汽轮机叶片汽道的结构模型研究
第3期
2012年3月
文章编号：1001-3997（2012）03-0247-03
机械设计与制造
Machinery Design ＆Manufacture
247
汽轮机叶片汽道的结构模型研究*
曾岳飞1谌永祥1钟成明2江敏1吴越1
（1西南科技大学制造科学与工程学院，绵阳621010）（2东方汽轮机有限公司，德阳618000）
Study on structural model of steam turbine blade
ZENG Yue-fei 1，CHEN Yong-xiang 1，ZHONG Cheng-ming 2，JIANG Min 1，WU Yue 1（1School of Manufacturing Science and Engineering,Southwest University of Science
Mianyang 621010，China ）and Technology ，
（2Dongfang Steam Turbine Co.Ltd ，Deyang 618000，China ）
【摘要】叶片作为汽轮机的重要组成部分，决定着能量的转换效率。对汽轮机动叶片的结构特征进行了研究，从叶型的特点，结合国际标准化组织颁布的工业产品数据交换标准的要求，选取了三次均匀有理B 样条和2×3次非均匀有理B 样条为叶型的数学模型，推导了各自的矩阵表达式，证明
明显的三次均匀有理B 样条比了曲线的连续性，实现了叶片的数字化表示。由矩阵表达式可以看出，
2×3次非均匀有理B 样条方法的计算量小、简单和便于控制等，为后续的插补算法研究提供了理论支持。
关键词：汽轮机叶片；叶型；均匀有理B 样条；非均匀有理B 样条【Abstract 】As an important part of the steam turbine ，blade determines the energy conversion effi －ciency.The features of the structure of steam turbine blades will be researched in it.And according to the characteristics of blade profile as well as the requirements of STEP issued by ISO ，Cubic Uniform Rational B-spline and 2×3drgee Non-Uniform Rational B-spline will be chosen to build the mathematical model of the blade ，which matrix expression is later deduced respectively that prove the continuity of the curve ，real －ize the digital expression for the blades. From the matrix expression, obvious Cubic Uniform Rational B-spline has more advantages than 2×3drgee Non-Uniform Rational B-spline method ，such as less computa －tions ，simple and easy control ，etc ，which can provide theoretical support for subsequent interpolation algo －rithms.
Key words ：Turbine blades ；Blade profile ；B-spline curves ；Non-uniform rational B-spline
1引言
汽轮机叶片是机械制造业中最典型的叶片之一，作为汽轮机模具型腔的粗精加工，与传统的模具加工方法如电火花加工等相比，可大量节省模具后续加工中的手工研磨时间和加工成本，显著提高加工效率和加工精度。编程模板在模具数控加工中的应用，通过借鉴已有工艺设计经验和经实践验证的工艺参数，快速地生成零件对应加工特征的合理加工参数。针对不同零件的数控加工，调用相应的程序模板，只需对少数切削参数进行相应的修改，便可以生成适合实际应用的加工工艺与数控程序，以提高工艺设计及编程的效率与质量，减轻数控加工工艺设计人员的工作量，规范数控加工工艺规程。
＊来稿日期：2011-05-06＊基金项目：四川省科技支撑计划项目（2010GZ0103）
University of Birmingham ，2003：809-813.
［3］K.Wu ，N.He ，W.-H.Liao ，etc.Optimization of Cutting Parameters in High
Speed Milling of Thin-walled Structure Components ［J ］.Key Engineering 2004（1）：258-259. Materials ，
［4］戴丽玲. 高速切削工艺数据序管理系统的研究与开发［D ］. 昆明：昆明
理工大学，2006.
［5］苏艳红. 高速切削加工技术及其在模具制造中的应用［D ］. 成都：四川
大学，2006.
参考文献
［1］H ．Schulz ．Why High Speed Cutting ［A ］．Proceeding of the International
Conference on High Speed Machining ［C ］．Nanjing NUAA ，2004（1）：1-20.
［2］C.K.Toh.Evaluation of cutter path strategies and orientations when high
中图分类号：TH16
文献标识码：A
2005（9）：5-7.
应用［J ］制造技术与机床，2008（3）:10-14.2005.
的重要组成部分，其对数控加工的质量和效率有着很高的要求[1]。尤其它的汽道部分决定了汽轮机的发电功率，直接影响汽轮机产
.PhD.thesis ，speed milling hardened AISI H13hot work tool steel ［D ］
［6］李芳华. 基于知识的汽车覆盖件模具标准化数控编程［J ］. 模具制造，［7］冯长林，杨旭静，何洁，等. 汽车覆盖件模具数控加工工艺模板开发及［8］王卫兵.Ci matron E 数控编程实用教程［M ］. 北京:清华大学出版社，
248曾岳飞等：汽轮机叶片汽道的结构模型研究
≤
≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
第3期
i +1
品的质量。叶片数控加工是表征汽轮机制造技术达到现代先进制造水平的重要标志之一。大型汽轮机中叶片数目往往多达数千片，叶片的结构设计十分复杂，加工要求严格，叶片的加工量约占整个汽轮机的1/3，其质量直接影响到机组的运行效率和可靠性，在整个汽轮机事故中，由于叶片的质量所引起的故障约占1/3，所以如何提高汽轮机叶片加工精度和效率一直是国内外学者研究的热门课题。
N i ，（u ）=0N i ，（u ）=k
1，u ≤u ＜u
Σ0，其他
i
u-u i u -u
N i ，（u ）+i+k+1N k -1（u ）k -1
i+k+1i +1i +1，i+ki
（3）
约定0=0
k —B 样条的幂次；式中：
t —节点；
下标i —B 样条的序号。
（4）非均匀有理B 样条曲线定义为：
n
2汽轮机叶片的结构特点
汽轮机叶片主要由两个部分组成：装配部分和汽道部分，前者包括叶根和叶顶（叶冠），为规则的几何型面；后者是扭曲的复杂自由曲面。过渡圆弧进出气边半径大小均随叶根到叶顶线性减小，具体结构示意图，如图1所示。由叶片的成型特点又可分为成形叶片和非成形叶片，成形叶片指叶片型面沿叶高方向上各截面背弧型线的相应圆弧半径均相同，即可用成形刀具（如成形铣内、
刀）加工出来的叶片，对其成形规律的分析可直接推导出叶身的数学模型；非成形叶片是指除成形叶片以外的所有叶片，各截面背弧型线相应的圆弧半径不相等，或者用离散型值点表示，即内、
不能用成形刀具加工，现在一般采用五轴数控机床或是并联机床来加工的叶片。
非成形叶片由于其成型的复杂性，需要采用各种曲面造型方法，如Coons 曲线（曲面）、B ézier 曲线（曲面）、B 样条曲面和非（曲面）等，在误差允许的范围内，对其型面均匀有理B 样条曲线进行近似的数学描述。
叶顶过渡面
内弧面过渡圆弧
出气边叶根过渡面
叶根叶顶过渡圆弧进气边叶型背弧面
p （u ）=
Σw d N
i =0
n
i i
i ，k
（u ）
（4）
Σw N
i =0
i
i ，k
（u ）
式中：w （1，…，n ）—权因子（weights ）；d （1…，n ）—控制顶i i =0，i i =0，
点。
3.2叶型数学模型的建立
1991年，国际标准化组织（ISO ）颁布的工业产品数据交换标准STEP （STandard Exchange of Product data model ）中，把NURBS 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。ISO 制定的STEP 国际标准按照节点矢量中节点的分布情况不同给出B 样条曲线均匀B 样条曲线、准均匀B 样条曲线、分段的类型划分为4类：
贝齐尔曲线和一般非均匀B 样条曲线[2]。对于贝齐尔曲线而言，特征多边形顶点的个数决定了它的阶数，并且随着n 的变大，特征多边形对曲线的控制将会减弱；如果改变一个控制顶点的位置就会影响相应曲线段的几何形状，不利于对曲线的局部修改，存在例如用局限性，很多情况下还不能正确反映特征多边形的特点[4]。它精确地表示某一半径的半圆，需要用到五次的贝齐尔曲线，且必须专门计算其控制顶点；随着半径的改变或要求更高的精度，还得重新确定次数及控制顶点。因而，我们一般采用在此基础上改进的B 样条曲线或NURBS 曲线来描述叶型的数学模型。
3.2.1B3样条曲线
B3样条的构造同B 样条同样简单，其计算量也与B 样条相差无几. 设n+1个控制顶点V （1，…，n ），节点矢量为（t 0，t 1，i i =0，…，t n ），则第i 段B3样条曲线的定义为：
p （）=ΣX k （t ）V i+k-1i t
i =03
图1T 形动叶片及各部位名称示意图
3叶型的数学模型
3.1样条曲线方程
参数样条曲线根据表现形式基本可分为多项式样条曲线（Polynomial splines ）、贝齐尔曲线（Bezier splines ）、B 样条曲线（Basie spline ）和非均匀有理B 样条曲线（NURBS ———Non-Uniform Rational B-Splines ）四种
（1）多项式样条曲线定义为：P （u ）=Σa j u
j =0n
j
（5）
式中：t ∈[0，π/2]，X （）—B 样条基函数；k t
V i+k-1—控制顶点。将（5）式用矩阵[5]可以写成：
V i -1
V 1t
p （t ）=1，sin t ，cos t ，cos2t i
V i +1V i +2
分别对t 求一阶、二阶和三阶导数并简化如下：
t
t t t t t t t t t t t
（1）
3
-40-133304040-41-11
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
i
t t t t t t t t t t t t
（6）
式中：a j —多项式的系数矢量。
（2）贝齐尔曲线定义为：B j ，（t ）=n
Σ
C n t （1-t ），j =0，1，... ，n 0，其他
j j n-j
（2）
觶（t p =1cos t ，sin t ，sin2t ］·0-202i ）1-11-1
t t t t t t t t t
-2020
）B 样条曲线定义为：（3
t
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
V i -1V
i
V i +1V i +2
t t t t t t t t t t t t t t
（7）
No.3M ar.2012
10-10
咬（t p =1sin t ，cos t ，cos2t ］·0-101i ）1-11-1
i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
机械设计与制造
V i -1V i V i +1V i +2V i -1V i V i +1V i +2
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
249
2
同样的定义符号：
（8）
△i =v i+1-v i ，（i =1，2，... ，n+k）；△i =v i +2-v i ，（i =1，2，... ，n+k-1）；△i =v i +1-v i ，（i =1，2，... ，n+k-2）。
軋可得：有节点矢量u
i
i i i i i i i i i i i i i i i
1
3
10-10
1咬p （）=cos t ，sin t ，sin2t ］·010-1i t -22-22
i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
n 11n 12n 13n 14n 21n 22n 23n 24n 31n 32n 33n 34n 41n 42n 43n 44
1-n 11-n 13
（9）
B v =
将t =0和π/2分别代入（6）～（9）中，则两端点处的一到三阶导数值为：
P （）=（V i -1+4V +V i +1）/6i 0
P （）=（V i +4Vi +1+V i +2）/6=P i +1（0）i π/2
觶（0觶i -（1π/2P ）=（-V i -1+V i +1）/3=P ）i
咬（0咬i -（P 1π/2）=（V i -1-2V i +V i +1）/3=P ）i
咬（0咬i -（1π/2P ）=（V i -1-V i +1）/3=P ）i
从上述各式可以看出，整段B3样条是C 3连续的，故它比B 样条及其它多项式样条有更好的平滑性，更强的逼近能力。
i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i
=
△i+3△i +1
2
△i +2△i +2△i +23△i +3△i +2△i +2△i +23△i +3△i +2△i +2
△
-1n 33-n 44-2i +33△i +3△i +2
2
3
222
-3n 111+n 11-n 12
-3n 11-3n 11-n 33
0△i +3△i +3△i +3
3
22
-n 11n 11-n 43-n 44
i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
（14）
3.2.2NURBS 曲线
三次均匀有理B 样条曲线作为工业产品几何的定义国际标准NURBS 理论的基础。因此采用混合幂次（2×3次）的NURBS 方）式，当k =2，l=3时，（2×3）次的法来建立叶片的数学模型，由（4NURBS 曲面的方程表示的一分段有理多项式为：
軋p （u ，v ）=
m
n
根据以上矩阵表示形式，只需确定叶片横向和纵向的节点量、控制顶点及其相应的权因子就可以控制整个叶片的曲面方程。可以精确的表示每一个截面的圆弧曲线，又可使纵向达到C 1、C 2的连续。
4结束语
通过三次均匀有理B 样条和2×3次非均匀有理B 样条方法
（10）
分别建立了汽轮机叶片的数学模型，推导了其矩阵表达式，实现了叶片的数字化表示，为编写数控加工程序提供了基本数据。由各自的矩阵表达式可以看出，明显的三次均匀有理B 样条比2×3次非均匀有理B 样条方法的简单、计算量小和便于控制等。因此，在同样能保证叶型加工精度的前提下，尽量采用三次均匀有理B 样条造型的方法，数控加工程序明显减少，加工效率得到提高，否则采用2×3次非均匀有理B 样条。
ΣΣw
i =0
j =0i =0
j =0
j i ，j i ，
軋B （u d ）B j ，（v ）i ，23B i ，（u ）B j ，（v ）23
ΣΣw
曲面节点矢量为：
i ，j
軆=軆u 0，u 1，u 2，... ，u n +2v v 0，v 1，v 2，... ，v n +2軆v u =v ；
利用德布尔算法的递推公式可得相应的矩阵表达式为：UB u D ti B v V 軋p （u ，v ）=UB u W ij B v V
其中，U=v ；V =v 1，1，u ，u 軆v ，v ，v
2
2
w
i
i i i i i i i i i
w T T
3
軆
w i ，j +3d i ，j +3
i
i i i i i i i i i
参考文献
［1］邓楠，吴细毛，刘景春.800MW 汽轮机叶片断裂原因分析［J ］，东北电
力技术，2010（5）：8-12.
［2］施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B 样条［M ］. 北京：高等教
育出版社，2001.
［3］全荣. 叶片型面成形的数学描述［J ］. 航空学报，1992，13（11）.
w i ，j d i ，j w i ，j +1d i ，j +1w i ，j +2d i ，j +2
w i +1，D i ，（11）j d i +1，j w i +1，j +1d i +1，j +1w i +1，j +2d i +1，j +2w i +1，j +3d i +1，j +3j =
w i +2，j d i +2，j w i +2，j +1d i +2，j +1w i +2，j +2d i +2，j +2w i +2，j +3d i +2，j +3w i ，j
w i ，j +1
w i ，j +2
w i ，j +3
i
i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
w i +1，W i ，j w i +1，j +1w i +1，j +2w i +1，j +3j =
w i +2，j w i +2，j +1w i +2，j +2w i +2，j +3
1
（12）［4］王增波，彭仁忠，宫兆刚.B 样条曲线生成原理及实现［J ］. 石河子大学
学报：自然科学版，2009，27（1）：118-121.
2
定义符号：△i =u i+1-u i ，（i =1，2，... ，n+k）；△i =u i +2-u i ，（i =1，2，. 軋可得：.. ，n+k-1）。有节点矢量u
i
i △i +2
i i i i i i i i i i i
［5］李海滨，余颖婷. 叶片数控加工关键技术的研究［J ］. 机床与液压，2010，38
（11）：14-16.
［6］孙玉文，吴宏基，刘建. 基于NURBS 的自由曲面精确拟合方法研究
［J ］. 机械工程学报，2004，40（3）：10-14.
［7］陶淑一. 二次均匀B 样条曲线的扩展［J ］. 计算机辅助工程，2008，17
n 11n 12n 13n 31n 32n 33
B u =n 21n 22n 23=-2n 111+n 11-n 12
n 11
-n 11-n 33
i
i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i
△i +1△i +1
2
△i +2
2
00△i +1△i +1
i i i i i i i i i i i i i i i i i i
（13）
（2）.
［8］任锟. 高速数控加工的前瞻控制理论及关键技术研究［C ］. 博士学位论
文集，杭州：浙江大学，2008.