 2222, 设特
解为x 1(t ) =A +Bt , 将x 1(t ) 代入方程x ″-x 中, 化简整理有-A -Bt , 比较同类项得A =
第4期 杨芳, 等:n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法
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0, B , 即x 1(t ) . 22
对f 2(t ) , 设特解为x 2(t ) =(A +Bt ) cos2t +(C +D ) sin2t , 其中A , B , C , D 为待定常
2
数, 将x 2(t ) 代入方程x ″-x 中, 化简整理有
2
(4D -5A -5Bt ) cos2t +(-4B -5C -5D t ) sin2t =-,
2
4D -5A -5Bt 2, 从而有A =0, B , C , D =0, 故原方程的特解为1025
-4B -5C -5Dt =0x (t ) =x 1(t ) +x 2(t ) t cos2t sin2t . 21025
解法2(常数变易法) 应用常数变易法, 设原方程的解为x (t ) =c 1(t ) e +c 2(t ) e 程, 则可得决定c ′t ) 和c ′t ) 的两个方程1(2(
e c ′1(t ) +e c ′2(t )=0e c ′1(t ) -e c ′2(t )=t sin t
t
-t
2
t
-t
t
-t
, 将它代入方
,
-t 2t 2
解得c ′t ) e sin t , c ′t ) e sin t , 由此1(2(22
-t -t t t
c 1(t )=t e d t -t e cos2t d t , c 2(t )=-t e d t +t e cos2t d t ,
4444
而形如t e cos2t d t 和t e cos2t d t 这样的积分, 我们无法通过初等运算求出其原函数, 故不能用常数变易法求特解.
解法3(算子法) 原方程可化为x ″-x =
-1) x 22, 所以特解为
x =
-=+-, 22D -12D -12D -1
2, 此方程的算子表示式为(D 222
∫
t ∫
-t
要求x 2, 先求
D -1
2it 2it x e =e 22D -1D +4Di -5
=e
2it
D
5252
=
e
2it
+=(cos2t +i sin2t +,
10251025
从而x 的解为
2D 1
x 1=(cos2t +i sin2t 1025又x 2D -12
t cos2t sin2t , 1025
, 故原方程的特解为x (t ) =x 1+x 2
t cos2t sin2t .
221025
-t
例
2 求方程x ″+2x ′+x =3e t +1的特解.
解法1(比较系数法) 因为右端f (t ) 不是特殊形式, 故不能用比较系数法求解.
解法2(常数变易法) 应用常数变易法, 设原方程的解为
x (t )=c 1(t ) e
-t
+c 2(t ) t e ,
-t
将它代入方程, 则可得决定c ′02t -t ,
· 100·
广西师范学院学报(自然科学版) 第26卷
解得c ′1(t ) =-3t t +1, c ′2(t ) =3t +1, 由此
533
c 1(t )=-(t +1+2(t +1, c 2(t )=2(t +1,
5
将c 1(t ) , c 2(t ) 代入x (t ) 中, 得原方程的特解为
5335
-t -t -t -t x (t )=-5t +1e +2(t +1e +2(t +1t e =5(t +1e .
解法3(算子法) 原方程的算子表示式为-t -t x 3e t +13e
D +2D +1(D +1) 3e
-t
t +1=3e
-t
D
t +1=3e
-t
D D
t +1=
1-t 1-t -t
(t +1=2e (t +1=2e (t +1e (t +1. D 3D 55
2232t
例3 求方程x ″-4x ′+4x =(1+t +t +…+t ) e .
解法1(比较系数法) 方程右端函数f (t ) 符合类型I 的情况, 故可设原方程的特解为
x (t )=t (A 1+A 2t +…+A 24t ) e ,
其中A i (i =1, 2, …, 24) 为待定常数, 需要求解24个未知数, 理论上可取, 但实际求解相当麻烦.
解法2(常数变易法) 重复前面的过程可求解, 但计算繁杂, 易出错.
22232t
解法3(算子法) 原方程的算子表示式为(D -4D +4) x =(1+t +t +…+t ) e , 所以特解为x =e
2t
2
23
2t
2232t 2t 223
1+t +t +…+t ) e =e 1+t +t +…+t )=(
D -4D +4D 23425
t +t +t +…+t . 1×22×33×424×25
小结 从以上三个例子可以看出:
(1) 比较系数法对方程(1) 右端函数f (t ) 的形式作了严格要求, 当且仅当f (t ) 满足文献[2]中的
两种特殊情形时, 才能用此方法求(1) 的特解, 否则不行.
(2) 常数变易法虽对f (t ) 的形式未作要求, 但需要进行大量积分运算, 且计算量大, 从例1可知, 当f (t ) 的形式较复杂时, 可能无法通过初等运算求出原函数, 这也大大缩小了此方法的使用范围.
(3) 算子法同时克服了上述两种方法的缺点, 具有适用面广、计算量小、准确度高、简单易行的优点, 在求解过程中发挥着巨大作用. 对初学者来说, 在学习了前两种方法之后, 可通过适当练习加深对这两种方法的理解; 有了一定的理论和实践基础之后, 再掌握算子的定义、性质及求解过程, 并通过具体例子, 采用一题多解的方法体会算子法的应用, 融会贯通, 加深对知识的理解与领悟, 相信这样的教学过程, 对学生们今后的学习可起到事半功倍的作用.
参考文献:
[1]白春艳, 李明辉. 算子方法在微分方程中的应用[J ]. 高等数学研究, 2008, 3(11) :50-52. [2]王高雄, 周之铭, 等. 常微分方程[M ]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2006. [3]阮炯. 差分方程和常微分方程[M ]. 上海:复旦大学出版社, 2003.
[责任编辑:班秀和]