导数在求最值问题中的若干应用-
大庆师范学院
本科生毕业论文
导数在求最值问题中的若干应用
院 (系) 数学科学学院
专 业 数学与应用数学
研 究 方 向 数学基础理论
学 生 姓 名 安瑜宁
学 号 [1**********]6
指导教师姓名 乔兴
指导教师职称 讲师
2014年5月25日
摘 要
随着社会的日新月异,科技和经济的高速发展,应用数学知识解决实际问题已经成为数学理论中的一个不可
或缺的组成部分,更是中学数学乃至高等数学研究的重点. 而利用导数不仅可以使越来越多的实际问题转化为数
学问题,而且能进行优化进而取得理想效果. 本文从解决最值问题常用的方法出发,引出导数法解决最值问题的
简便性和实用性,接着从经济学、生产实际及物理学等三个方面分析了导数在求最值问题中的应用及发展前景,
并列举实例加以说明.
关键词:导数;最值问题;应用;优化
Abstract
With the changing of society, the rapid development of technology and economy, the application of mathematical
knowledge to solve practical problems has become an indispensable part in the mathematical theory, is a focus in the
study of middle school mathematics and even advanced mathematics. And the use of derivatives not only makes the
actual problem more and more into the mathematical problem, but also can be optimized to obtain ideal effect. The
method used to solve the problem of value of derivative method, leads to solutions to the problems is simple and
practical, then from the three aspects of economics, the actual production and physics analysis of derivative in solving
the most value application and development prospect of problems, and gives an example.
Keywords : derivative; minimum/maximum problem; application; optimization
目 录
第一章 求最值问题常用的一些方法 ....................................... 1
1.1 函数最值的定义 ................................................... 1
1.2 求函数最值常用的一些方法 ......................................... 1 1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4配方法 ..................................................... 1 换元法 ..................................................... 2 判别式法 ................................................... 3 不等式法 ................................................... 4
第二章 用导数解决经济中的最值问题 ..................................... 5
2.1 定义 ............................................................. 5
2.1.1 导数的定义 ............................................... 5
2.1.2 导函数和驻点 ............................................. 5
2.1.3 成本函数 ................................................. 6
2.1.4 利润函数 ................................................. 6 2.2 最大利润问题 ..................................................... 6
2.3 最大征税收益问题 ................................................. 7
2.4 最优批量问题 ..................................................... 8
第三章 用导数解决生产实际和物理学中的最值问题 ........................ 10
3.1 材料利用问题 .................................................... 10
3.2 最佳选址问题 .................................................... 11
3.3 物理应用问题 .................................................... 11
参考文献 ............................................................. 13
第一章 求最值问题常用方法
在生产实际和科学实验中,经常碰到“最佳”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等诸多方面的问题. 例如最好的质量、最高的效益、利润最大化、成本最低、最少的材料消耗、最少的投资等等,这类问题通常被称为是数学中的最值问题,往往归结为求函数的最大值或最小值问题. 如何较好地解决这类问题呢?通常有如下方法:判别式法、配方法、不等式法、换元法、反函数法、函数的单调性法、图像法(数形结合法)以及均值不等式法等.
1.1 函数最值定义
一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值.
函数最小值:设函数f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:
①对于任意实数x ∈I ,都有f (x ) ≥M ;
②存在x 0∈I , 使得f (x 0) =M ,那么,我们称实数M 是函数y =f (x ) 的最小值. 函数最大值:设函数y =f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:
①对于任意实数x ∈I ,都有f (x ) ≤M ;
②存在x 0∈I , 使得f (x 0) =M ,那么,我们称实数M 是函数y =f (x ) 的最大值.
1.2 求函数最值常用方法
函数是整个中学阶段数学学习的主要内容,而函数的最值问题是函数的重要组成部分. 处理函数最值问题的价值功能就是实现新老问题的变换问题,以及对复杂问题和简单问题的转互相化,未知到已知的改造的实施,虽然解决问题的具体过程不太一样. 但就其思维方式讲,一般是讲将要解决的问题经过若干次的变动转化,直到转化为一类已经解决或者很容易解决的问题,从而得到原问题的答案. 尽管求函数最值的方法很多,然而每种方法都不是万能的,都有一定的针对性,因此下面的案例分析,仅针对几种常用方法。
1.2.1 配方法
配方法是求二次函数或可化为二次函数的函数最值的基本方法. 解题的基本步骤:首先将函数化为F (x ) =af (x ) 2+bf (x ) +c 的形式,然后利用二次函数的性质求出最值.
例1 求函数y =(e x -a ) 2+(e -x -a ) 2, a ∈R 且a ≠0的最小值.
转化为关于变量 e x +e -x 的二次函数 分析:将已知的函数表达式按e x +e -x 配方,
后再求值.
解:令t =e x +e -x ,则f (t ) =t 2-2at +2a 2-2.由t ≥2知,
f (t ) =t 2-2at +2a 2-2=(t -a ) 2+a 2-2
的定义域为[2,+∞).
又抛物线y =f (t ) 的对称轴为t =a ,故当a ≤2且a ≠0时,y min =f (2) =2(a -1) 2, 当a >2时,y min =f (a ) =a 2-2.
注意: 利用二次函数的性质求最值,此时要注意两点:第一,求二次函数在开区间内的最值,先注意对称轴是不是在开区间里. 如果不在,则没有最值;如果在的话,再看开口的方向,开口向上有最小值,向下有最大值. 第二,求二次函数在闭区间上的最值,先看对称轴是否在闭区间内. 如果不在,我们先把闭区间两个端点处的函数值都求出来,再进行大小比较,大的是最大值,小的是最小值;如果在,把闭区间端点处的及顶点处的函数值都求出再进行大小比较,较大的是最大值,较小的就是最小值.
1.2.2 换元法
主要有两种换元方法,一个是三角换元,另一个是代数换元. 用换元法求函数最值问题时,尤其要注意中间变量的取值范围.
例2 求函数y =-x 2+x -1,x ∈[-1, 1] 的最值.
⎡ππ⎤解:设x =sin α,其中α∈⎢-, ⎥, 则 ⎣22⎦
y =-sin 2α+3sin α-1 =cos α+3sin α-1 π⎫⎛ =2cos α-⎪-1, 3⎭⎝
5πππ⎡ππ⎤由于α∈⎢-, ⎥, 因此-≤α-≤, 从而, 636⎣22⎦
当α=ππ⎫⎛时,cos α-⎪有最小值1; 3⎭3⎝
当α=-
即
当x =π3π⎫⎛时,cos α-⎪有最大值-. 23⎭2⎝3时,y =-x 2+x -1的最大值为1; 2
当x =-1时,y =-x 2+x -1的最小值为--1.
1.2.3 判别式法
如果函数y =f (x ) 可化为a (y ) x 2+b (y ) x +c (y ) =0(a (y ) ≠0) 的形式,而且还可以从∆=b 2(y ) -4a (y ) c (y ) ≥0中求出y 的取值范围,便可考虑用判别式法来求此函数的最值. 判别式法适合应用于可以转变为关于x 的二次方程的函数,当x 的取值范围是R 时,只要考虑∆就行;当x 的范围不是R 时,还需另外结合图像列出不等式组来求解.
例3 求函数y =x +x (2-x ) 的最大值和最小值.
分析:先将已知函数式变形成为一个方程式,然后用判别式法.
解:根据题意 y -x =x (2-x ) , 两边同时平方并整理,得
2x 2-2(y +1) x +y 2=0,
2由x 是实数知∆=(4y +1)-8y 2≥0, 解得 1-2≤y ≤1+2,此外,由x (2-x ) ≥0,
得0≤x ≤2,于是 y =x +x (2-x ) ≥0, 因此 0≤y ≤1+2,故y =x +x (2-x ) 的最大值为1+,最小值为0.
注意:判别式法大多数情况下用于求分式函数或无理函数的最值, 运用这种方法一定要即全面又慎重, 尤其是对于原函数的定义域不是实数而是在给定区间上的函数, 当我们用判别式法求出y 的范围后,应该再将端点值带回开始的函数进行检验,否则很容易出现“增值”、“误判”等情况.
1.2.4 不等式法
有些函数是可以利用已经有的无需证明的重要不等式来求最值,尤其是均值不等式和柯西不等式,在求最值的问题中更是广泛的应用. 下面便是著名的均值不等式:
若a 1, a 2, , a n ∈R +,则
等号成立.
均值不等式是一个在数学中被广泛应用的不等式,很多外形与它不一样的函数表达式,往往也能巧妙地利用它或转化为它来求出最值.
111 例4 如果x >0, y >0, z >0,并且x +y +z =1,试求++的最小值 . x y z a 1+a 2+ +a n ≥a 1a 2 a n ,当且仅当a 1=a 2= =a n 时,n
分析:本题需要采用两次均值不等式法.
解: x >0, y >0, z >0,
1 ∴1=x +y +z ≥3xyz (当且仅当x =y =z =时,等号成立), 3
11 ∴xyz ≤,xyz 的最大值是, 2727
而 1 1=x +y +z ≥xyz (当且仅当x =y =z =时,等号成立), 3
∴1111++≥3327=9(当且仅当x =y =z =时,等号成立), 3x y z
111因此++的最小值为9. x y z
注意: 当我们运用均值不等式求最值时,一定要看清楚前提:(1)每一项都非负;(2)每一项的和或积是常数;(3)每一项取得的值相等. 而必要时应该适当地变形,从而使以上的前提得以满足. 简单的可以概括为“一正、二定、三相等”.
第二章 用导数解决经济中的最值问题
导数(导函数的简称)的内容是学习高等数学的基础,它其实是一个特殊函数,导数的引出和定义从头到尾都贯穿着函数的思想. 它产生于生产技术和自然科学的需要,同时又不断促进着生产技术和自然科学的飞速发展,导数不但在物理领域、天文领域以及工程领域中有着广泛的应用,而且在工农业生产以及实际生活中,也经常会遇到如何实现“最佳的选址”“最省的用料”“最大的流量”以及“最大的利润”“最高的效率”等最值问题,一般都能运用导数的知识内容得以解决. 上面我们介绍了求函数最值的几种常用方法,可以说各有千秋,下面介绍一种应用更为广泛的方法——导数法. 首先我们来研究导数在经济中的应用.
2.1 定义
2.1.1 导数的定义
设函数y =f (x ) 在点x 0的某邻域内有定义,如果极限lim f (x ) -f (x 0) 存在,则x -x 0x →x 0
称函数f (x ) 在点x 0处可导,并称此极限为函数f (x ) 在点x 0处的导数[1],记作f ' (x 0) , dy df (x ) |x =x 0, |x =x 0. dx dx
令x =x 0+∆x , ∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 则上式变为
lim ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) ==f ' (x 0) , x →0∆x ∆x
因此导数是函数增量∆y 与自变量增量∆x 之比∆y 的极限. ∆x
2.1.2 导函数和驻点
如果函数在区间I 上的每一点都可导,则称f 为I 上的可导函数. 此时对任何一个x ∈I , 都有f 的一个导数f ' (x ) 与之对应. 这样就定义了一个在I 上的函数, 称为f 在I 上的导函数, 也简称为导数[1]. 记作f ' 或y ' , 即
f ' (x ) =lim
∆x →0f (x +∆x ) -f (x ) , x ∈I ∆x
我们称满足方程f ' (x ) =0的点为驻点, 也称稳定点.
2.1.3 成本函数
一个商品的成本是指生产一定数量的产品所需费用总额,基本上可以分为两个部分:首先,是在短时间内不发生变化或随着产品数量的增加,无明显变化的部分成本, 如设备,车间等,称为固定成本,常用C 1表示;其次,是随产品数量的变化而直接变化的部分成本,如原材料、消耗能源、人工费用等,称为可变成本[2],用C 2表示,Q 表示产品数量,C 2是Q 的函数,也就是C 2=C 2(Q ) .
生产Q 某种商品,可变成本C 2加上固定成本C 1,称为总成本,用C 来表示,即
C =C (Q ) =C 1+C 2(Q ) .
经常用生产Q 数量产品的平均成本来表示企业的生产状况. 生产Q 数量产品的平均成本为
C (Q ) =-C (Q ) C 1+C 2(Q ) . =Q Q
在生产技术和原材料、人工费用等生产要素的费用不变的条件下,总成本,平均成本都是生产数量Q 的函数.
2.1.4 利润函数
总利润是生产一定数量的产品的总收入与总成本之差,记作L ,即
L =L (Q ) =R (Q ) -C (Q ) ,
其中Q 为商品数量,单位产品的利润为平均利润,记作L ,即L =L (Q ) =---L (Q ) . Q
2.2 最大利润问题
例5 某厂商生产一种商品的需求函数为P =40-4Q , 总成本函数是
C (Q ) =2Q 2+4Q +10,
当此厂商取得的利润最大时,求此商品的产量和单价.
解:由题意,总收益函数为
R (Q ) =PQ =40Q -4Q 2,
利润函数为
L (Q ) =R (Q ) -C (Q ) =40Q -4Q 2-2Q 2-4Q -10=36Q -6Q 2-10,
令L ' (Q ) =36-12Q =0,故
L '' (Q ) =-12,
得唯一驻点Q =3,又因为L '' (Q ) =-12
P =40-12=28,
因此当此厂商取得的利润最大时,产量是3,单价是28.
2.3最大征税收益问题
设某地政府对企业生产的产品进行征税的税率是t ,在纳税的情况下,企业要求得利润最大化,政府也要使征税收益最大. 此时利润函数是L t (Q ) =R (Q ) -C (Q ) -T , 其中T =tQ 为税款. 设企业以税率t 纳税后获得最大利润时,产品的征税收益是T =tQ t ,单价是P t ,产量是Q t .
例6 某种玩具的总成本函数和需求函数为:
C (Q ) =2Q 2+4Q +10和P =40-4Q ,
设当地政府以税率t 对产品进行征税,试解答以下问题:(1)生产商以税率t 纳税后并获得最大利润时,此玩具的产量和单价为多少?(2)当t =12和t =30时,此玩具的产量和单价,以及征税收益为多少生产商可获得最大利润?(3)政府对生产商进行征税的税率t 为多少时,征税收益最大?
解:(1)纳税后的利润函数
L t (Q ) =R (Q ) -C (Q ) -tQ =36Q -6Q 2-10-tQ ,
L t ' (Q ) =36-12Q -t =0,
得唯一驻点
Q =(36-t ,
又
L '' (Q ) =-12
因而
Q =(36-t
是最大值点,
P t =40-Q t =28+t .
所以,当生产商以税率t 纳税并取得最大利润时,产量为Q =(36-t ,单价为
2,征税收益是P =40-Q =28+t 3T =tQ =(36t -t ) . t t t
(2)t =12时,得
Q 12=2, P 12=32, T =12⨯2=24,
当t =30时,得
Q 30=2, P 12=38, T =30⨯2=15.
(3)由征税收益
36t -t 2
' 18-t 1T =, T ==0, T '' =-. 1266
得唯一驻点t =18,又T '' (18)
Q 18=(36-18) =2, P 18=40-4Q 18=34,
征税收益
T =18⨯2=27,
从而,当政府对生产商进行征税的税率t =18时,征税收益最大为27,此时产品产出量为1.5,单价为34.
2.4 最优批量问题
经济订货最优批量[3]是通过对各个环节的费用分析后求得的使库存总费用最小时企业订货的数量. 经济订货批量中的费用主要包含:进货费,订货费,保管费,理想的经济订货最优批量是指不考虑缺货,也不考虑折扣以及其他问题的经济订货. 于是年度库存总费用为
TC (Q )=PD +DS HQ +, Q 2
其中,TC 为年度库存总费用,P 为单位成本,D 为年需求量, S 为单位订货费,H
Q 为年平均存储量,用EOQ 表示经济订2
货批量. 假若在不允许有缺货的条件下,也没有数量打折的情况下为使TC 最小,则为单位存货保管费用,Q 为每次订货批量,将上式对Q 求导得
TC ' (Q )=-DS H +, 2Q 2
令 TC ' (Q )=0,得经济订货最优批量
的公式为:EOQ =例7 某服装厂每年需购进服装8000件,每件衣服的进价是150元,年储存成本为5元/件,每次订购需花费50元. 当每年订购服装的次数及年库存的总费用最小时,求最优订货数量?
解:根据题意D =8000件,S =50元/次,H =5元/件,
经济订货批量
EOQ =
年订货次数 ==400(件), D 8000==20(次), EOQ 400
即当每年订购服装的次数及年库存的总费用最小时,最低成本为
TC (Q )=PD +DS HQ 8000⨯505⨯400+=150⨯8000++=1202000(元). Q 24002
以上应用导数的相关知识,解决了关于经济学的最大利润,最大征税收益,以及最优批量等最值问题,并且可以看出,导数在解决经济学问题中起到了良好的作用.总之,在这个过程中,很容易看出导数作为经济学中的一个重要工具,不仅可以帮助企业管理者寻找一条使企业的收益最大的生产路线,而且能降低生产成本以及管理费用,因此导数对于经济学的应用有着非常深远的意义.
第三章 生产实际及物理学中的最值问题
3.1 材料利用问题
导数的知识是求曲线斜率、求函数的极值、最值问题以及研究函数性质等问题的最有力工具之一,更是物理学、经济学 中不可或缺的组成部分. 随着市场经济的飞速发展,利用数学知识来解决生产生活实际问题显得愈来愈重要. 尤其在日常生活中的材料利用问题上,在容积或占地面积一定的情况下,如何才能使所用材料最省?我们通过一个例题来研究.
例8 新安村计划建一个无盖的圆柱形粮仓,如果要让它装得下500m 3的粮食,而且时,它的直径和高分别为多少?
[4]分析:要制作一定容积的容器,关键是根据题意出的其函数表达式,再运用导
数知识求出函数的极值,再把闭区间端点处的函数值求出来从而进行大小比较,大的是最大值,小的就是最小值.
解:要使所用的材料最省,也就是使圆柱形粮仓的表面积最小,设粮仓的表面积
2000⎛d ⎫为s ,高为h ,直径为d ,由题可知 ⎪πh =500,从而h =2. d π⎝2⎭
又 2
πd 22000⎛d ⎫, s = ⎪π+πdh =+4d ⎝2⎭
而 2
s ' =
令 πd 2
--2000, 2d s ' =
解得 πd 22000=0, d 2
500d =2500500π, 500此时h =π, 因为当02π时, s '>0, 所以, 当d =2500π, h =π时, 用料最省.
总而言之,运用导数研究生产生活实际问题时,先要从给定的数量关系中选取一个合适的变量,从而建立函数模型,然后再根据目标函数的结构特征,应用导数
知识得到解决. 其步骤为:首先,建立数学模型,再找出各个变量之间的函数关系式,从而确定函数的定义域:接下来,求出函数表达式的导数f ' (x ) ,令其为零,由此可以求出极值点;然后,再把闭区间端点处的函数值求出来与极值进行大小比较,确定最值;最后,检验所得的结果是不是与问题的实际意义相一致.
3.2 最佳选址问题
在实际生活中的优化问题除了材料利用问题等,还有一类重要的问题,就是最佳选址问题. 解决了最佳选址问题,可以节约很多成本并且提高效率. 同样,此类优化问题可归结为函数的最值问题,导数正是解决这一问题的有力工具.
C D
图3-1 B A
海滨城市B 离C 点160 例9 如上图3-1所示,已知海岛城市A 离海岸120千米,
千米,如果海上轮船速度是陆上汽车速度的1倍,问转运码头D 建在何处时才能使2
A 、B 两城之间的物质运输时间最少?
分析:本题中随着运输时间的变化,D 点的位置也在发生变化,设∠ADC 为α. 然后建立数学模型,找出各个变量之间的函数关系式,再运用导数知识求出最值,从而可以确定点的位置.
解:设∠ADC 为α,陆上汽车速度为2v ,根据题意有
f (α) =3π160-120cot α12080602-cos α+=+. , (arctan≤α≤) . 422v v sin αv v sin α
令f ' (α) =0, 解得α=π
3. 因此当α=π
3时,运输时间f (α) 最少,故码头D 的最佳位置为BD =160-120cot =90⋅72千米. 3
3.3 物理应用问题
导数是研究很多物理问题的有力工具,尤其在物理的运动学中的应用最为广泛的应用,下面我们用一个例题来说明[5].
例10 设某种匀速行驶中的汽车每小时耗油量为y 升,行驶速度为x (千米/
13x 3-x +8(0
距离100千米,则 小时),y =
(1)当这种型号汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从A 地到B 地要耗油多少升?
(2)当汽车从A 地到B 地耗油最少时,匀速行驶的速度为多少?最少耗油为多少? 解:(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从A 地到B 地花费的时间为1003⎛1⎫=2. 5小时,耗油 ⨯403-⨯40+8⎪⨯2. 5=17. 5升. 4080⎝128000⎭
(2)当汽车以x 千米/小时的速度匀速行驶时,从A 地到B 地花费的时间为小时,设耗油量为h (x )升,由题意可得关系式
31280015⎛1⎫100h (x ) = x 3-x +8⎪. =x +-,0
则 x 800x 3-803
-=(0
令h ' (x )=0,于是知x=80. 当x ∈(0, 80)时,h ' (x ) 0,h (x ) 单调递增. 因此当x =80时,h (x ) 取到极小值h (80) =11. 25. 由于h (x ) 在(0, 120]上有唯一极值点,所以它是最小值.
由以上对材料利用、最佳选址及物理应用问题的论述可以看出,数学犹如艺术,即来源于生活又高于生活,同时也应用于生活. 随着社会的日新月异,科技和经济的高速发展,应用数学知识解决实际问题已经成为数学理论中的一个不可或缺的组成部分,更是中学数学乃至高等数学研究的重点. 而利用导数不仅可以使越来越多的实际问题转化为数学问题,而且能进行优化进而取得理想效果. 导数不仅是整个中学阶段,更是高等数学中的重要知识,而且是研究经济学、天文学,生态学以及物理运动学的重要工具.
[参考文献]
[1]华东师范数学系. 数学分析(第三版)(上册) [M]. 北京:高等教育出版社, 2001.
[2]吕同富. 经济数学及应用[M]. 北京:中国人民大学出版社, 2011.
[3]王兰林. 导数在经济学中的应用[J]. 河南财政税务高等专科学校学报, 2011,(6): 95-96.
[4]朱自成. 导数在生活中的应用[J]. success,2011,(11):291.
[5]董雪. 导数的应用[J]. 林区教学, 2013,(2):37-39.