高中平面几何讲义

高中平面几何

(上海教育出版社 叶中豪)

知识要点

三角形的特殊点

聚点，切聚点，X 点，Tarry 点，Steiner 点，Soddy 点，Kiepert 双曲线

重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker 点，Gergonne 点，Nagel 点，等力点，Fermat 点， Napoleon点， Brocard点，

特殊直线、圆

Euler 线，Lemoine 线，极轴，Brocard 轴，九点圆，Spieker 圆，Brocard 圆，Neuberg 圆，McCay 圆， Apollonius 圆，Schoute 圆系，第一Lemoine 圆，第二Lemoine 圆，Taylor 圆，Fuhrmann 圆

特殊三角形

中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形， 第一Brocard 三角形，第二Brocard 三角形，D-三角形，协共轭中线三角形

相关直线及相关三角形

Simson 线，垂足三角形，Ceva 三角形，反垂足三角形，反Ceva 三角形

重心坐标和三线坐标 四边形和四点形

质点重心，边框重心，面积重心，Newton 线，四点形的核心，四点形的九点曲线

完全四边形

Miquel 点，Newton 线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller 定理

重要轨迹

平方差，平方和，Apollonius 圆

三角形和四边形中的共轭关系

等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线

几何变换及相似理论

平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心

Miquel 定理

内接三角形，外接三角形，Miquel 点

根轴

圆幂，根轴，共轴圆系，极限点

反演

反演，分式线性变换（正定向和反定向）

配极

极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点

射影几何

理，Brianchon 定理

点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues 定理，Pascal

著名定理

三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P ’tolemy 定理，Menelaus 定理，Ceva 定理，Stewart 定理，Euler 线，Fermat- Torricelli问题Mannheim 定理

Fagnano- Schwarz问题，Newton 线，Miquel 定理，Simson 线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach 定理，Napoleon 定理，蝴蝶定理，Morley 定理

例题和习题

1． 以△ABC 的AB 、AC 两边向形外作正方形ABEP 和ACFQ ，AD 是BC 边上的高。求证：直线AD 、BF

CE 三线共点。

2． 以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD ＝∠ACE ＝90°

求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。

3． 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC 。分别以两腰AB 、CD 为边向外侧作正方形ABGE 和正方形DCHF 。连接

EF ，设线段EF 的中点为M 。求证：MA ＝MD 。

4．△ABC 中，AM 是中线，H 是垂心，N 是AH 中点，过A 作外接圆切线，交对边于D 点。求证：ND ⊥AM

(06061602．gsp)

5．△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 、O 1、O 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的外心，求证：A 、O 、O 1、O 2四点共圆。（Salmon 定理）

6．△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 、O 1、O 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的外心，O ′是A 、O 、O 1、O 2四点所共圆（Salmon 圆）的圆心。求证：

（1）O ′D ⊥BC 的充要条件是：AD 恰好经过△ABC 的九点圆心！

B

C

（2）记△ABC 的九点圆心为N i 。作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。则N i E ∥AD ！ (06051705．gsp) (06052901．gsp)

B C

7．四边形ABCD 中，P 点满足∠PAB ＝∠CAD ，∠PCB ＝∠ACD ，O 1、O 2分别是△ABC 、△ADC 的外心。求证：△PO 1B ∽△PO 2D 。（06060301．gsp ）

D

8．设I 是圆外切四边形ABCD 的内心，求证：△IAB ，△IBC ，△ICD ，△IDA 的垂心共线。

9．已知凸四边形ABCD 满足：AB+AD=BC+CD，延长BA ，CD 交于E 点，延长BC ，AD 交于F 点。

求证：EB+ED=FB+FD（或EA+EC=FA+FC）。（05123102．gsp ）

E

x 2y 2

10．（06.8.9）设A 、B 、C 、D 是椭圆2+2=1上四点。若直线AB 、CD 的斜率之积

a b

k AB k CD

b 2

=2a

，

b 2

则直线AC 、BC 或直线AD 、BC 的斜率之积也必等于2。

a

（注：这时经过A 、B 、C 、D

c x 2y 2

四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆2+2=1的离心率──

a a b

。）（06080901．gsp ）

（06081201．gsp ）

1．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 1、O 2分别是△ABD 、△ACD 的外心，O ′是经过A 、O 1、O 2三点的圆之圆心。求证：O ′D ⊥BC 的充要条件是：AD 恰好经过△ABC 的九点圆心。

【证明】取△ABC 的外心O ，则熟知A 、O 、O 1、O 2四点共圆（Salmon 圆）。易知△AO 1O 2∽△ABC ，且O 1O 2是AD 的垂直平分线。作顶点A 关于BC 边的对称点A ′，易看出△AO ′D ∽△AOA ′。设BC 边高的垂足为G ，再取AO 连线的中点L ，则LG 是△AOA ′的中位线，进而知△AO ′D ∽△ALG 。得∠O ′DA ＝∠LGA 。……………①

B C

再作外心O 关于BC 的对称点O ′，由AH ＝2OM ＝OO ′知A O′经过九点圆心Ni 。（注：△AHNi ≌ △O ′ONi ） 由LM ∥A O′知∠ADC ＝∠LMG ；在直角梯形AOMG 中，得∠LMG ＝∠LGM 。 故∠ADC ＝∠LGM 。……………② 而∠LGM ＋∠LGA ＝90°。

将①、②代入得∠O ′DA ＋∠ADC ＝90°。

∴ O ′D ⊥BC 。

2．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 1、O 2分别是△ABD 、△ACD 的外心，O ′是经过A 、O 1、O 2三点的圆之圆心。记△ABC 的九点圆心为N i 。作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。则N i E ∥AD 。

（叶中豪提供）

B C

【证明】作LK ⊥AH 。由AH ＝2OM ，Ni F＝（OM ＋HG ）/2易知AK ＝Ni F。……………① 又因O ′L 在BC 上的射影是EF ，而AL 在AG 上的射影是AK ，且两者夹角相等（都等于

1

∠B -∠C ），故2

O 'L AL

=。……………② EF AK

由①、②知Rt △AO ′L ∽Rt △Ni EF。得∠AO ′L ＝∠Ni EF。……………③

B C

而由下图，又易知∠AO ′L ＝∠ADC 。……………④ 由③、④得∠Ni EC＝∠ADC ， ∴ Ni E∥AD 。

B C

3．△ABC 中，AH 是BC 边上的高，D 是直线BC 上任一点。O 、O 1、O 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的外心，N 、N 1、N 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的九点圆心。设O ′是A 、O 、O 1、O 2所共圆（Salmon 圆）的圆心，作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。则H 、E 、N 、N 1、N 2五点共圆。

（闵飞提供）

【证明】

引理

△ABC 中，记外心O 关于BC 边的对称点为O ′，则九点圆心Ni 是A O′的中点。 （证略）

C

如下图，作A 、O 、O 1、O 2诸点关于BC 边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形。再以A 点为位似中心，作1/2的位似变换，即可知所得到点H 、N 、N 1、N 2一定共圆。（且顺便得知所共圆的大小恰是Salmon 圆的一半！）

再在Salmon 圆上取A ″，使AA ″∥BC 。因此O ′E 所在直线是AA ″的中垂线。作A ″关于BC 边的对称点A ″′。易知AA ″′的中点恰是E ，于是E 也在上述位似后的圆上。

5．四边形ABCD 中，P 点满足∠PAB ＝∠CAD ，∠PCB ＝∠ACD ，O 1、O 2分别是△ABC 、△ADC 的外心。求证：△PO 1B ∽△PO 2D 。

（叶中豪提供）

D

C

【证法1】（田廷彦提供）

B

如上图，延长CP 交△ABC 的外接圆于Q 。连接QA 、QB 、QO 1、AO 2。

在等腰△O 1BQ 和等腰△O 2AD 中，由于∠BO 1Q ＝2∠BCQ ＝2∠ACD ＝∠AO 2D ，故△O 1BQ ∽△O 2AD 。………① 又在△PAQ 中，由正弦定理

PQ sin ∠PAQ sin (∠PAB +∠BAQ )sin (∠DAC +∠BCQ )sin (∠DAC +∠DCA )====PA sin ∠PQA sin ∠CBA sin ∠CBA sin ∠CBA =

sin (180-∠CDA )sin ∠CBA

=

sin ∠CDA AC /R 2R 1

==

sin ∠CBA AC /R 1R 2

其中R 1、R 2分别是△BAC 和△

DAC 的外接圆半径。

而BQ =2R 1sin ∠BCQ ，

DA =2R 2sin ∠ACD ， 故BQ R 1。 =DA R 2

PQ BQ ， =PA DA 由此

又∠BQP ＝∠BAC ＝∠PAD ，

∴ △PQB ∽△PAD 。………②

由①、②，即可知O 1、O 2是相似三角形PQB 和PAD 中的对应点，从而得△PBO 1∽△PDO 2。证毕。

【证法2】（柳智宇提供）

D

柳智宇证法

如下图，延长AP 、CP 分别交△ACD 的外接圆于C ′、A ′。 首先证明△DA ′C ′∽△BAC ，而O 1、O 2分别是这两个三角形的外心。然后说明P 是这对相似三角形中的自对应点，从而△PBO 1∽△PDO 2（具体过程略）。

【证法3】（邓煜提供）

见下图，在AB 上取点Q ，使得△APQ ∽△ADC （具体过程略）。

D C

邓煜证法

重心坐标

{μ1:μ2:μ3}

其余三点的坐标分别为：{-μ1:μ2:μ3}，{μ1:-μ2:μ3}，{μ1:μ2:-μ3}。 直线d ，d 1，d 2，d 3的坐标分别为：

⎡111⎤⎡111⎤⎡111⎤⎡111⎤-:::-:::-，，，::⎥⎢⎥。 ⎢⎥⎢μμμ⎥⎢μμ3⎦⎣μ1μ2μ3⎦⎣123⎦⎣1μ2μ3⎦⎣μ1μ2

易算出Newton 线d 0的坐标为：⎢⎡1

⎣μ12:1μ22:1⎤。 μ32⎥⎦