3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性
3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性。
(1)S3
20S
2
9S2000
解:S319S220200
S11
S
200
劳斯表第一列元的符合
变化两次,系统有两实
部根。不稳定。
2)S4
8S
3
18S
2
16S50
解:S4185
S3816S215
5
S113.5S
5
劳斯表第一列元的符合
没有变化两次,系统没
有有正部实根。所以系
3)S5
6S
4
3S32S
2
S10
解:S5131S4
621
S3
8536
S2
18
1
S1
1236S
1
劳斯表第一列元的符合
变化两次,系统有两实
部根。不稳定。
3-5设单位负反馈系统的开环传递函数为
G(S)
K
S(0.1S1)(0.21)
试确定系统稳定时k的取值范围。
统稳定。
((
解:又开环传递函数的系统D(S)0.02SSSSS
32
3
的闭环特征方程为:
0.3S
2
SK0
0.020.3
1K0.3
K
1
0.30.02KK
于是系统稳定,则有
0.30.02K0
0K15
K0
3-6已知系统的闭环特征方程为
S1)(S1.5)(S2)K0
试由劳斯判据确定使得系统闭环特征根的实部均小于-1的最大k值。 解:根据题意可作线性ZS1
此时系统的闭环特征方D(S)ZZZZ
32
SZ1
变换
程为:
3
Z(Z0.5)(Z1)KZ1.5Z
2
0.5ZK0
11.5
0.5K
1
0.75K1.5K
0.75K0
依题意得0K0.75
K0K的最大值为0.75(临界稳定)。
3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数如下: (1) G(S)
10
(0.1S1)(0.21)
50s4S(S1)(s2s2)20s1S(0.51)
2
2
(2)G(S)
(3)G(S)
(1)解:根据误差系数公式有:
KPKVKa
lim
S0
G(S)
lim
S0S0
10
(0.1S1)(0.2S1)S
10
10
00
lim
S0
SG(S)
2
limlim
S0
(0.1S1)(0.2S1)
2
lim
S0
SG(S)S
10
(0.1S1)(0.2S1)
11Kp1Kv1Ka
1110
0.09
当输入为1t时,ess
当输入为t1t时,ess当输入为
2
1t时,ess
(2)解: KPKVKa
当输入为1t时,ess
11Kp1Kv1Ka
11
0
lim
S0
G(S)
lim
S0S0
50(S4)S(S1)(SS
2
2S2)
2
1000
lim
S0
SG(S)
2
limlim
S0
50(S4)S(S1)(S
2
2S2)
2
lim
S0
SG(S)S
50(S4)S(S1)(S
2S2)
当输入为t1t时,ess当输入为t1t时,ess
2
110010
0.01
(3)解: KPKVKa
当输入为1t时,ess
11Kp1Kv
1Ka
1
110120
0.050
lim
S0
G(S)
lim
S0S0
20(S1)S(0.5S1)S
2
2
20
lim
S0
SG(S)
2
limlim
S0
20(S1)S(0.5S1)
2
lim
S0
SG(S)S
20(S1)S(0.5S1)
2
当输入为t1t时,ess当输入为
t1t
2
2
时,ess
3-8 设控制系统如题图所示。是否可以选择一个合适的K1值,使系统在单位阶
跃扰动下的稳态误差1t,t1t和
t
1t
2
2
?
解:由题意得:特征方程为:
D(S)(0.1S1)(0.2S1)(0.5S1)10K10D(S)0.01S0.17S劳斯表为:SSSS
32
3
2
0.8S110K1S17S
32
80S1001000K10
117
80
1001000K11001000K1
17
1
80
1001000K1
1001000K180017
0K1.261001000K10
K01
10
(0.1S1)(0.2S1)(0.5S1)10K1S
1S
10
(0.1S1)(0.2S1)(0.5S1)10K1
10110K1
若系统稳,则
en(S)essn
lim
S0
en(S)lim
S0
essn0.009时,有解得K11111.26
10110K1
0.009
当K1111时,系统不稳定
3-9 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为Gs9
10s1。试计算当输入
信号分别为rt1t和rt2sin2t时,系统的稳态误差。
解:(1)
当r(t)1(t)时,Kpess
11Kp
119
lim
S0
G(S)
lim
S0
910S1
9
0.1
(2)当r(t)2sin2t时
由r(t)2sin2tA2 2 0essjAsintej其中j
2
0
2
2
2
254
1
ej90180
arctanarctan
2
即 ess2sin2t180