抽象性周期函数的判定与应用

抽象性周期函数的判定与应用

◆左冠丽

（ＩＩＩ西大同煤矿集团实验中学）

【摘要ｌ周期函数的概念、周期性的判定、最小正周期的求法以及函数周期性的应用是高中数学教学的难点，特别是抽象性周期函数的判定和应用比较困难，本文对抽象性周期函数做以论述。

【关键词ｌ周期函数的概念周期性的判定

应用

ｆ（２００５．５）＝ｆ（１．５＋５０１×４）＝ｆ（１．５）＝ｆ（一０．５＋２）＝一ｆ（一０．５）＝ｆ（０．５）＝

Ｏ．５

解析：‘・’ｆ（ｘ＋２）２东１．・・・ｆ（ｘ）为以４

为周期的周期函数

ｆ（５）＝ｆ（１＋４）＝ｆ（１）＝一５

ｆ［ｆ

例２（２００６年山东卷）已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（Ｘ＋２）＝一ｆ（ｘ），则ｆ（６）的值为（

Ａ、一１

）

Ｂ、０

Ｃ、１

Ｄ、２

（５）］＝ｆ（一５）＝ｆ（一５＋８）＝ｆ（３）２志

ｌ

。一了

周期函数的概念、周期性的判定、最小正周期的求法以及函数周期性的应用是高中数学教学的难点，特别是抽象性周期函数的问题。抽象函数是相对于具体函数而言的，它没有给出具体的函数解析式。近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，但是在实际教学中学生对于抽象函数周期性的判定和应用比较困难，所以在此研究一下抽象性周期函数。

根据周期函数的定义可知：对于函数ｆ（ｘ），如果存在一个不为零的常数Ｔ，使得当取定义域的每一个值时，ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（Ｘ）都成立，那么就把函数ｆ（Ｘ）叫Ｘ做周期函数，不为０的常数Ｔ叫做这个函数的周期，若Ｔ是ｆ（Ｘ）的一个周期，则ｋＴ（ｋ∈Ｚ、且ｋ≠０）也是ｆ（Ｘ）的周期。下面给出几种具体的判定方法。

１型如ｆ（Ｘ＋ａ）＝ｆ（ｘ＋ｂ）（ａ≠ｂ）分析：利用换元法得：当ｂ＞ａ时，令ｔ＝

ｘ

解：‘．‘ｆ（Ｘ）是奇函数，且ｆ（ｏ）有意义，

．’．ｆ（ｏ）＝Ｏ

４型如‘（ｘ＋ａ）一布

对于函数对于函数ｙ＝ｆ（Ｘ）满足ｆ（ｘ＋

又’．‘ｆ（ｘ＋２）＝一ｆ（ｘ）

．・．ｆ（ｘ）是以４为周期的周期函数ｆ（６）＝ｆ（２＋４）＝ｆ（２）＝一ｆ（ｏ）＝０例３已知定义在Ｒ上的函数ｆ（Ｘ）的目

ａ）＝一赢寺，则函数ｙ２‘（ｘ）是周期函数，

且２ａ是一个周期。

象关于点（一÷、ｏ）成中心对称图形，且满

足ｆ（ｘ）＝一ｆ（ｘ＋÷），ｆ（一１）＝ｌ，ｆ（ｏ）＝

一２，则ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋…＋ｆ（２００５）的值为（）

』，一２

Ｂ、一１

Ｃ，０

Ｄ，１

ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］＝一南

ｆ（ｘ）

＝一÷＝ｆ（ｘ）

５两线对称型

函数ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ、ｘ＝ｂ对称，则ｆ（ｘ）的周期为２Ｉｂ—ａｌ

由ｆ（ｘ）＝ｆ（２ｂ—ｘ）且ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ—ｘ）得ｆ（２ａ—ｘ）＝ｆ（２ｂ—ｘ）．’．ｆ（ｘ）＝ｆ（Ｘ＋２ｂ一２ａ）

解析：‘．‘ｆ（ｘ＋－７。－）＝一ｆ（ｘ）．’．Ｙ＝ｆ（ｘ）为以３为周期的周期函数

．‘．ｆ（ｚ）＝ｆ（一１）＝１、ｆ（３）＝ｆ（０）＝

一２

正弦函数关于直线ｘ＝詈、ｘ＝孚对称，

又因函数ｆ（ｘ）的目象关于点（一－ｉ。－、ｏ）

则Ｙ＝ｓｉｎｘ的周期为

４－ａ，则ｘ＝ｔ一８

ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ—ａ＋ｂ）＝ｆ［ｔ＋（ｂ—ａ）］所以根据周期函数的定义得ｆ（Ｘ）是周

对称

贝Ⅱｆ（一—＿３一ｘ）＝一ｆ（ｘ）

》ｘ等咖爿宅ｚ

例５已知ｆ（ｘ）为偶函数，且图像关于直线ｘ＝２对称，当一２≤ｘ≤０时ｆ（Ｘ）＝２‘，若ｘ∈Ｎ。，ａ。＝ｆ（ｎ），则ａ２００６等于（ｃ）

Ａ，２１７０６

Ｂ，４

期函数且ｂ—ａ是其一个周期。

当ａ＞ｂ时，令ｔ＝ｘ＋ｂ得：ｆ（ｔ）＝ｆ［ｔ＋（ａ—ｂ）］

所以ｆ（ｘ）是周期函数且ａ—ｂ是其中一个周期。

因此ｌａ—ｂＩ是ｆ（ｘ）的一个周期。２型如ｆ（ｘ＋ａｌ＝一ｆ【ｘ）

函数Ｙ＝ｆ（ｘ），若ｆ（ｘ＋ａ）＝一ｆ（ｘ），则Ｙ＝ｆ（Ｘ）是周期函数且２ａ是它的周期。

分析：因为ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（Ｘ＋ａ）＋ａ］＝一ｆ（ｘ＋ａ）＝一［一ｆ（ｘ）］＝ｆ（Ｘ）

由周期函数定义可知：Ｙ＝ｆ（ｘ）是周期函数，且２ａ是ｆ（ｘ）的一个周期。

例１设ｆ（ｘ）是Ｒ上的奇函数，ｆ（ｘ＋２）＝一ｆ（ｘ），当０≤Ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（２００５．５）＝（）

Ａ、０．５

Ｂ、一０．５

Ｃ、１．５

Ｄ、一１．５

ＩＮ此ｆ（一手＿ｘ）－ｆ（ｘ＋吾）

则一Ｙ＝ｆ（Ｘ）为偶函数，ｆ（１）＝ｆ（一

１）＝１，

ｃ、寺Ｄ、一４

．。．ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）４－…＋ｆ（２００５）＝ｆ（２００５）＝ｆ（１）＝１

解析：＋．‘ｆ（ｘ）关于ｘ＝０和ｘ＝２对称，则ｆ（ｘ）的周期为４

ａ∞嘶＝ｆ（２００６）＝ｆ（５０１×４＋２）＝ｆ（２）

当０≤ｘ≤２时，一２≤一ｘ≤０，ｆ（一ｘ）＝ｆ（ｘ）＝２１

３型如‘（ｘ＋ａ）２志

对于函数Ｙ＝ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝

页寺，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）是周期函数且２ａ是一

个周期。

ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］２ｉ南２

—÷－＝ｆ（ｘ）

ｆ（ｘ）

．・．ａ删＝ｆ（２）＝２～＝÷

６一线一点对称型

函数ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ及点（ｂ、Ｏ）对称，则ｆ（ｘ）的周期为４ｌｂ—ａｌ

由ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ—ｘ）且ｆ（ｘ）＝一ｆ（２ｂ

——ｘ）

例４（２００６安徽卷）函数ｆ（ｘ）对于任意实数满足条件ｆ（ｘ＋２）＝１／ｆ（Ｘ），若ｆ（１）＝

得ｆ（ａ～ｘ）＝一ｆ（２ｂ—ｘ）ｆ（Ｘ＋２ｂ一２ａ）＝一ｆ（ｘ）

（下转第２６页）

解：此题符合ｆ（ｘ＋ａ）＝一ｆ（ｘ）型，所以ｆ（ｘ）是以４为周期的函数

一５，则ｆ［ｆ（５）］＝——

农村基层党组织

是新农村建设的政治和组织保障

◆刘雪涛

（淮北人民广播电台）

Ｉ摘要】农村基层党组织在新农村建设中起着“龙头”作用，它是农村经济社会发展的坚强的领导者和组织者。社会主义新农村建设，涉及农村经济、政治、文化、社会等诸多层面，必然给农村生产关系带来广泛而深刻的变革。农村基层党组织必须坚持与时偕行，研究新情况，探索新路子，不断加强党同农民群众的血肉联系，不断增强生机和活力，以形成推进农村改革发展的强大合力。【关键词】农村基层党组织政治和组织保障

《中共中央关于推进农村改革发展若干重大问题的决定》指出：“推进农村改革发展，关键在党。要把党的执政能力建设和先进性建设作为主线，以改革创新精神全面推进农村党的建设，认真开展深入学习实践科学发展观活动，增强各级党组织的创造力、凝聚力、战斗力，不断提高党领导农村工作水平。”（摘自《中共中央关于推进农村改革发展若干重大问题的决定》）。这说明党的基层组织是党的全部工作和战斗力的基础。农村基层党组织的战斗力、凝聚力和创造力如何，直接关系着新农村建设的成效。农村基层党组织建设搞好了，农村经济社会发展就有了坚强的领导者和组织者。

新农村建设

团结和谐、干事创业的良好氛围；另一方面，要高度重视村党支部班子的配备，以适应农业产业化、农村经济发展规模化和新农村管理的需要为准则，选准选好党支部书记，并合理调整基层党组织设置。村级党组织作为新农村建设的直接实践者，起着战斗堡垒作用，具体体现在：把团结带领农民群众实现发展致富作为加强自身建设的重点，自觉解放思想、更新观念、敢闯敢干，在处理农村事务上敢抓敢管，并善于发挥其他村级组织的作用，善于调动农民群众的积极性，形成推进新农村建设的合力。

党员干部理应是优秀创业者，优秀创业者也应该加入党的组织。作为党联系农民群众的桥梁和纽带，农村党员干部是推动农村经济社会发展的骨干力量。各级党组织必须重视探索新的历史条件下发挥农村党员先锋模范作用的方式和机制，使广大农村党员成为带头贯彻执行党在农村的各项方针政策、带头勤劳致富和带领群众共同致富的“领头羊”。要树立“党员干部理应是优秀创业者，优秀创业者也应该加入党的组织”的先进理念。为此，应围绕把党员干部培养成优秀创业者、把优秀创业者培养成党员干部的思路来开展教育和培训工作。目前一些农村党员干部致富能力弱、在发展农村经济中带头作用不突出等问题还是切实存在着的。因此，对其开展思想教育和市场经济知识、农村实用技术等方面的培训，提高其致富本领，引导农村党员干部勇闯市场、敢于创业，带头兴办农业科技示范园和种养基地，带头领办劳务输出和农

产品经营等中介组织等，使他们成为各类技术大户和懂经营、会管理的行家里手，成为带动一方经济发展的能人、成为新农村建设中的优秀创业者，就成为农村基层党组织建设的题中应有之义。与此同时，还要积极做好在优秀创业者中发展党员和提拔干部的工作，这是着眼于改善农村党员队伍结构和坚持不拘一格选人才的必然要求。把那些政治素质好、年纪轻、有文化、懂经营、善管理的优秀创业者培养成农村党员干部，是目前农村基层党组织建设亟待加强的工作。我市近几年由市委组织部牵头，联合市属高校大力培养大学生村官，并注重农村“能人”的培养、培训和选拔，在基层党组织建设中迈开了坚实的步伐。

创新领导方式和工作机制。社会主义新农村建设，涉及农村经济、政治、文化、社会等诸多层面，必然给农村生产关系带来广泛而深刻的变革，对农村基层党组织的领导万式也提出了新的更高的要求。农村基层党组织必须坚持与时偕行，研究新情况，探索新路子，不断加强党同农民群众的血肉联系，不断增强生机和活力，以形成推进农村改革发展的强大合力。要深刻理解“发展”这个“第一要义”，始终扭住发展农村经济这个“第一要务”，抓住致富农民群众这个关键环节，切实改进领导方式和工作机制，不断提高领导水平，变领导为引导、变强迫为示范、变要求为服务；建立顺畅有效的村级管理机制、决策机制和议事执行机制，善于运用民主和法律的手段来处理各种矛盾和问题。

农村基层党组织——共同致富的坚强

核心。乡、村两级党组织的建设是农村基层党组织建设的关键。乡镇党委既是农村经济社会发展的领导者，同时又担负着加强村级党组织建设的直接责任，因而在新农村建设中起着“龙头”作用。一方面，要切实抓好乡镇党委领导班子自身建设，形成

（上接第５页）．’．ｆ（Ｘ＋４ｂ一４ａ）＝ｆ［（ｘ＋２ｂ一２ａ）＋２ｂ一２ａ］＝一ｆ（Ｘ＋２ｂ一２ａ）＝一［一ｆ（ｘ）］＝ｆ（ｘ）

余弦函数Ｙ＝ＣＯＳＸ关于直线Ｘ＝０及点

关于直线ｘ：｛对称，所以函数的周期为４×Ｉ委一Ｏｌ＝２

ｆ（Ｏ）＝０

ｆ（２）＝ｆ（４）＝０

７两点对称型

函数ｆ（Ｘ）关于点（ａ，Ｏ）（ｂ、０）对称，则ｆ（ｘ）的周期为２Ｉｂ—ａＩ

由ｆ（２ａ—ｘ）＝一ｆ（ｘ）且ｆ（２ｂ—ｘ）＝一

ｆ（ｘ）

（孚、ｏ）对称，则Ｙ＝ＣＯ￥Ｘ的周期为４×Ｉ詈

厶

二

・．・ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝｛对称

．’．ｆ（０）＝ｆ（Ｉ）＝０＝ｆ（５、＝０

．’．ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋ｆ（５）

＝０

得ｆ（２ａ—ｘ）＝ｆ（２ｂ—ｘ）

．’．ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２ｂ一２ａ）

一０Ｉ＝２１Ｔ

例６设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，且Ｙ

ｆ（１）＝ｆ（３）

正弦函数Ｙ＝ｓｉｎｘ关于点（０、０）、（霄、０）对称，则Ｙ＝ｓｉｎｘ的周期为２

Ｉ霄一０Ｉ＝２１ｒ

＝ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝÷对称，则ｆ

二

１

（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋ｆ（５）＝０

解析：由题意知，ｆ（Ｘ）关于原点对称，且

掌握了上述几种判定周期的方法，会给我们解决这类问题带来很大的方便。

抽象性周期函数的判定与应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：

左冠丽

山西大同煤矿集团实验中学商情

SHANGQING 2009，(11)0次

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sq-zh200911005.aspx

下载时间：2009年11月12日